Statistique Descriptive Chapitre 1 : Les tableaux et repr

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Statistique DescriptiveChapitre 1 Les
tableaux et représentations graphiques

• Pr. Abdelkrim EL MOUATASIM
• EST de Guelmim
• Maroc

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Objectifs de ce module
Statistiques descriptives à une variable
représentations

• Savoir décrire et représenter une série
  statistique par un tableau et un ou plusieurs
  graphiques adaptés.
• On fera des choix des représentations différents
  selon la nature du caractère.

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Introduction

• La représentation tabulaire est préalable à toute
  analyse statistique.
• Elle fait suite au travail préliminaire de
  collecte des données.
• La représentation graphique dun seul caractère
  repose sur une règle de proportionnalité des
  hauteurs ou aires des graphiques aux effectifs
  (ou fréquences).
• Le choix dun type de graphique dépendra de la
  nature du caractère étudié.

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Plan du chapitre 1
Voici les parties que nous allons aborder

1. Caractères qualitatifs.
2. Caractères quantitatifs discrets.
3. Caractères quantitatifs continus.

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Plan de la partie
?. Caractères qualitatifs
Voici les chapitres que nous allons aborder

1. Représentation tabulaire.
2. Diagramme à bande.
3. Diagramme circulaire.

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1. Représentation tabulaire
?. Caractères qualitatifs

• Tableau à simple entrée, sans hiérarchie (sauf si
  le caractère est ordinal).
• La première colonne renseigne les modalités et
  les deux suivantes les effectifs et fréquences.
• Si le caractère est ordinal, on pourra rajouter
  une dernière colonne avec les fréquences cumulées.

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?. Caractères qualitatifs
1. Représentation tabulaire

• Exemple On a noté la situation familiale des 150
  employés d'une entreprise.

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• On ne s'intéresse pas à la situation personnelle
  de M. Azim ou de M. Farid, mais à la répartition
  du caractère "situation familiale" dans la
  population des 150 employés.
• Pour cela il faut, pour chacune des modalités de
  la variable, déterminer l'effectif correspondant,
  c'est-à-dire le nombre de personnes ayant cette
  modalité il faut dénombrer le nombre de
  célibataires, le nombre de mariés, etc..

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• Cela peut se résumer par

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• On notera x1, x2, ..., xk les différentes
  modalités, et n1, n2, ... , nk les effectifs
  associés.
• Dans le tableau ci-dessus, x1 "marié",
• n1
• k
• La somme des effectifs vaut
• La variable que nous venons de voir
• est

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• On aurait pu tout aussi bien présenter les
  résultats sous la forme ci-dessus, par exemple.

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• Par contre, s'il s'agit d'une variable ordinale,
  les modalités sont toujours présentées dans
  l'ordre
• x1 lt x2 lt .... lt xk , comme dans l'exemple
  ci-dessous.

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• L'ensemble des couples
• (xi , ni ), i 1, ... , k
• est une série statistique (ordonnée), ou
  distribution observée de la variable.
• La somme de tous les ni est-elle toujours égale
  à n, nombre des observations ?
• On notera ceci
• effectif total

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• On appellera fréquence relative la valeur
• que l'on peut aussi exprimer en pourcentage par
  fi x 100, c'est le pourcentage d'individus pour
  lesquels la variable a pris la valeur xi.

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Complétez le tableau
A quoi est égal ici le total de la colonne
fréquence ? Et celui de la colonne "pourcentage"
? Il y a, parmi les 150 employés, . qui sont
mariés.
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2. Diagramme à bandes
?. Caractères qualitatifs

• Aussi appelé représentation par  tuyaux
  dorgue .
• Les modalités sont placées sur un axe horizontal.
• Les effectifs (ou fréquences) sont placés sur un
  axe vertical.
• La hauteur de chaque tuyau est proportionnelle à
  leffectif correspondant.
• Permet de comparer dun  coup dœil  les
  différentes modalités.

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(No Transcript)
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3. Diagramme circulaire
?. Caractères qualitatifs

• Laire, et donc langle au centre dun secteur,
  est proportionnelle à la fréquence (ou
  leffectif) de la modalité considérée (doù un
  angle de fi x 360 pour la modalité i).
• Permet de bien visualiser la part relative de
  chaque modalité.

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(No Transcript)
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?. Caractères quantitatifs discrets
Statistiques descriptives à une variable
représentations
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Plan de la partie
?. Caractères quantitatifs discrets
Voici les chapitres que nous allons aborder

1. Représentation tabulaire.
2. Diagramme bâton.
3. Courbe des fréquences cumulées.

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1. Représentation tabulaire
?. Caractères quantitatifs discrets

• Tableau à simple entrée, où les données sont
  classées par ordre croissant.
• La première colonne renseigne les différentes
  valeurs du caractère, et les trois suivantes les
  effectifs, fréquences et fréquences cumulées.

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• De même, pour une variable discrète, on notera
  x1 , x2 , ... , xk les valeurs rangées par ordre
  croissant, et n1 , n2 , ... , nk les effectifs
  correspondants.

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(No Transcript)
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• Ainsi, à partir de la série brute ci-dessus,
  construisez le tableau

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(No Transcript)
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• Voyons un autre exemple Pour étudier les
  appels téléphoniques arrivant à un central, on a
  noté, sur 96 jours comparables, le nombre
  d'appels reçus entre 9 h et 9 h 10. Les résultats
  sont consignés dans ce tableau

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Quelle est la proportion de jours où le nombre
d'appels a été de 2 ?
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Quelle est la proportion de jours où le nombre
d'appels a été supérieur ou égale à 3?
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Combien y-a-t-il eu de jours où le nombre
d'appels a été inférieur ou égal à 2 ?
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• Plus généralement, si
• (xi , ni ), i 1, ..., K
• est la distribution observée d'une variable
  discrète, n1 n2 ... ni Ni est le nombre
  d'individus pour lesquels la variable a été
  inférieure ou égale à xi..
• On peut calculer Ni de proche en proche
• N1 n1, N2 N1 n2, N3 N2 n3, etc ...
• Les Ni sont les effectifs cumulés croissants.

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• De même ni ni1 ... nk N'i est le nombre
  d'individus pour lesquels la variable a été
  supérieure ou égale à xi.
• Il peut se calculer de proche en proche
• N'k nk , N'k-1 nk nk-1 ,
• Les N'i sont les effectifs cumulés décroissants.

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• On peut définir de même
• Fi f1 f2 ... fi , fréquences relative
  cumulées croissantes obtenues de proche en proche
  par Fi1 fi1 Fi
• F'i fi fi1 ... fk , fréquences relative
  cumulées décroissantes obtenues de proche en
  proche par F'i F'i1 fi
• Fi et F'i peuvent s'exprimer aussi en pourcentage
  (en multipliant tout par 100).

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Complétez le tableau

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2. Diagramme bâton
?. Caractères quantitatifs discrets

• Diagramme bâton des effectifs
• A chaque valeur du caractère portée en abscisse,
  on associe un  bâton  vertical dont la hauteur
  est proportionnelle à leffectif.
• Cette représentation permet de comparer les
  effectifs de chaque valeur du caractère.

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(No Transcript)
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3. Courbe des fréquences cumulées
?. Caractères quantitatifs discrets

• Représente lévolution des fréquences cumulées.
• Le caractère étant discret, la courbe est en
   escalier .
• En effet, les valeurs étant séparées, entre
  chacune delle la fréquence cumulée est
  inchangée, doù ces paliers.

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3. Courbe des fréquences cumulées
?. Caractères quantitatifs discrets
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?. Caractères quantitatifs continus
Statistiques descriptives à une variable
représentations
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Plan de la partie
?. Caractères quantitatifs continus
Voici les chapitres que nous allons aborder

1. Représentation tabulaire.
2. Histogramme des densités de fréquence.
3. Polygone de fréquences
4. Courbe des fréquences cumulées.

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1. Représentation tabulaire
?. Caractères quantitatifs continus

• Tableau à simple entrée, où les classes de
  données sont triées par ordre croissant.
• La première colonne renseigne les différentes
  classes de valeurs du caractère, et les trois
  suivantes les effectifs, fréquences relatifs et
  fréquences cumulées.
• Si les classes ne sont pas toutes de même
  amplitude, on rajoute une colonne contenant les
  densités de fréquence, i.e. la fréquence de la
  classe divisée par son amplitude.

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1. Représentation tabulaire

• Lorsque la variable est continue, ou que la
  variable peut prendre un grand nombre de valeurs
  différentes, même si celle-ci est une variable
  discrète, il convient de regrouper ces valeurs en
  classes.
• À chaque classe on fait correspondre une
  fréquence ou une fréquence relative, et lon
  obtient alors une distribution de fréquence ou de
  fréquence relative pour valeurs groupées.
• Pour construire une distribution de fréquence, de
  fréquence relative ou de fréquence relative
  cumulée pour valeurs groupées on doit procéder de
  la manière suivante
• Déterminer le nombre de classes
• Déterminer lamplitude des classes
• Déterminer les différentes classes

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1. Représentation tabulaire

• Déterminer le nombre de classes
• 1) (règle de
  Sturges)
• 2)

Nombre dobservations dans la série statistique
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1. Représentation tabulaire

• Calculer lamplitude des classes
• Dune façon plus ou moins arbitraire
• En utilisant létendue

(Plus grande valeur de la série statistique
Plus petite valeur de la série statistique)
Des classes damplitudes égales
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1. Représentation tabulaire

• Déterminer les différentes classes

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Représentation tabulaireExemple 1

• Voyons l'exemple d'une série brute de 60 valeurs
  du CA mensuelle dune entreprise (en 1000dh), et
  le tableau des effectifs obtenus.
• L'inconvénient est que, comme on aura toujours
  un grand nombre de valeurs différentes, on
  obtiendra un grand nombre de petits effectifs, ne
  résumant finalement pas grande chose !

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(No Transcript)
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(No Transcript)
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• Une variable continue ne prend pas des valeurs
  isolées, mais des valeurs appartenant à des
  intervalles. C'est pourquoi, au lieu de définir
  des effectifs par valeurs, on définira des
  effectifs par intervalles, appelés classes.

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• Afin de simplifier la présentation on peut,
  quitte à perdre un peu d'information, regrouper
  les effectifs proches, par exemple
• 175 d effectif 1
• 176 d effectif 2
• 177 d effectif 1
• peut être remplacé par 175 178 d effectif
  4.

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• On découpera ainsi l'intervalle des valeurs en
  classes contiguës, de la forme
• e1 e2      e2 e3      e3 e4 ....
• ek ek1
• et on notera n1, n2, ... , nk les effectifs
  associés.
• ni est le nombre d'individus appartenant à la
  classe ei ei1 .

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Exemple 1
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Exemple 1
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• Quel que soit le type de variable on a
  finalement, pour toute modalité, valeur xi , ou
  classe ei , ei1 , un effectif ni , tel que
• Il est parfois utile, surtout pour faire des
  comparaisons entre plusieurs séries, de raisonner
  plutôt avec des fréquences relatifs.

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• Les définitions d'effectifs et de fréquences
  cumulés restent les mêmes dans le cas d'une
  variable continue.

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Exemple 2 Le tableau statistique (valeurs
groupées)

• Pour les trois dernières années, le débit mensuel
  moyen d'une rivière, exprimé en milliers de
  mètres cubes par seconde, a été le suivant
• Posons X la variable statistique représentant
  le débit mensuel moyen dune rivière.

Variable continue
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Exemple 2 Le tableau statistique (valeurs
groupées)

• (1) Nombre de classes

D
Débit
(2) Lamplitude des classes
(3) Détermination des classes
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Exemple 2 Le tableau statistique (valeurs
groupées)

• Distribution de fréquence, de fréquence relative
  et de fréquence relative cumulée

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2. Histogramme des densités de fréquence.
?. Caractères quantitatifs continus

• Ensemble de rectangles contigus.
• Pour chaque classe on trace un rectangle
• de base B proportionnelle à lamplitude de la
  classe
• de hauteur h proportionnelle à la densité de
  fréquence de la classe
• Laire du rectangle sera alors proportionnelle à
  la fréquence de la classe.

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2. Histogramme des densités de fréquence.
?. Caractères quantitatifs continus

• Double interprétation
• On comparera les densités de fréquence des
  classes en comparant les hauteurs des rectangles.
• On comparera les fréquences des classes en
  comparant les aires des rectangles.

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Age (ans) Nombre de personnes dans cette tranche d'âge
20 à 30 100
30 à 40 150
40 à 50 90
50 à 65 20
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• Histogramme de fréquence pour valeurs groupées
  (exemple 2)

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• Histogramme de fréquence relative pour valeurs
  groupées (exemple 2)

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• 3. Polygone de fréquences pour valeurs groupées
  (exemple 2)

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• 3. Polygone de fréquence relative pour valeurs
  groupées

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4. Courbe des fréquences cumulées
?. Caractères quantitatifs continus

• Représente lévolution des fréquences cumulées.
• Le caractère étant continu, la courbe lest
  également.
• Pour la construire, on joint les points de
  coordonnées (bi,Fi) où bi désigne lextrémité
  supérieure de la ième classe.

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• Ogive de fréquence relative cumulée pour valeurs
  groupées

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Synthèse

• En plus des tableaux et graphiques, on résume
  l'observation d'une variable quantitative par un
  petit nombre de paramètres.