Title: Ed. Editex: TEMAS 5, 6 y 7 Vector: p
1Ed. Editex TEMAS 5, 6 y 7Vector pág
108-111 (tema 5)Producto escalar pág 132-134
(tema 6)Producto vectorial pág 158-161(tema
7)Producto mixto pág 164-167 (tema 7)
- VECTORES EN EL ESPACIO
- 2º Bachillerato
2EL CONJUNTO R3
Es un conjunto de ternas ordenadas de números
reales
R3 ( x , y , z ) / x ? R, y ? R, z ? R
Igualdad de ternas
3OPERACIONES en R3
Suma en R3 (suma de ternas) (x, y , z ) (x',
y', z') (x x', y y', z z') Es una
operación interna en R3. Con esta operación el
conjunto verifica las propiedades asociativa,
conmutativa, tiene elemento neutro y
opuesto Producto de un número real por una terna
de R3 a(x, y, z) (ax, ay,
az) Es una operación externa en R3, sobre el
cuerpo R Cumple las dos propiedades
distributivas, la asociativa y de la unidad EL
CONJUNTO DE LAS TERNAS DE R3 SOBRE EL CUERPO
R CON ESTAS OPERACIONES Y PROPIEDADES TIENE
ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL (R3, , R)
4VECTORES FIJOS en el ESPACIO
Un vector fijo es un segmento de recta orientado.
El primero de sus puntos recibe el nombre de
origen, y el segundo, extremo.
- Todo vector fijo está caracterizado por su
- Módulo es la longitud del segmento.
- Dirección determinada por la recta que contiene
al segmento y todas sus paralelas. - Sentido para cada dirección hay dos sentidos
posibles. El que corresponde al definido por el
recorrido desde A hasta B y el definido por el
recorrido desde B hasta A.
Estos dos vectores tienen igual módulo, igual
dirección y sentido contrario.
5VECTOR LIBRE en el ESPACIO
6OPERACIONES con VECTORES LIBRES
Suma
7Otra forma de sumar vectores libres regla del
paralelogramo
8Producto de un número por un vector libre
El producto de un número k?0 por un vector libre
es un vector con la misma dirección, su módulo
queda multiplicado por k, y el sentido depende
del signo de k
- k gt 0 el módulo del vector queda multiplicado
por k - El sentido permanece
- k lt 0 el módulo del vector queda multiplicado
por k - El sentido cambia
9COMBINACIÓN LINEAL de VECTORES
10DEPENDENCIA e INDEPENDENCIA LINEAL de VECTORES
Recuerda Un conjunto de vectores serán
linealmente dependientes si y solo si su
determinante es 0.
Si un conjunto de vectores no es linealmente
dependiente, se dice que es independiente
11EJEMPLOS
Calcular un parámetro para que tres vectores
sean dependientes. Eejemplo pág 124-2
12(No Transcript)
13BASES de V3
14EJEMPLOS
Demostrar que tres vectores forman una base.
Ejemplo pág 124 - 1a
15Base canónica
16COORDENADAS de un VECTOR
Si no se hace referencia a la base respecto a la
cual están dadas las coordenadas de un vector,
ésta es la base canónica.
17EJEMPLOS
Determinar las coordenadas de un vector
respecto de una base. Ejemplo pág 124-1b
18(No Transcript)
19EJERCICIOS
- Pág 126- 4 (solo x), 5
20(No Transcript)
21SISTEMA DE REFERENCIA CARTESIANO
22Ejes y planos cartesianos
- Los tres vectores de la base B determinan con el
origen O tres ejes de coordenadas OX, OY, y OZ.
- Los planos OXY, OYZ y OZX se denominan planos
coordenados del sistema de referencia.
23COORDENADAS DE UN VECTOR FIJO
24COORDENADAS DE UN VECTOR LOBRE
25COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
26EJEMPLOS
Ejercicios pág 126 1a,b,c
27(No Transcript)
28(No Transcript)
29OPERACIONES CON VECTORES
1- Suma
2- Producto de un nº R por un vector
30EJEMPLOS
Ejercicios pág 126 2b, 2c, 3
31(No Transcript)
32(No Transcript)
33EJEMPLOS
Pág 126 8
34EJEMPLOS
Pág 124 4
35(No Transcript)
36(No Transcript)
37(No Transcript)
383- Producto escalar de dos vectores libres
El producto escalar de dos vectores es un nº
obtenido multiplicando el módulo del primer
vector por el módulo del segundo vector por el
coseno del ángulo que forman
Interpretación geométrica el módulo del producto
es el producto del módulo de uno de ellos por la
proyección del otro sobre él
39 Expresión analítica
Si multiplicamos los vectores el producto escalar
se obtiene aplicando la propiedad distributiva
40Propiedades
El producto escalar cumple las siguientes
propiedades
41Consecuencias Módulo de un vector
Se define como la raíz cuadrada del producto de
un vector por sí mismo
Expresión vectorial
Expresión analítica
42Consecuencias Ángulo de dos vectores
Obtenemos el coseno de los vectores despejándolo
de la definición inicial.
43EJEMPLOS
44(No Transcript)
45(No Transcript)
46EJERCICIOS
- Ejercicios pág 150- 1a, b, c, 4a
47(No Transcript)
48(No Transcript)
494- Producto vectorial de dos vectores libres
Interpretación geométrica
B
Área del paralelogramo ABCD
C
A
Área del triángulo ABD o BCD
D
50Expresión analítica
51Propiededes
52EJEMPLOS
53(No Transcript)
54(No Transcript)
55(No Transcript)
56EJERCICIOS
57(No Transcript)
58(No Transcript)
59(No Transcript)
605- Producto mixto de tres vectores libres.
Expresión analítica
61Interpretación geométrica
El módulo del producto mixto representa el
volumen del paralelepípedo de aristas los tres
vectores
A
u,v,w/6 Volumen del tetraedro de aristas
OA, OC y OB
C
O
B
62EJEMPLOS
63(No Transcript)
64(No Transcript)
65(No Transcript)
66EJERCICIOS
67(No Transcript)
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69(No Transcript)
70PRESENTACIÓN BASADA EN
- Presentaciones elaboradas por la profesora Ana Mª
Zapatero del IES Élaios de Zaragoza, basados a su
vez en materiales de la Editorial SM - Libro usado en el Centro de la Editorial EDITEX