Derivation of the Vector Dot Product and the Vector Cross Product

1
Derivation of the Vector Dot Product and the
Vector Cross Product
2
Derivation of the Vector Dot Product

• uv ?i ui vi
• ?i ui ei ?i vj ej

3
(u1 e1 u2 e2 u3 e3) (v1 e1 v2 e2 v3 e3)

• Kronecker Delta
• eiej dij 1 when i j
• 0 when i ? j
  

4
u1 e1 v1 e1 u1 e1 v2 e2 u1 e1 v3e3 u2 e2
v1 e1 u2 e2 v2 e2 u2 e2 v3 e3 u3 e3 v1 e1
u3 e3 v2 e2 u3 e3 v3 e3
5
u1v1e1e1 u2v2e2e2u3v3e3e3
u1v1 u2v2u3v3
6
Vector Cross Product Einstein Notation

• u ?  eijk e i uj ?k  
• Sijkeijkeiuj?k
• Si Sj Sk eijkeiuj?k

7
Levi-Civati Symbol
0 unless i, j, k are distinct 1 if i, j, k is
an even permutation of (1, 2, 3) -1 if i. j, k
is an odd permutation of (1, 2, 3)
e
8
Derivation of the Cross Product
(e121 u2v1 e122 u2v2 e123 u2v3 e131
u3v1 e132 u3v2 e133 u3v3 ) e1 (e211 u1v1
e212 u1v2 e213 u1v3 e231 u3v1 e232 u3v2
e233 u3v3 )e2 (e311 u1v1 e312 u1v2 e313
u1v3 e321 u2v1 e322 u2v2 e323 u2v3 ) e3 
9
Levi-Civati Symbol

• 3 1
  3 1 2
  2
• even 123, 231, 312 odd
  321, 213, 132

10
Derivation of the Cross Product
(e123 u2v3 e132u3v2) e1 (e213 u1v3 e231
u3v1) e2 (e312 u1v2 e321 u2v1) e3    (u2v3
u3v2)e1 (u1v3 u3v1)e2 (u1v2 u2v1)e3