Diapositiva 1

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Si può dimostrare che la capacità portante vale
Qualunque sia il valore iniziale della
popolazione, a lungo termine essa si assesterà
alla capacità portante
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I PUNTI DI EQUILIBRIO DEL MODELLO DI
BEVERTON-HOLT

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Punti di equilibrio del modello di
Beverton-Holt
instabile


È equilibrio stabile
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IL MODELLO DI RICKER (1954)
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Il salmone del Pacifico
Durante il ciclo riproduttivo, le femmine di
salmone ricercano un luogo nel greto del fiume
dove deporre le uova, in attesa che vengano
fecondate da un maschio.
Al crescere della densità degli adulti, cresce la
probabilità che più femmine scelgano lo stesso
luogo.
Oncorhynchus
distruzione accidentale di alcune delle uova con
conseguente decomposizione
proliferazione di diversi agenti patogeni che
infestano le uova deposte
Inoltre in alcuni casi, si sono anche osservati
fenomeni di cannibalismo degli adulti nei
riguardi delle proprie uova.
è ragionevole pensare che la sopravvivenza dei
nuovi nati decresca con il numero di adulti
riproduttivi non in modo lineare
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(No Transcript)
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COMPORTAMENTO DEL MODELLO DI RICKER
( DINAMICHE CAOTICHE )
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Dopo un breve periodo, la popolazione si assesta
al valore di equilibrio non banale
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Se si ha un andamento
ciclico (di periodo 2). Si alternano anni a
popolazione scarsa con anni a popolazione
abbondante Lequilibrio non banale è
instabile partendo da densità vicine ad esso, si
tende ad allontanarsi. Ci si avvicina invece
ciclicamente ad altri 2 punti (non di equilibrio)

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Dopo un breve transitorio, la popolazione
oscilla con periodicità tra 4 valori diversi.
Ciclo di periodo 4 Ad ogni anno di elevata
abbondanza segue regolarmente un anno di bassa
densità, ma di valore non costante. I minimi e i
massimi assumono alternativamente valori diversi.
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Comportamento caotico
                                                             
Labbondanza della popolazione ora fluttua in
maniera caotica. (caos deterministico)
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Valori iniziali diversi
Il caos deterministico determina una sensibile
dipendenza della soluzione dai dati iniziali. I
valori previsti dal modello si differenziano
sempre di più e addirittura sono in contro-fase
dopo il trentesimo passo (max e min scambiati)
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APPLICAZIONE DEL MODELLO DI RICKER
Le aringhe del Mare del Nord
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La relazione stock-reclutamento per questo tipo
di popolazione ha prodotto la tabella
Nt
Nt1
0.69 0.00
10.03 25.39
16.36 37.16
22.41 46.02
29.00 53.56
36.43 59.12
44.81 61.76
52.10 61.63
59.79 59.25
81.79 48.50
105.57 33.20
119.86 24.20
136.50 16.00
163.99 7.67
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Tramite una procedura di fitting ai minimi
quadrati è possibile risalire alla funzione
relativa al modello di Ricker capace di
descrivere la dinamica di questa popolazione

clear all global Nt Nt0
Nt1 Numero di aringhe (103 tonellate)al tempo
t Nt0.69 10.03 16.36 22.41 29.00 36.43 44.81
52.10 59.79 81.79 ... 105.57 119.86 136.50
163.99 Numero di aringhe (103 tonellate)al
tempo t1 Nt10. 25.39 37.16 46.02 53.56 59.12
61.76 61.63 59.25 48.5 ... 33.20 24.20
16.00 7.67 plot(Nt,Nt1,'o') title('Stock-Reclu
tamento per una popolazione di aringhe del Mare
del nord') xlabel('Nt 103 tonnellate') ylabel(
'Nt1 103 tonnellate ')
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Approssimazione ai minimi quadrati con il
modello di Richer N(t1)
lambda N(t)exp(-KN(t)) p
lambda, K parametri da identificare
Nt0
Nt(1) p5. 0.05 valori iniziali dei
parametri da identificare optionsoptimset('TolX',
0.001) p,fmin,exit,outfminsearch('Rerr',p,op
tions) Rappresentazione
grafica dei risultati y dati
calcolati con il modello Nt1 dati
misurati for i1length(Nt) y(i)
ricker(p,Nt(i)) end
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Calcolo dell'errore tra i
valori misurati e quelli calcolati (modello di
Ricker) ( Errore Distanza
euclidea) functio
n zRerr(p) global Nt Nt0 Nt1 len
length(Nt) for i1len y(i)
ricker(p,Nt(i)) end znorm(y-Nt1)
Definizione del
MODELLO DI RICKER

N(t1) lambda N(t)exp(-KN(t))
function y ricker(param,N)
global Nt Nt0 Nt1 lambdaparam(1) Kparam(2)
ylambdaNexp(-KN)
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figure(2) plot(Nt,Nt1,'o',Nt,y) title( 'Modello
di Ricker per una popolazione di
aringhe') xlabel('Nt 103 tonnellate') ylabel('
Nt1 103 tonnellate') legend('Dati
misurati','Modello di Ricker')
3.7331
0.0234
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In una certa annata si è verificato un
peggioramento della qualità delle acque dovuto
allinquinamento
La mortalità delle aringhe è aumentata del 30
ogni anno
Variante del Modello di Ricker che prende in
considerazione leffetto dellinquinamento
Inquinamento
Ricker
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Punti di equilibrio in assenza e con
inquinamento
Senza inquinamento
Intersezione della curva
con la bisettrice
Con inquinamento
Intersezione della curva con la retta di
coefficiente angolare 1\0.7 (bisettrice ruotata)
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(No Transcript)
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Equilibrio in
caso di inquinamento (morte del 30 delle
aringhe) ----------------------------------
f(Nt1) f(Nt) -0.3f(Nt)
gt equilibrio f(Nt)1-0.3 Nt
gt intersezione di f(Nt) con la retta Nt /
1-0.3 figu
re(3) equiNt inqui1/(1-0.3) y2inquiNt plot(
Nt,y,Nt,equi,'g',Nt,y2,'--r') title('Effetto dell
inquinamento') xlabel('Stock(Nt)') ylabel('Recluta
mento Nt1')
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Dinamiche temporali a confronto
Dinamiche temporali a confronto T020 a1(1)Nt
0 a2(1)a1(1) for i1length(T)-1
a1(i1)ricker(p,a1(i)) a2(i1)ricker(p,a2(i
)) a2(i1)a2(i1)-0.3a2(i1) end plot(T,a1
,T,a1,'o',T,a2,T,a2,'') title('Le dinamiche
temporali a confronto') xlabel('Tempo
anni') ylabel('Densità')
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(No Transcript)
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EFFETTO ALLEE
Warder Clyde Allee Biologo
ecologista USA 1885-1955
Il tasso di accrescimento dei modelli di
Beverton-Holl e di Ricker decresce allaumentare
della popolazione
In alcune popolazioni e in certe condizioni
ambientali il tasso di accrescimento è massimo ad
una densità di individui intermedia tra la minima
e la massima.
Per valori della popolazione non così grandi da
rendere rilevanti leffetto della competizione
intraspecifica, laumento della popolazione
provoca un aumento del tasso di accrescimento
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Ciò è vero per popolazioni dotate di una
struttura sociale (lupi), per le quali laumento
della numerosità significa maggiore aiuto,
sicurezza e protezione del singolo individuo.
Si vuole costruire una funzione che per valori
di P piccoli risulti crescente, mentre per
valori grandi di P risulti decrescente
Questo tipo di dipendenza da densità prende il
nome di DEPENSAZIONE.
Una parabola rivolta verso il basso soddisfa le
ipotesi che abbiamo posto su r(P).
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Due situazioni possibili
Pd lt 0
Pd gt 0
Per valori di P molto piccoli, r(P) può essere
negativo (depensazione non critica) oppure
positivo (depensazione critica)
Pd -100
Pd 100
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Evoluzione della popolazione con
effetto Allee
c è una costante legata al tasso malthusiano di
crescita
Depensazione critica
Depensazione non critica
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PUNTI DI EQUILIBRIO
con effetto Allee
I due casi di depensazione critica e non critica
si rivelano molto diversi nella ricerca dei punti
di equilibrio.
Depensazione critica
Depensazione non critica
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K capacità portante
Depensazione non critica
Depensazione critica
La stabilità dei punti di equilibrio dipende dai
valori numerici che specificano la parabola, cioè
dalla pendenza della curva
Depensazione non critica
P 0 instabile P K dipende dai parametri
P 0 stabile possibile
estinzione P Pd instabile P K
dipende dai parametri
Depensazione critica
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UN ESEMPIO Il branco di lupi
Si consideri una popolazione di lupi con capacità
portante K1000 e tasso di crescita descritto
dalla legge di depensazione. Supponiamo
c10(-6) e Pd 100 (depensazione critica)
o Pd -100 (depensazione non critica).
Simuliamo levoluzione della popolazione su 50
anni
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Nd -100
Nd 100
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Nel caso critico una popolazione di lupi con
numerosità inferiore a 100 (Nd) si estingue
Nd 100
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Si supponga che venga concessa la caccia.
E consentita labbattimento di 200 esemplari
ogni anno a partire dallundicesimo anno.
caccia
Leffetto del prelievo è evidente, ma alla fine
del periodo venatorio la popolazione è in grado
di recuperare.
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Anche in questo caso leffetto della caccia si fa
sentire, ma la popolazione è in grado di
recuperare.
Ma se la caccia è permessa anche allanno 31,
alla fine del periodo venatorio la popolazione si
trova sotto il valore Nd, ciò provoca
linesorabile estinzione anche se la caccia viene
sospesa.
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La regolamentazione di una popolazione con
depensazione critica è molto delicata !
NON E NECESSARIO STERMINARE TUTTI GLI
INDIVIDUI PER INDURRE UNA POPOLAZIONE
ALLESTINZIONE