Pr

1
Conception des instruments, usages,
apprentissages Le cas des mathématiques
Luc Trouche, EducTice (INRP) et LEPS (Lyon
1) luc.trouche_at_inrp.fr
Master EIAH, Lyon 1, janvier 2008
2

• Présentations croisées
• itinéraires
• questionnement recherche, mémoire
• Létat des lieux des enseignements reçus
• outils
• concepts
• théories
• contextes

3
En guise dintroduction, une vieille histoire
 Le boulier corrompt lenseignement de
larithmétique. La principale utilité de cet
enseignement est dexercer de bonne heure, chez
lenfant, les capacités dabstraction, de lui
apprendre à voir de tête, par les yeux de
lesprit. Lui mettre les choses sous les yeux de
la chair, cest daller directement contre
lesprit de cet enseignement. La nature a donné
aux enfants leurs dix doigts pour boulier  au
lieu de leur en donner un second, il faut leur
apprendre à se passer du premier .
Extrait de larticle Boulier du Dictionnaire
Pédagogique de Ferdinand Buisson
(1911) http//www.inrp.fr/edition-electronique/lo
del/dictionnaire-ferdinand-buisson/
4
En guise dintroduction Mathema, connaissance et
pensée pure
 Puisquune machine à compter est possible, une
machine à raisonner est possible. Et lalgèbre
est déjà une sorte de machine à raisonner  vous
tournez la manivelle, et vous obtenez sans
fatigue un résultat auquel la pensée narriverait
quavec des peines infinies. Lalgèbre ressemble
à un tunnel  vous passez sous la montagne, sans
vous occuper des villages et des chemins
tournants, vous êtes de lautre côté et vous
navez rien vu  Alain, 1932, Propos sur
léducation.
Evoquant Platon et Rousseau, Chevallard (1996)
évoque la condition dépendante, ancillaire,
seconde de lécriture, qui ne fait que
représenter le langage, qui, lui-même, exprime la
pensée
5
Les outils en mathématiques, état des lieux
Mathématiques, calculs et outils

•  Le calcul est une composante essentielle des
  mathématiques à tous les niveaux, inséparable des
  raisonnements qui le guident ou en sens inverse
  quil outille .
• (Kahane 2002)

Mathematical Cuneiform Texts
6
Evolutions récentes des outils

• L aspect structuré des outils et la combinaison
  de plusieurs outils, deux caractéristiques
  anciennes du calcul

• Des évolutions notables avec les outils
  informatiques
• le regroupement des outils dans une même
  enveloppe 
• des outils de poche
• la multiplication des images
• le changement de paradigme (de la flèche au
  filet)
• des outils connectés (entre eux, ou le web)

7

• Nouveaux environnements, diversité
• Dédiés aux mathématiques (logiciels de calcul, de
  géométrie) ou non (Internet)
• Dédiés à un domaine des mathématiques
  (statistiques par exemple) ou non
• Dédiés à lenseignement des mathématiques
  (logiciels de géométrie dynamique) ou non
  (tableurs, systèmes de calcul formel)
• Applications reliées entre elles ou non
• Applications ouvertes ou non (degrés de guidage
  et dassistance)
•  Handheld  (calculatrices) ou non (ordinateurs)
• Logiciels intégrés dans la machine, ou en ligne
• Logiciels attachés à une machine ou nomades
  (pouvant migrer sur une calculatrice, un
  ordinateur)
• Machines en réseau ou non

8
Résistances des professeurs

• Petite histoire
• outils secondaires, ponctuels, transitoires,
  mais non problématiques
• 1970 outils refoulés  Mathématiques
  modernes , peu doutils, période de transition
• 1980 outils prescrits,  Plan Informatique pour
  Tous 
• Irruption des calculatrices
• Accélération technologique et importation dans
  les classes par les élèves

 Pour le professeur formé aux rigueurs de la
discipline mathématique, lintroduction de la
règle à calcul dès les classes moyennes peut
poser un vrai cas de conscience . Aristo,
Bulletin dinformation pour le corps enseignant
(Bieber 1971)
9
Plan Quest-ce quun concept (Vergnaud)
? Quest-ce quune situation mathématique
(Brousseau)? Quest-ce quun instrument
(Vigotsky) Une approche instrumentale
(Rabardel) Instrumentation et conséquences pour
lapprentissage Conséquences pour lenseignement,
le concept dorchestration Instrumentalisation et
conséquences pour la conception, le concept de
conception dans lusage Une illustration, dans le
contexte de la formation des enseignants,
ressources pédagogiques et modèles de
ressources Discussion
Deux réacteurs et un rapporteur
10
Comment définir un concept ? (vs quest-ce qui
atteste de la maîtrise dun concept ?)

• Lapproche de Gérard Vergnaud, dans la lignée de
  Piaget, une œuvre majeure, au carrefour de
  plusieurs champs
• didactique des mathématiques,
• didactique professionnelle,
• - psychologie

Introduction à cette œuvre, une vidéo
http//semioweb.msh-paris.fr/AAR/FR/video.asp?id
413ress1378video50592format22
11

• Conceptualisation et développement
• Elargir nos études sur les processus de
  transmission et dappropriation des connaissances
  (enfant, adulte, école, entreprise, vie)
• Lapprentissage se construit sur des durées
  longues (idée de genèse, au sens de
  développement)
• Deux formes essentielles de connaissance, la
  forme opératoire (celle qui permet de faire et de
  réussir) et la forme prédicative, qui prend la
  forme de textes, de traités et de manuels. La
  forme opératoire issue de lexpérience est
  toujours plus riche que la forme prédicative
• Dans toute activité, il y a un aspect productif
  (les résultats correspondants aux buts
  poursuivis) et un aspect constructif (les
  connaissances que lactivité déstabilise,
  installe ou renforce)

12
Ne pas prendre en compte que le résultat, mais
lactivité, son organisation et son adaptabilité,
pour une classe de situations, ou une nouvelle
situation
A est plus compétent que B si 1) sil sait faire
quelque chose que B ne sait pas faire, ou A est
plus compétent au temps t quau temps t sil
sait alors faire quelque chose quil ne savait
pas faire 2) sil sy prend dune meilleure
manière (plus rapide, plus habile, ou, mieux,
compatible avec la manière de faire des
autres) 3) sil dispose dun répertoire de
ressources alternatives qui lui permettent
dadapter sa conduite aux différents cas de
figure qui peuvent se présenter 4) sil est moins
démuni devant une situation nouvelle
13
Définition ???
Un concept, défini par un triplet
Lappropriation personnelle dun concept un
processus, à travers la rencontre de situations
et le traitement de problèmes. Le traitement de
ces problèmes suppose la mobilisation de
représentations et lémergence dinvariants
opératoires Le schème, lien entre le geste et la
pensée (Piaget, Vergnaud)
Un concept un triplet - une classe de
situations - des invariants opératoires - des
représentations Exemples ???
14
Le schème, outil pour modéliser les relations
entre le geste et la pensée
Entre force et douceur, la main trouve, lesprit
répond. Par approximations successives, la main
trouve le geste juste. Lesprit enregistre les
résultats et en tire peu à peu le schème du geste
efficace, qui est dune grande complexité
physique et mathématique, mais simple pour celui
qui le possède. Le geste est une synthèse ().
Ladulte ne se rend plus compte quil lui a
fallu accomplir un travail de synthèse pour
mettre au point chacun des gestes qui forment le
soubassement de son activité consciente, y
compris de son activité intellectuelle. Il ne
voit plus ce fondement et ne peut par conséquent
plus le modifier (Billleter, leçons sur Tchouang
Tseu, 2002)
15
Quatre points de vue sur le même objet  les
schèmes selon Vergnaud

• 1) Un schème est une totalité dynamique
  fonctionnelle
• 2) Un schème est une organisation invariante de
  lactivité pour une classe définie de situations
• 3) Un schème comporte quatre catégories de
  composants
• un but (ou plusieurs), des sous-buts et des
  anticipations
• des règles daction, de prise dinformation et
  de contrôle
• des invariants opératoires (concepts-en-actes,
  théorèmes en actes) 
• des possibilités dinférence
• 4) Un schème est une fonction temporalisée qui
  prend ses valeurs dentrée dans un espace
  temporalisé à n dimensions, et ses valeurs de
  sorties dans un espace temporalisé à n
  dimensions (n et n très grands)
• Exemples

16
Les invariants opératoires, caractéristiques des
schèmes

• Les schèmes ont une portée heuristique (ils
  permettent dinventer), pragmatique (aspect
  productif, ils permettent de faire), épistémique
  (aspect constructif, ils permettent de comprendre
  ce que lon fait)
• Les invariants opératoires constituent la
  composante épistémique des schèmes
• concept-en-acte concept tenu pour pertinent
  (un concept nest pas susceptible de vérité et de
  fausseté, il est seulement pertinent, ou non,
  pour prélever linformation).
• théorème-en-acte proposition tenue pour vraie
  (les théorèmes, eux, sont susceptibles de vérité,
  ou de fausseté, à lintérieur dun certain
  domaine).
• Exemples les schèmes de calcul de limite

17
Le repérage des schèmes, pas facile ! Le
repérage des schèmes Repérer les invariants
suppose de suivre lactivité des élèves sur un
temps suffisamment long, au cours de la
résolution dun ensemble dexercices comportant
la même tâche (limite en 8) sous des formes
variées, ce qui suppose de déterminer les
variables didactiques de cette tâche (oscillation
/- forte de la fonction, changement de signe ou
non, croissance forte ou non)
x2sinx, (100000x-50)/(x100), ex/x50,
x-1000.lnx, lnx10sinx, x.sinx, x2-10x.sinx,
xsinx
18
Schèmes et concepts
Point de vue du sujet les schèmes Gestes Buts R
ègles daction Invariants opératoires Possibilit
és dinférence
Point de vue du savoir
Invariants opératoires
Situations
Représentations
19
Des concepts aux champs conceptuels

• On ne peut pas comprendre le développement dun
  concept sans le replacer dans un système, que
  Vergnaud appelle champ conceptuel.
• Un champ conceptuel, cest à la fois
• un ensemble de situations dont la maîtrise
  progressive appelle une variété de concepts, de
  procédures et de représentations symboliques en
  étroite connexion
• lensemble des concepts qui contribuent à la
  maîtrise des situations.
• Exemples comprendre le développement du concept
  de limite suppose de le situer dans le champ
  conceptuel de lanalyse mathématique

20
Question concept personnel vs. concept
scientifique
 Ne vaudrait-il pas mieux parler de conceptions
concernant le sujet, de manière à les distinguer
des connaissances transmises par lécole ? Je
réponds que le mouvement de la conceptualisation
dans la culture nest pas très différent du
mouvement de la conceptualisation chez un sujet
individuel, à ceci près évidemment que lhistoire
est faite par des adultes experts et non par des
enfants entourés dadultes. Si on regarde
lhistoire des mathématiques, on est frappé par
le fait que les connaissances nouvelles produites
ont un caractère local, comme chez lélève qui
apprend. Je ne vois pas pourquoi il faudrait se
priver du mot concept pour parler des
connaissances des élèves alors que, de toute
évidence, cest un mot qui na pas une
signification univoque, guère plus dans
lhistoire et la culture que chez les élèves 
(Vergnaud 2005)
21
Viser lapprentissage, ou penser les aspects
formels les ontologies
modèle dorganisation des connaissances dans un
domaine donné (Wikipedia)
22
Comment acquérir un concept ?La théorie des
situations didactiques (Brousseau 1998)

• Une modélisation de lapprentissage comme un jeu
• Concevoir des situations adidactiques liées au
  savoir à construire
• Les connaissances en jeu portent en elles la
  résolution optimale du problème en question
• Exemples emblématiques
• le puzzle, correspondant à la connaissance
• la course à 20, correspondant à la connaissance

23
Le rôle des instruments dans lactivité humaine
et la conceptualisation
Une longue tradition, des relations de Descartes
avec les artisans, à linventaire des savoir
faire dans lencyclopédie de Diderot Vigotski
situe tout apprentissage dans un monde de culture
où les instruments jouent un rôle
essentiel Instruments matériels, instruments
psychologiques, des produits de lhistoire et de
lactivité humaines
24
Un prolongement de lapproche de Vigotski 
lapproche instrumentale (Rabardel 1995)
La notion dartefacts (matériels ou
symboliques) Le cœur de cette approche les
relations dialectiques entre les sujets et les
artefacts quils utilisent et/ou constituent au
cours de leur activité
Un sujet
Un artefact
Genèse instrumentale
Instrumentation
Deux processus en étroite relation,
instrumentation et instrumentalisation
Instrumentalisation
Un instrument une partie de lartefact des
schèmes daction instrumentée
Un instrument subjectif, entité mixte, comme
résultat dune construction individuelle
25
Genèses individuelles, plurielles, sociales
Un ensemble dartefacts présents dans
lenvironnement La notion denvironnement
informatisé dapprentissage Un instrument comme
résultat dinteractions entre des individus 
caractère social des genèses Pour un individu,
plusieurs instruments en construction genèses
instrumentales, systèmes dinstruments
Des artefacts
Un sujet
Genèses instrumentales
Une institution, des situations, des tâches
Des instruments
26
Exemples dinstruments ?
Un sujet
Un artefact
Genèse instrumentale
Instrumentation
Instrumentalisation
Un instrument une partie de lartefact des
schèmes daction instrumentée
Un instrument subjectif, entité mixte, comme
résultat dune construction individuelle
27
Variété des  artefacts matériels
28
Variété des  artefacts logiciels

• Documents textes numériques ou numériques
• Documents hypermédias
• Simulations, micromondes
• Outils pour lapprentissage
• Ex écriture collaborative, géométrie
  descriptive, TCAO, EXAO, géomatique, etc.
• Outils de communication et déchange
• Courriel
• Forum, Messagerie instantanée
• Wiki, Blog,
• Outils daide à la créativité, à la
  conceptualisation
• Outils dintégration ENT

29
Variété des situations
30
Les processus dinstrumentation linfluence des
artefacts sur lactivité
Linstrumentation est le processus par lequel les
contraintes et les potentialités dun artefact
conforment, relativement, lactivité du sujet. Il
se developpe à travers lémergence et lévolution
des schèmes pour laccomplissement dun type de
tâches donné. Exemple étudiez la limite en
8 de la fonction x ? lnx 100 sinx
Instrumentation
 Si la fonction oscille trop, elle ne peut pas
avoir de limite 
31
Comprendre les processus dinstrumentation
Une nécessaire analyse de la transposition
informatique (Balacheff 1994), ce travail sur la
connaissance qui en permet sa représentation
symbolique et la mise en œuvre de cette
représentation par un dispositif
informatique Trois niveaux à prendre en
considération les contraintes internes, les
contraintes de commande et les contraintes
dorganisation des commandes
32
Problèmes de perception
33
Problèmes dinterprétation
34
Problèmes de traitement de linformation
Calculez la dérivée nième de
Savoir saisir les données Savoir organiser
linformation Savoir analyser linformation Savoi
r coordonner et comparer Savoir faire appel à des
connaissances antérieures Savoir inférer Savoir
prouver Savoir contrôler un résultat
35
La nécessaire gestion didactique des artefacts
les orchestrations instrumentales
Lobjectif de contrôle (vs de guidage, vs
dassistance, vs daccompagnement) des genèses
instrumentales Orchestrer des situations données
(résolution de problèmes) dans des environnements
technologiques donnés Définir des configurations
didactiques (agencement des artefacts) et des
modes dexploitation de ces configurations au
cours des différentes phases de la résolution
36
La nécessaire gestion didactique des artefacts
les orchestrations instrumentales
Exemple 1 Configuration de lartefact
Remarques générales Diversité des configurations,
de leurs combinaisons et des modes
dexploitation Nécessaire adaptabilité, pour
ajuster à des situations et des environnements
différents Favoriser la socialisation des genèses
instrumentales Favoriser la réflexivité Nécessair
e prise en compte du temps, une variable
essentielle ( Time to think )
Exemple 3 Configuration liée aux méthodes
réflexives dauto-analyse de lactivité
Exemple 2 Configuration liée aux modes daction
des artefacts
37
Les réseaux dartefacts, de nouvelles
possibilités dorchestrationhttp//educmath.inrp.
fr/Educmath/lectures/dossier_mutualisation/

• TI Navigator
• Un dispositif de mise en réseau de calculatrices
  dans une classe
• Des élèves travaillant en groupes
• Un pilotage à distance par le professeur
• Plusieurs configurations possibles
• mosaïque décran
• repère commun
• consultation rapide
• De nombreux modes dexploitation possibles

38
Un exemple dutilisation
A
B
C

• ABC est un triangle isocèle, AB AC 10 cm,
  quelle est laire de ce triangle ?
• objectif le concept de fonction (de BC) 
• travail en réseau des élèves
• des calculs validés par petits groupes, envoi des
  données sur lécran commun
• un objet se constitue, création personnelle, mais
  détaché de soi
• co-élaboration dun objet mathématique qui
  modélise un problème donné
• de nombreux problèmes se posent (incertitudes de
  mesure ou erreurs de calcul, courbe ou nuage de
  points, etc.)
• question de la validation

39
Un exemple dutilisation
A
B

• Choix didactiques complexes pour le professeur
• afficher, ou non, les noms des élèves auteurs
• repère commun ou mosaïque décrans
• comment gérer le débat scientifique ?
• quand et comment institutionnaliser les nouvelles
  connaissances ?
• Une complexité ajoutée pour concevoir
  situations et environnements, organiser les
  dispositifs, analyser les apprentissages.

C
40
De quel type dorchestre sagit-il ?
La  publication  des gestes montre
linventivité des acteurs Des techniques non
prévues par le professeurs Des usages non prévus
par le concepteur Lintérêt pour le professeur
dintégrer de nouveaux apports pour le
développement et lenrichissement des instruments
individuels et collectifs
Dans un groupe de jazz, une improvisation
musicale émerge dun va-et-vient continu entre
chaque musicien, dans un jeu dajustements
réciproques permanents, le chef dorchestre
ayant un rôle de mise en forme, en phase de
lensemble. (Bril 2002)
41
Les processus dinstrumentalisation et les
conséquences en terme de conception des artefacts
Cest un processus de personnalisation et de
transformation de lartefact Processus négligé
dans les premières études (une conséquence
peut-être de lexpression activitée
instrumentée) Ni un détournement, ni un piratage,
mais une contribution essentielle des
utilisateurs à la conception même des artefacts.
Instrumentalisation
42
Un nouveau point de vue sur la conception des
artefacts
La notion de conception dans lusage
(Rabardel) Les usagers prennent une part active à
la conception à travers leur activité située Une
frontière mouvante entre concepteurs initiaux et
usagers concepteurs Impossible de concevoir des
artefacts parfaits, danticiper complètement
les usages qui en seront faits Intérêt de
concevoir des artefacts suffisamment flexibles,
qui pourront être développés par leurs
destinataires Idée déquipes de conception,
plutôt que de chaînes de réalisation Il ne sagit
pas seulement de concevoir un prototype et de le
tester (exemples des plates-formes et des
réseaux Texas Instruments)
43
Une illustration de la conception dans lusage,
dans un contexte de formation continue des
enseignants
Complexité du travail du professeur de
mathématiques Inadaptation et inefficacité des
formations (initiale comme continue) Foisonnement
et inadaptation des ressources sur le
web Emergence de communautés de professeurs
(Mathenpoche par exemple) qui conçoivent et
partagent des ressources pédagogiques Lidée de
sappuyer sur ce processus ce qui suppose un
cadre théorique, des dispositifs spécifiques
44
App. instrumentale et enseignement, notion de
ressource pédagogique
Ressource pédagogique ensemble de documents
donnant à un (des) enseignant(s) une (des)
situation(s) mathématique(s) et des éléments pour
les exploiter dans un environnement informatisé
résultats de et propositions pour laction du
professeur dans sa classe Lappropriation de
cette ressource par le professeur est un
processus complexe (modification de la ressource
avant usage, pendant la mise en œuvre, après
usage) Intérêt dans ce cadre de lapproche
instrumentale
45
Une approche instrumentale des ressources
pédagogiques

• Une idée majeure  concevoir les ressources
  pédagogiques comme des artefacts, se constituant
  en instruments au sein de communautés de pratique
  émergentes

Instrumentalisation
et instrumentation
Une communauté de pratique
nécessitant de concevoir modèle de ressources et
dispositifs permettant la vie de ces processus
Un vivier de ressources pédagogiques
46
Le SFoDEM  méthodologie
Des modèles prédictibles ?

• Suivi de Formation à Distance des Enseignants de
  Mathématiques, un dispositif conçu et mis en
  oeuvre dans lacadémie de Montpellier, pour
  développer lintégration des TICE dans les
  classes
• Méthodologie faire émerger des communautés de
  pratique pour concevoir, expérimenter dans les
  classes, faire évoluer de façon collaborative des
  ressources intégrant les TICE
• Les ressources initiales les formateurs de
  lIREM de Montpellier et leurs répertoires de
  ressources pédagogiques, une équipe pilote de
  recherche pluridisciplinaire (math, informatique,
  didactique)
• Lobjectif clé de modèle de ressources,
  nécessaire pour la mutualisation, à construire au
  cours du processus

47
Le SFoDEM  mise en œuvre

• Un dispositif hybride (en présence et à distance)
• Une cellule de formation pour la régulation, la
  réflexion et lévolution (ressources et
  dispositif)
• Plusieurs thèmes de formation (pour chacun  3
  formateurs, 20 stagiaires) pour extraire les
  invariants de la structure des ressources

48
Lévolution du modèle de ressources
Fiche didentification
Fiche élève
Fiche professeur
Fiche de description
Format 2001
Scénario dusage
Fiche élève
CR dexpérimentation
Fiche professeur
Fiche technique
Format 2002
49
Un dispositif vivant, complexité
Une évolution par adjonction de nouveaux outils
Nécessité du temps, dun climat de confiance, de
ladhésion des acteurs (chartes), de la
régulation, de la réflexivité
Une évolution des modes de travail limportance
des germes de ressources pour initier le travail
collaboratif (initier le travail collaboratif
très en amont de la conception)
50
Des ressources vivantes, complexité

• Une condition de développement des instruments 
  des artefacts flexibles, qui peuvent accompagner
  et intégrer de nouveaux usages
• proposer différents usages appuyés sur des
  objectifs dapprentissage (variables didactiques
  par exemple)
• fournir des traces des usages antérieurs, avec
  différents niveaux danalyse (CR ou traces)
• donner à voir les étapes des processus
  dinstrumentalisation (CV)

51
Prolongements théoriques
Une réflexion interdisciplinaire sur le
développement de ressources pour lenseignant
scénariser lenseignement et lapprentissage 
une nouvelle compétence pour le praticien
(Godinet Pernin 06) Un travail de réflexion
théorique interdisciplinaire  environnements
informatisés et ressources numériques pour
l'apprentissage conception et usages, regards
croisés (Baron et al 07) Les genèses
documentaires des enseignants, individuelles et
collectives (Gueudet et Trouche)
52
Bibliographie
Baron M., Guin D.,Trouche L. (dir.), 2007,
Environnements informatisés et ressources
numériques pour l'apprentissage conception et
usages, regards croisés. Paris
Hermès. Brousseau G., 1998, Théorie des
situations didactiques. Grenoble La Pensée
sauvage. Gueudet G., Trouche L. (à paraître), Le
travail des enseignants, genèses documentaires et
communautés de pratiques. Guin D., Joab M.,
Trouche L. (dir.), 2008, Conception collaborative
de ressources pour l'enseignement des
mathématiques, l'expérience du SFoDEM. INRP
IREM (Université Montpellier 2). Guin D., Trouche
L., 2008, Un assistant méthodologique pour étayer
le travail documentaire des professeurs le
cédérom SFoDEM 2007. Repères-IREM, 72. Rabardel
P., Pastré P. (dir.), 2005, Modèles du sujet pour
la conception, dialectiques activité-développement
. Toulouse Octares. Trouche L., 2005,
Construction et conduite des instruments dans les
apprentissages mathématiques  nécessité des
orchestrations, Recherches en didactique des
mathématiques, 25, 91-138 Vergnaud G., 1996, Au
fond de l'apprentissage, la conceptualisation.
Paper presented at the Ecole dété de didactique
des mathématiques. Vygotski L.S., 1985, Pensée et
langage. Paris Editions sociales.