Booles Algebra

1
Booles Algebra
Genom att representera logiska uttryck på
matematisk form, där sammanfognings-orden OR och
AND motsvarade ett slags addition och
multiplikation, blev det möjligt att med en
algebra undersöka om kompli-cerade logiska
utsagor och resonemang, i slutändan var sanna
eller falska.
1938 "dammade" Claude Shannon av algebran och
använde den till elektriska kontaktnät. Sedan
dess är Booles algebra det huvudsakliga verktyget
för all digital konstruktion.
Claude Shannon matematiker/elektrotekniker (1916
2001)
George Boolematematiker(1815-1864)
2
AND OR NOT
Algebran bygger på ett talsystem med bara två
tal, 1 och 0. Inom logiken motsvarar dessa tal
sant/falskt, och för kontaktnät motsvarar de
sluten/bruten kontakt. Logikens sammanfogningsord
OR och AND motsvarar parallellkoppling och
serie-koppling i kontaktnätet.
Två parallellkopplade kontakter ger OR-funktion,
eftersom det räcker med att en av dem är sluten
för att hela kretsen ska vara sluten.
Två slutande kontakter i serie ger AND-funktion.
För att få en sluten krets krävs det att de båda
seriekopplade kontakterna a och b vara slutna.
Den boolska algebran innehåller också en
inversoperator för logikens sammanfogningsord
NOT. För inversoperatorn gäller
3
Dubbel invertering
Nisse ska ställa frågan Vilken dörr skulle Du
peka ut om Jag frågade dig vilken dörr som leder
till friheten? Om Nisse ställer frågan till
lögnaren så är svaret på den indirekta frågan
vilken dörr som leder till friheten "lejondörren"
eftersom lögnaren ljuger, och den dörr som pekas
ut blir "frihetsdörren" eftersom lögnaren sin
vana trogen ljuger igen. Den utpekade dörren är
således säker. Om Nisse ställer frågan till
sanningssägaren så är naturligtvis även då den
utpekade dörren säker. Genom att frågan är så
konstruerad att den tvingar lögnaren att använda
"sin" NOT-funktion nästlat två gånger,
NOT(NOT(x))  x, upphävs dess verkan.
Nisse hålls fången hos en grym sultan som trots
sin grymhet bestämmer sig för att ge Nisse en
chans. Han förs till ett rum med två dörrar, där
en leder till friheten och en till lejonen. I
rummet finns en fångvaktare, som antingen är
sådan att han alltid ljuger eller är sådan att
han alltid talar sanning. Fångvaktaren vet vilken
dörr som leder till friheten. Nisse får ställa
en fråga. Vad ska han fråga?
Tack! Per Persson
4
Räknelagar
Logisk addition "", OR, och logisk
multiplikation "", AND, följer i stort sätt de
vanliga normala algebraiska distributiva,
kommutativa och associativa lagarna (med ett
"udda" undantag).
5
Förenklingsregler och teorem
6
Exempel De Morgans lag
De Morgans lag visas enklast med några exempel
1) 2)
7
Grundläggande funktioner
8
Sammansatta funktioner
9
Amerikanska symboler
Microchip, använder amerikanska grindsymboler i
manualerna
10
Så här beskriver Microchip interrupt-mekanismen
11
Hur öppnar man kodlåset?
Vilka knappar ska man sam-tidigt trycka på för
att tända lampan? ( öppna kodlåset)
Svar d och h, men samtidigt måste man undvika
att trycka på a b c e f g i och k!
En produktterm där alla variabler ingår kallas
för en minterm.
12
Logiknät SP-form
Alla logiska funktioner kan realiseras med hjälp
av grindtyperna AND och OR kombinerade i två
steg. Vi förutsätter här att ingångs-variablerna
även finns i inverterad form, om inte så behöver
man naturligtvis även inverterare NOT till detta.
Man kan realisera grindnätet dir-ekt ur
sanningstabellen. Varje "1" i tabellen är en
minterm. Funktionen blir summan av dessa
mintermer. Man säger att funk-tionen är uttryckt
på SP-form ( Summa av Produkter ).
Men, det kan finnas mycket enklare grindnät med
färre grindar som gör samma arbete.
13
Logiknät PS-form
Alternativt kan man inrikta sig på
sanningstabellens 0or. Om ett grindnät återger
funktionens 0or korrekt så är ju även 1orna
rätt!
Om således funktionen ska vara "0" för en viss
variabelkombination (a,b) tex. (0,0) så bildar
man summan ( a b ). Den summan kan ju bara bli
"0" för kombinationen (0,0). En sådan summa
kallas för en maxterm. Funktionen uttrycks som en
produkt av alla sådana maxtermer. Varje maxterm
bidrar med en 0a från sannings-tabellen.
Funktionen sägs vara uttryckt på PS-form
( Produkt av Summor ).
14
? och ?
SP och PS-formerna brukar förenklat uttryckas
genom en uppräkning av de ingående
maxtermernas/mintermernas ordningsnummer f(a,b)
?(1,2) f(a,b) ?(0,3)
15
Förenkling med Booles algebra
Funktionens SP-form har tre mintermer svarande
mot sannings-tabellens tre ettor. Med
koncensuslagen kan en term a läggas till, som
sedan efter vidare förenkling leder till
uttrycket f a b ( dvs. OR-funktionen )
Samma resultat hade man fått direkt om man använt
PS-formen med maxtermen a b.
16
Användning av De Morgans lag
Om man utrycker sanningstabellens ensamma 0a som
en minterm så har man gjort helt fel. Om man
därefter inverterar mintermen så blir
följdriktigt det helt rätt! Med De Morgans lag
kan man till sist förenkla det inverterade
uttrycket.
17
Dioden
18
Diod OR-grind
19
Diod AND-grind
20
Transistorn
21
Transistor inverterare
22
Övningsuppgifter
Ange namn och utsignal 1/0 för följande sex
grindtyper när insignalerna är de som visas i
figuren.
AND 0
OR 1
XOR 0
NAND 0
NOR 1
XNOR 1
23
Övningsuppgifter
Ange insignalens värde 1/0 på ?-ingången för
följande grindtyper så att utsignalen blir den
som angivits i figuren.
24
Övningsuppgifter
En logisk funktion har följande sanningstabell.
Ange funktionen på SP-normalform (summa av
produkter).
25
Övningsuppgifter
En logisk funktion har följande sanningstabell.
Ange funktionen på PS-normalform (produkt av
summor).
26
Laboration diodgrindar
Med funktionsgeneratorn ställer man in vilka
mintermer som ska ingå i funktionen.
På resten av kopplingsdäcket bygger man själv upp
funktionen med diodgrindarna.
Om lysdioderna uppför sig lika för alla
ingångskombinationer så har man lyckats!
27
De 16 funktionerna av två variabler
De fins 16 funktioner av två variabler. En del är
välkända, andra okända. Med Booles algebra kan
man hitta förenklingar, men för två variabler kan
man i allmänhet själv direkt se vilka
förenklingar som kan göras.