A lyukas dob hangjai

1
A lyukas dob hangjai

• Hagymási Imre

Bolyai Kollégium fizikus szakszeminárium
2006. november 15.
2
Az eloadás menete

• probléma vázolása
• kvantummechanikai analógia
• Green-függvények, Weyl-formula
• WKB-módszer
• numerikus eredmények

3
A probléma

• lyukas membrán sajátrezgéseinek vizsgálata
• belül Neumann-, kívül Dirichlet-határfeltétel
• N-D-t nem tágyalták az irodalomban

R1
R2
4
A probléma

• A hullámegyenlet
• A megoldást a következo alakban keressük

határfeltételek!
Helmholtz-egyenlet
5

• Szeparálható a Helmholtz-egyenlet
• A sajátfrekvenciákat meghatározó egyenlet
• dimenziótlan paraméterek

6
Analóg rendszer

• Szabad részecske zárt tartományban
  biliárd
• egységrendszert használjuk.
• A sajátfrekvenciák megfeleltethetoek a részecske
  energiaszintjeinek

7

• A lépcsofüggvény
• Deriváltja az állapotsuruség
• Célunk ezek meghatározása és vizsgálata

8
A Green-függvény

• Green-függvény definíció szerint
• Esetünkben
• határfeltételek!
• Ha ismerjük egyenlet
  sajátfüggvényeit és sajátértékeit

9
Állapotsuruség

• Ha ismert a Green-függvény, akkor
• a Green-függvény általában nem ismert, mit
  tehetünk?
• ?közelítünk - Weyl-sorfejtés

10
A területi tag

• Tegyük fel, hogy nincsenek határfeltételek,
  határozzuk meg ekkor a Green-függvényt!
• Az ebbol számolt állapotsuruség adja a
  Weyl-formula területi tagját, ahol
• A a biliárd területe

11
A kerületi tag

• Próbáljuk meg kielégíteni a határfeltételeket!
• ahol
• ha Dirichlet-, ha Neumann határfeltétel
• végeredmény
• a biliárd kerülete

12
Weyl-formula magasabb rendu tagjai

• A Weyl-sorfejtés általános alakja
• Az egzakt Green-függvényt meghatároztuk

13
Az egzakt Green-függvény

• Az függvényekre a
  határfeltételek felhasználásával egy lineáris
  homogén egyenletrendszert kapunk.
• A trace elvégzése után áttérünk a
• módosított Bessel-függvényekre
• Uniform közelítés alkalmazása

14
A Green-függvény trace-e
15
A Weyl-formula

• Kis belso sugarak esetén muködik a
  uniform-közelítés
• Ar és Br adott
• függvények

16
(No Transcript)
17
Numerikus eredmények
Az egzakt és közelíto (Weyl) lépcsofüggvény
különbsége
18
(No Transcript)
19
egzakt
Weyl
20
Mi okozza a szinguláris viselkedést az
állapotsuruségben?
Bessel-függvények viselkedése nagy argumentum
esetén
Nem függ m-tol!
21
Gyökök m-függése
22
Kis sugarak esetén?
gyökei vezeto rendben
23
Gyökök m-függése
24
WKB-módszer

• szemiklasszikus közelítés
• Bohr-Sommerfeld kvantálási feltétel

25
WKB-módszer
Végeredmény
Abramowitz Stegun
Debye-közelítés
26
egzakt energiák (), WKB (x)
27
A lépcsofüggvény közelítése
definíció szerint
Ez átírható a következo alakba
ahol
megoldása m-re adott n,x mellett.
28
A lépcsofüggvény közelítése
29
A közelíto lépcsofüggvény
egzakt
WKB
30
Gyökök függvényében
egzakt
közelítés
31
Egyéb tulajdonságok

• A vizsgált rendszer integrálható

32
Összefoglalás

• Helmholtz-egyenlet numerikus megoldása
• Weyl-sor együtthatóira algoritmus kis esetén
• Gyuru gyökös szingularitás -ben
• Szinguláris viselkedés értelmezése WKB
• level-crossing

33
Köszönet

• Cserti Józsefnek
• Csordás Andrásnak

34

• Köszönöm a figyelmet!