La integral

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La integral

• Determina la antiderivada más general.
• Interpreta la integral y su relación con la
  derivada.
• Define la integral definida.
• Calcula áreas de regiones limitadas en el plano.

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Antiderivadas
Definición Una función F se llama antiderivada
de una función f en un intervalo I si la derivada
de F es f, esto es F(x) f(x) para todo x en I.
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Teorema Si F es una antiderivada de f en un
intervalo I, la antiderivada más general de f en
I es F(x)c, donde c es una constante arbitraria.
Teorema Si dos funciones P y Q son antiderivadas
de una función f en un intervalo I , entonces
P(x) Q(x) C, ( C constante) para todo x en I.
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INTERPRETACION GEOMETRICA
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INTERPRETACION GEOMETRICA
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INTERPRETACION GEOMETRICA
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INTERPRETACION GEOMETRICA
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Ejemplo 1
Encuentre la antiderivada más general de cada una
de las siguientes funciones.
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Antiderivada particular
Función
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INTEGRAL DEFINIDA Y
CALCULO DE ÁREAS
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(No Transcript)
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Definición El área de la región S que se
encuentra debajo de la gráfica de la
función continua f es el límite de la suma de las
áreas de los rectángulos de aproximación
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Limite superior
Integrando
Limite Inferior
El procedimiento para calcular integrales se
llama por si mismo integración.
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2 Teorema Fundamental del Cálculo
Si f es una función continua en a, b y F una
antiderivada de f en a, b, entonces
Esta regla convierte al cálculo de integrales
definidas en un problema de búsqueda de
antiderivadas y evaluación.
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PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
1. Si f y g son funciones integrables en a,
b y ? y ? son constantes, se tiene
Propiedad de linealidad
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1. Si existen las integrales de la izquierda,
   también existe la integral de la derecha

Propiedad aditiva respecto al intervalo de
integración
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La propiedad anterior es aplicada cuando la
función está definida por partes y cuando es
seccionalmente continua.
Ejemplo Si y se quiere hallar
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3.
Y representa el área de un rectángulo de altura h
y longitud de base (b a).
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DEFINICIONES Sea f una función integrable en a,
b, entonces
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• Definición
• Sea f una función contínua tal que
• f(x) ?0 en a, b y
• S(x, y)/ a?x?b, 0?y?f(x)
• Se denota por A(S) y se llama área de la región
  definida por S al número dado por

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f(x)
y f(x)
dA f(x)dx
dx
a
b
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Ejemplo 1 Calcular el área de la región S(x,
y)/ 0 ? x ? 2, 0 ? y ? x2 1
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g(y)
x g(y)
dA g(y)dy
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Ejemplo 2 Hallar el área de la región limitada
por y 2x, y (x-2)2 1, x 3 y el eje X,
tal como lo muestra la figura.
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f(x)
- g(x)
y f(x)
dx
dA f(x) - g(x)dx
y g(x)
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3. Encontrar el área entre las curvas y x - x3

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4. Encontrar el área entre las curvas y - x 3