M

1
Mécanique des fluides1ère partie

• Olivier LOUISNARD
• Centre Poudres et Procédés
• Bureau 1C6 tel 30 62
• Email louisnar_at_enstimac.fr

2
Plan du cours
Séance de cours
Chapitre poly
C1 Généralités. Définitions. Forces sur un
fluide 1 - 4 C2 Hydrostatique 4 C3 Equations
de conservation 2 et 3 C4 Mouvement dun
fluide 5 Cas du fluide parfait incompressible
6 C5 Forces exercées par un fluide sur une
structure 3 et 5 C6 Pertes et gains de charge.
Pompes et turbines 6
3
Cours connexes
Analyse vectorielle Mécanique Thermodynamique
Prérequis
Phénomènes de transferts Thermodynamique et
procédés Mécanique des milieux continus
En parallèle
Mécanique des fluides 2ème partie Transferts
convectifs (Option énergétique)
Suite
4
Prérequis

Mécanique
Loi de la dynamique
Thermodynamique
Premier principe ( conservation de lénergie)
5
Quest-ce quun fluide ?

• pas de forme propre
• sécoule si on lui applique une force
• prend la forme du récipient

Les molécules interagissent (peu pour les
gaz) Gardent une certaine mobilité les unes par
rapport aux autres. Pas dordre comme dans un
solide (ou peu)

• Limite solide / fluide parfois floue
• dépend de la dynamique de la sollicitation
• (sable mouillé, polymères, pâtes)
• états semi-ordonnés (ou  indécis )
• (liquides vitreux, cristaux liquides, colloides)
• dépend de léchelle de temps considérée (glacier)

6
Quelques fluides
Monophasiques eau, air, huile, métaux fondus

• Multiphasiques
• aérosols (brouillard)
• émulsions (lait, vinaigrette, anisette...)
• suspensions (pâtes, boues)
• liquides à bulles (surface de locéan, fluides
  de refroidissement)

•  Complexes 
• magma, plasmas, ferrofluides (propriétés
  magnétiques)
• polymères, micelles, cristaux liquides
  (molécules 1D ou 2D...)
• milieux granulaires (sable, poudres)

7
(No Transcript)
8
Description dun fluide

• Macroscopique celle qui nous intéresse
• à notre échelle
• milieu continu (?)

• Microscopique
• atomes ou molécules ou - libres les uns / aux
  autres
• Liquide fort encombrement / interactions forte
• Gaz faible encombrement / interaction faible

On cherche à représenter ce que lon voit
description macroscopique
9
Analogie
Echelle macro (la notre)
Méso
Echelle micro
10
Hypothèse de milieu continu
Comment définir une densité r et une vitesse v
variant continument / x,y,z ?
Vitesse v(x,y,z) ?
Echelle macroscopique

• et v grandeurs continues (et dérivables...) / à
  x, y, z
• Pas toujours vrai .... (ondes de chocs, vides
  poussés)

11
Grandeurs volumiques
G(t) grandeur extensive contenue dans V
g grandeur volumique (G/m3)
Remarque V peut être fixe ou mobile (par
rapport à nous)
12
Masse volumique
Eau 1000 kg/m3 Mercure 13000 kg/m3 Air 1.3 kg /m3
r(x,y,z) en kg/m3
En général différente dun point à un autre
Varie avec la température (même pour un
liquide) Varie avec la pression (peu pour un
liquide)

• Une approximation bien utile le fluide
  incompressible
• r r0 constant par rapport à t et x,y,z
• Conditions de validité plus tard

Masse de fluide dans V
13
Forces exercées sur un fluide
Forces surfaciques ou  de contact  exercées
sur chaque élément de surface dS (pression,
frottement visqueux)
Forces volumiques exercées sur chaque élément de
volume dV (poids, forces dinertie, magnétiques,
...)
14
Forces de pression approche intuitive
15
Origine microscopique
Gaz
Echange de quantité de mouvement avec les
molécules
16
Force de pression
17
Forces volumiques
Poids
Attention ! a priori r(x,y,z)
V
18
Hydrostatique équation globale
Décrit un fluide immobile (dans un référentiel
galiléen ou non)
Equilibre entre
dS
S
V
n
19
Hydrostatique équation globale

• La résultante des forces de pression est
  toujours dirigée vers le haut
• cest la poussée dArchimède !
• Equation peu pratique pour calculer le champ de
  pression
• Il faut la réécrire sous forme  locale 
  exprimée en tout point
• grâce à des opérateurs danalyse vectorielle.

20
Hydrostatique équation locale
rg dV 0
V
21
Hydrostatique équation locale
grad p rg

• Peut être intégrée pour trouver le champ de
  pression p(x,y,z) dans un fluide au repos
• Condition aux limites p patm sur la surface
  de contact avec lair
• Les surfaces isobares p(x,y,z) Cte sont
  perpendiculaires à g
• La pression augmente quand on se dirige dans le
  sens de g
• (cest le problème du plongeur)
• La pression diminue quand on se dirige en sens
  inverse de g
• (mal de laltitude, pressurisation des cabines
  davion)

22
Hydrostatique en référentiel non galiléen
Le fluide est immobile par rapport à un
référentiel R qui accélère / R

• une cuve ou un verre dans un véhicule qui
  freine/accélère (ae horizontal)
• miroirs liquides (cf. TD), centrifugeuses (ae
  radial)
• expériences en gravité 0 (ae g)

Il faut ajouter la force dinertie dentraînement
La force de Coriolis est nulle car le fluide est
immobile
Fp P Fie 0
23
Hydrostatique en référentiel non galiléen
Les surfaces isobares p(x,y,z) Cte sont
maintenant perpendiculaires à g-ae
24
Force dArchimède

• Ce nest rien dautre que la résultante des
  forces de pression.
• On cherche en général la force exercée sur un
  corps étranger au fluide
• Solide ou bulle dans liquide, ballon dhélium
  dans lair...

25
Force dArchimède

• Le corps nest pas en équilibre
• rcorps gt rfluide il descend
• rcorps lt rfluide il monte

Pcorps Fp (rcorps-rfluide)Vg ? 0
26
Force dArchimède
On peut généraliser le raisonnement au cas où un
objet partiellement immergé.
Dans ce cas léquilibre est possible
Pcorps Fp (rcorpsVcorps-rfluideVimmergé ) g
0
27
Densité
On définit la densité dun corps d rcorps/
reau si solide ou liquide d rcorps /
rair(20C,1 atm) si gaz
28
Moment des forces de pression
Utile pour les problèmes de stabilité / à la
rotation.
En particulier, on peut définir le centre de
poussée C sur le volume V Cest le point C tel
que MC(Fp) 0
29
Rappel sur les unités
Masse volumique r, unité SI kg / m3

• Pression p
• unité SI N / m2 kg m-1 s-2 Pa (Pascal)
• 1 bar 100 kPa
• 1 torr 1 mm Hg
• .1 psi 1 pound / square inch
• Pression atmosphérique
• 1 atm 1,01325 bar 101325 Pa 760 torr
  14,70 psi

30
Exercices dapplicationde lhydrostatique

• Intégration de léquation de lhydrostatique
• dans un liquide incompressible
• dans latmosphère
• dans en liquide en référentiel non galiléen

• Mesure de la densité avec un tube en U
• Force de pression et moment sur une paroi de
  bassin

31
Principes de conservation

• La nature conserve plusieurs grandeurs
• la masse
• la quantité de mouvement
• lénergie
• Rien ne se perd, rien ne se crée  

32
Principe de conservation
33
Bilans pour un fluide
Système Volume de fluide V FIXE

• limité par S
• contenant une certaine quantité G

S
Se Ss
Comment G(t) varie ?
V
On veut calculer
34
Deux sortes de flux

• Flux mouvement dune grandeur à travers une
  surface
• convectif transporté par le fluide (à cause
  de v)
• diffusif causé par un gradient

Exemple pour un flux dénergie
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Flux convectif
S
Se Ss
Quantité d2G passant par dS pendant dt ?
Ss
Se
dS
V
n
d2V dS vdt cosq v.n dS dt
d2G quantité de G dans ce volume gd2V g
v.n dS dt
36
Flux convectif (suite)
Pendant dt, la variation de G dans V est donc
dG dGe - dGs
37
Bilan pour un fluide
Le bilan de G dans un volume V est donc
38
Bilans sur un tube de courant
Le prix à payer faire des hypothèses
simplificatrices
v
Hypothèses supplémentaires ?

39
Bilan sur un tube de courant
Hypothèse g uniforme sur Se et Ss (justifié
pour des écoulements en conduite)
On définit les vitesses moyennes gt 0 ve et vs en
entrée et en sortie
Slat
v
v
Se
Ss
v
Slat
Le bilan sur la grandeur g devient
40
Justification tube de courant
On définit une vitesse moyenne v sur la section,
par
vS
41
Récapitulatif bilan de G
Dans un volume V
S
dS
n
V
n
Sur un tube de courant
42
Bilan de matière

• G M masse
• g r masse volumique
• R - R- 0 ni production, ni destruction,
• ni flux diffusifs (pour un fluide homogène)

43
Conservation de la quantité de mouvement
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Bilan de quantité de mouvement

• G P quantité de mouvement
• g rv densité de quantité de mouvement
• R - R- S Fext loi de la dynamique

Equations vectorielles
45
Conservation de l énergie
Pour un système fermé (qui néchange pas de
matière)
Q
U1, K1
U2, K2
Pendant un temps dt
W
D(UK) (U2K2) - (U1K1) W Q Joule
46
Bilan dénergie

• G UK énergie interne cinétique
• g r (u v2/2) densité dénergie interne
  cinétique

47
Forces extérieures
Frottement visqueux frottement fluide /
fluide adhérence fluide aux solides dissipat
ion dénergie
48
Viscosité expérience de Couette

• Constatations expérimentales
• vx U0 sur la plaque supérieure
• vx 0 sur la plaque inférieure

Le coefficient de proportionnalité ne dépend que
du fluide viscosité dynamique ?
49
Frottement visqueux
y
t2 gt t1
t1 ? 0
t ? tv
Ffluide / plaque
F
v
h

• Conclusions
• le fluide adhère aux parois
• les couches de fortes vitesse entraînent celles
  de faible vitesse
• gt frottement entre les couches fluides
• la force / u. de surface est proportionnelle au
  gradient de vitesse
• elle sexerce tangentiellement à la surface
• transfert de quantité de mouvement des fortes v
  vers les faibles v
• tv varie comme rh2/h transfert diffusif (idem
  chaleur)
• n h / r viscosité cinématique en m2/s.

50
Viscosité

• h homogène à kg.m-1.s-1 Pa.s Pl
  (Poiseuille)
• on utilise le Poise (Po) et surtout le
  Centipoise (cPo)
• Eau 10-3 Pa.s 1 cPo
• Air 1.85 10-5 Pa.s

• h augmente avec T pour un gaz
• indépendant de p pour un gaz
• diminue avec T pour un liquide (cf. huile dans
  poële)
• augmente avec p pour un liquide

51
Contrainte visqueuse
Contrainte s force / u. de surface
On a donc sp -pn Exprimé facilement en fonction
de n
Question peut-on exprimer sv en fonction de n ?
52
Bilan de quantité de mouvement
53
Equations locales

Objectif remplacer le bilan sur un volume V
par des relations différentielles valables en
chaque point du fluide

• Intérêt
• calcul analytique ou numérique de solutions
  découlement

54
Les équations locales
Système complet ?
1 équation vectorielle 2 équations scalaires
2 équations scalaires
55
Quelques équations détat
BAROTROPES Equation de lénergie découplée de M
et QDM
56
Autres écritures
57
Bilan matière pour unfluide incompressible
r( x, y, z, t) r0
Général
Tube de courant
Equation locale
58
Validité fluide incompressible
Correct si
Ma nombre de Mach
c vitesse du son dans le fluide

• Validité indépendante du caractère gazeux ou
  liquide
• Inutilisable si Ma gt 0,3
• Inutilisable pour rendre compte de certains
  phénomènes (acoustique, chocs)
• En pratique presque toujours valable dans les
  liquides

59
Modèle de fluide parfait
Permet de négliger les frottements visqueux

• mouvement non dissipatif
• conservation de lénergie mécanique
• pas dadhérence aux parois solides
• pas de création de  rotationnel 
• ouvre de nombreuses simplifications mathématiques

Limitations évidentes. Ne rend pas compte

• du freinage visqueux dun corps ou dun fluide
  (voiture économique !)
• de lamortissement des ondes (vagues,
  acoustiques, ...)

Validité ?
60
Nombre de Reynolds
Conservation QDM
A retenir !
61
Classification des écoulements
Permet de classer les régimes découlement
62
Ecoulement rampant (ou de Stokes)

• Re ltlt 1 (inertie négligeable devant frottements
  visqueux)
• Effets visqueux sensibles dans tout lécoulement
• Equations linéaires gt plusieurs solutions
  analytiques pratiques (suspensions, milieux
  poreux)
• Réversible

63
Ecoulement rampant
Re 1,5
64
Ecoulement laminaire
Re 26
65
Ecoulement laminaire
66
Transition laminaire-turbulent
Expérience de Reynolds
67
Transition laminaire-turbulent
Re 200
68
Ecoulement turbulent
Re 8000
69
Turbulence

• Déstabilisation de lécoulement
• Ecoulement moyen fluctuations de vitesse
• Fluctuations isotropes au coeur de lécoulement
• Tourbillons déchelles variées
• Transfert dénergie des grandes échelles vers les
  petites
• La plus petite échelle (dite de  Kolmogorov )
  dissipe lénergie
• Presque tous les écoulements industriels
• Les transferts massiques / thermiques sont plus
  efficaces
• Il existe des modèles numériques (k-e) utiles
  pour lingénieur
• MAIS reste encore un problème physique ouvert ...
• ALORS QUE
• échelle de lhomme
• équations de la mécanique classique !

70
Turbulence
 Je suis maintenant un vieil homme. Quand je
mourrai, et irai au paradis, jespère quon
pourra méclairer sur 2 disciplines
lélectrodynamique quantique, et la turbulence
des fluides. Pour la première, je suis plutôt
optimiste ...  Horace LAMB, physicien, 1932
71
Ecoulement externe couche limite
Ecoulement fluide parfait

• Dissipation visqueuse seulement dans la couche
  limite
• Vitesse ? fluide parfait seulement dans la
  couche limite

• Fluide parfait utilisable
• si on  néglige  la couche limite
• si on ne sintéresse pas à la force de frottement

Même conclusion si couche limite turbulente
72
Couches limites et sillages
73
Ecoulements interne

• Fluide parfait utilisable
• si on moyenne le profil de vitesse
• si on ne sintéresse pas aux pertes de charges

74
Validité fluide parfait

• Ecoulements externes
• Si Re gtgt 1, valable à lextérieur de la couche
  limite (qui est petite)
• Mais ne rend pas compte de certains phénomènes
  (trainée)
• Si Re ltlt 1, à traiter par théorie écoulements
  rampants

• Ecoulements en conduite
• Fluide parfait applicable (Bernoulli) pour tout
  Re
• Avec correction pour pertes de charges

75
Conservation QDM en fluide parfait
Sous forme locale
Sous forme globale
QDM transportée par le fluide rentrant - sortant
76
Fluide parfait incompressible
r( x, y, z, t) r0
Equations locales
Masse
QDM
Une grande simplification est possible Loi de
Bernoulli
77
Conditions aux limites

• Quelles relations doit-on écrire aux frontières
  du domaines
• parois solides
• interface avec autre fluide
• entrée dun écoulement (typiquement dun tuyau)
• sortie dun écoulement (idem)
• infiniment loin en amont dun obstacle

78
Conditions aux limites

• Paroi solide normalement v 0

• Sortie écoulement p imposé (souvent patm) et
  v // n

• Infini amont écoulement parallèle v V0

79
Loi de Bernoulli
v
On projette la conservation QDM sur la ligne de
courant
r0 ( grad v2/2 rot v ? v) . dM (r0g - grad
p) . dM
De plus, on peut écrire g grad (-gz)
grad (r0 v2/2 p r0gz) . dM 0
80
Loi de Bernoulli

• Sous les hypothèses
• Fluide parfait
• Fluide incompressible
• Régime permanent

La quantité p rv2/2 rgz est constante le long
dune ligne de courant
Conservation de lénergie mécanique
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Deuxième loi de Bernoulli
Applicable aux écoulements irrotationnels rot v
0 gt v grad f
r0 ( grad v2/2 rot v ? v)
(r0g - grad p)
De plus, on peut écrire g grad (-gz)
On suppose régime permanent gt
82
v
M
dM
v
v
83
(No Transcript)
84
Masse
 Par unité de temps, il sort autant de matière
quil en rentre