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TRIGONOMETRIA

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Manuel Jes s Quidiello Poveda http://www.Quidiello.es ngulo suma Resoluci n de tri ngulos rect ngulos Resolver un tri ngulo rect ngulo es obtener todos sus ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: TRIGONOMETRIA


1
TRIGONOMETRÍA
Manuel Jesús Quidiello Poveda
http//www.Quidiello.es
2
El teorema de Thales
Nació alrededor del año 640 AC en Mileto, Asia
Menor (ahora Turquía)
Thales era un hombre que se destacó en varia
áreas comerciante, hábil en ingeniería,
astrónomo, geómetra
Thales era considerado uno de los siete sabios de
Grecia
3
Teorema de Tales
A
  • Si dos rectas secantes ( rojo ) son cortadas por
    rectas paralelas entre sí ( azul ), los segmentos
    que determinan en las rectas secantes son
    proporcionales.
  • Podemos poner
  • AB AC BC
  • ----- ----- ------ r
  • AB AC BC
  • Y también
  • AB AC BC
  • ----- ----- ------ r
  • AB AC BC
  • Los triángulos ABC, ABC y ABC son semejantes.

B
C
B
C
B
C
4
  • Por el Teorema de Tales
  • AB BC AC
  • ---- ---- ----- r
  • AB BC AC
  • Los segmentos que determinan las tres rectas
    paralelas sobre las rectas secantes son
    proporcionales.
  • En el ejemplo de la figura
  • 2,5 2,5 5
  • ----- ----- -----
  • 2 2 4
  • 1,25 1,25 1,25

A
A
B
B
C
C
5
Trigonometría
  • La palabra trigonometría proviene del vocablo
    griego trígono triángulo-, y metron medida-,
    que se refiere a las medidas de los ángulos de un
    triangulo.
  • La trigonometría es la rama de las matemáticas
    que intenta establecer las relaciones entre los
    lados y los ángulos de un triangulo, para así
    poder resolverlos.
  • Así entonces resolver un triangulo significa
    encontrar el valor de sus tres lados, y el de sus
    tres ángulos, para esto nos valdremos del teorema
    de Pitágoras para encontrar el valor de un lado,
    si es que ya conocemos dos, y de las funciones
    trigonométricas para conocer el valor de los
    ángulos internos si es que ya conocemos mínimo un
    lado.
  • Y así posteriormente podremos combinar las
    funciones trigonométricas con el teorema de
    Pitágoras para poder resolver problemas de mayor
    dificultad.

6
EL RADIAN
  • SISTEMA SEXAGESIMAL
  • Cada una de las 360 partes iguales en que queda
    dividida la circunferencia se llama grado
    sexagesimal. Cada grado se divide en 60 minutos y
    cada minuto a su vez se divide en 60 segundos.
  • EL RADIAN
  • Es la unidad fundamental el Radian, que se define
    como aquel ángulo cuyos lados comprenden un arco
    cuya longitud es igual a la del radio de la
    circunferencia.
  • Para deducir el valor de un radian partiremos de
    la fórmula para calcular el perímetro de una
    circunferencia.
  • P 2.p.r
  • Sabemos que el giro completo de una
    circunferencia vale 360
  • 2.p rad 360º

A
Radio r
Arco AB r
B
7
Equivalencias
  • Tenemos que p radianes es igual a 180.
  • Y gracias a estos quebrados podremos obtener las
    siguientes equivalencias

Rad. 0 p/6 p/4 p/3 p/2 2p/3 3p/4 5p/6 p
Grados 0 30 45 60 90 120 135 150 180
Rad. 7p/6 5p/4 4p/3 3p/2 5p/3 7p/4 11p/6 2p
Grados 210 225 240 270 300 315 330 360
8
RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS
9
Razones trigonométricas
  • Razones Trigonométricas
  • En todo triángulo rectángulo, con independencia
    de las medidas de sus lados (catetos e
    hipotenusa) hay unas relaciones entre sus lados
    que se cumplen siempre, y que sólo dependen del
    valor de los ángulos agudos del triángulo.

B
Hipotenusa
B
c a
A90º
C
A b
C
10
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
CATETOOPUESTO A
HIPOTENUSA
CATETO CONTIGUO A
SENO
COSENO
TANGENTE
COTANGENTE
SECANTE
COSECANTE
11
Ejemplo
  • Hallar las razones trigonométricas en el
    triángulo rectángulo cuyos lados miden a5, b4,
    c3
  • sen Cc/a3/50,6
  • cos Cb/a4/50,8
  • tg Cc/b3/40,75
  • cosec C1/sen C1/0,65/3
  • sec C1/cos C1/0,81,25
  • ctg C1/tg C1/0,754/3

B
Hipotenusa
B
c a
A90º
C
A b
C
  • IMPORTANTE
  • Como un cateto siempre es menor que la
    hipotenusa
  • sen a 1
  • cos a 1

12
LA CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA
Y
  • Su radio es igual a la unidad.
  • Su centro es el origen de coordenadas.
  • Sus razones trigonométricas son independientes
    del radio

1
13
  • 1.- Línea seno Se representa por la
    perpendicular trazada desde el extremo del arco,
    hacia el diámetro horizontal.
  • Sen a cateto opuesto
  • hipotenusa
  • Que por la construcción la hipotenusa vale 1
  • sen a y

14
Análisis de los cuadrantes
0º 0 90º 1 180º 0 270º -1 360º 0
LíneaSeno
15
  • 2.- Línea coseno Se representa por la
    perpendicular trazada desde el extremo del arco,
    hacia el diámetro vertical.
  • cateto adyacente
  • Cos a
  • hipotenusa
  • Que por la construcción la hipotenusa vale 1
  • cos a x

16
LíneaCoseno
0º 1 90º 0 180º - 1 270º 0 360º 1
17
  • 3.- Línea tangente
  • cateto opuesto
  • tg a ---------------------
  • cateto adyacente

Se empieza a medir de este origen y termina en
la intersección de la tangente geométrica con
el radio prolongado que pasa por el extremo del
arco.
18
LíneaTangente
19
5.- Línea Cotangente ctg a 1
tg a  ctg a x / y x' / y' x'      
ya que y'1
20
4.- Línea secante sec a 1
cos a   sec a 1/cos a 1/(x/r) r / x
r' / x' r'
Secante
21
5.- Línea Cosecante Cosec a 1
Sen a  cosec a 1/sena 1/(y/r) r /
y r' / y r'  ya que y'1
y
x
0
22
Líneas trigonométricasen el cuadrante 1º
23
Líneas trigonométricasen el cuadrante 2º
24
Líneas trigonométricasen el cuadrante 3º
25
Líneas trigonométricasen el cuadrante 4º
26
CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA
27
Relaciones fundamentales
Fórmula fundamental
Aplicando el teorema de Pitágoras
Aplicando las siguientes definiciones
28
Relaciones a partir de la fundamental

29
Construcción de Tablas
30
(No Transcript)
31
(No Transcript)
32
(No Transcript)
33
(No Transcript)
34
(No Transcript)
35
(No Transcript)
36
(No Transcript)
37
(No Transcript)
38
Ángulo suma
39
Resolución de triángulos rectángulos
  • Resolver un triángulo rectángulo es obtener todos
    sus elementos desconocidos a partir de otros
    elementos conocidos.
  • Podemos resolver estos problemas de dos formas
  • Conociendo dos de los lados del triángulo.
  • Conociendo un lado y un ángulo agudo.

40
(No Transcript)
41
Ecuaciones trigonométricas
  • Son aquellas ecuaciones en las que la incógnita
    es un ángulo que aparece asociado a una razón
    trigonométrica.
  • Su solución se expresa como la medida de un
    ángulo y todos los ángulos que se obtienes
    añadiéndole un número entero de vueltas.
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