La courbe normale, les scores Z, et la distribution dchantillonnage

1
La courbe normale, les scores Z, et la
distribution déchantillonnage

• PSY3204_Cours 4

2
Les probabilités
Inférence statistique
Population
Échantillon
Les probabilités
3
Probabilités et laire de la distribution de
fréquences
4
Les probabilités de la courbe normale et les
scores Z
34.13
13.59
2.28
5
Les probabilités de la distribution normale
a
b
6
Distribution centrée et réduite
?
Fréquence
? 10
80 90 100 110 120
Scores bruts
7
Pourquoi les scores Z au lieu des scores brutes?
Examen B
Examen A
?
?
Fréquence
? 3
? 12
70
73
70
82
Scores
8
Calculer le score Z dun score
X - X
z
Écart-type
9
Les scores Z
Moyenne
Fréquence
É-T
É-T
É-T
É-T
Scores
10
Buts principaux des scores Z

• Identifier la distance exacte dun score par
  rapport à la moyenne en unité décart-type.
• Identifier les scores les plus élevés et les plus
  faibles ainsi que les extrêmes
• Scores élevés et faibles Au-delà et en deçà
  dun écart-type
• Scores extrêmes Au-delà et en deçà de 3.29
  écart-type
• Comparer des scores provenant de populations ou
  déchantillons différents.
• Utiliser les probabilités associées à la courbe
  normale.
• Attention! Transformer les scores dune variable
  en scores Z ne transforme pas la distribution de
  cette variable en courbe normale.

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Comment utiliser les probabilités de la
distribution normale
Formule des scores Z
X
Z
Table des probabilités de la distribution
normale (voir votre livre de stats de base)
Probabilités sous la courbe
12
Étapes pour faire un test dhypothèse

• Identifier les variables du problème
• Formuler les hypothèses
• Identifier les probabilités acceptables de
  commettre une erreur de Type I
• Identifier sil sagit dun test unilatéral ou
  bilatéral
• Identifier les limites de la ou des zone(s) de
  rejet
• Recueillir un échantillon de données de taille N
• Choisir et exécuter le test statistique
• Prendre une décision au sujet de lhypothèse
  nulle
• Dégager les implications du résultat statistique
  pour la question de recherche

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Population après événement Moyenne inconnue
É V È N E M E N T
?
On rejette lhypothèse nulle donc hypothèse
alternative
On accepte lhypothèse nulle
?
?
S
Échantillon
14
Formulez les hypothèses

• Ho ?o ?après lintervention
• Pour Ha, il y a trois possibilités
• Ha ?o ? ?après lintervention (Test
  bilatéral)
• Ha ?o lt ?après lintervention (Test
  unilatéral)
• Ha ?o gt ?après lintervention (Test
  unilatéral)

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Identifiez les probabilités acceptables de
commettre une erreur de Type I

• Seuil de signification ou lalpha (?) la
  probabilité de commettre une erreur de type I,
  étant donné lhypothèse nulle.
• Par convention, les chercheur(e)s ont établi la
  probabilité de commettre une erreur de type I à
  .05 (5). (Il y a aussi .01, .001, etc...)
• La ou les zone(s) de rejet de la distribution
  déchantillonnage doivent donc contenir 5 des
  moyennes possibles

16
Distribution déchantillonnage des moyennes
Moyenne étant donnée lhypothèse nulle
Fréquence
Écart-type
N
Moyennes déchantillons de taille N
17
Identifiez sil sagit dun test unilatéral ou
bilatéral
? 0
(Test unilatéral)
Erreur-type
Zone de rejet
(p ?)
18
Identifiez sil sagit dun test unilatéral ou
bilatéral

• Lhypothèse alternative nous renseigne sil
  sagit dun test bilatérale ou unilatérale
• Si la direction du changement est inconnue alors
  il sagit dun test bilatéral
• Si la direction du changement est connue et
  suffisamment justifiée alors il sagit dun test
  unilatéral
• Justification théorique
• Études antérieures

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Identifiez les limites de la ou des zone(s) de
rejet pour p .05
? 16
(Test unilatéral)
E-T
Zone de rejet
p .05
(Test bilatéral)
? 16
E-T
Zone de rejet
Zone de rejet
p .025
p .025
20
Trouvez le Zcritique et le Zobtenu

• Le Zcritique se trouve dans la table des
  probabilités de la courbe normale.
• Lorsque la moyenne de la population est connue,
  le Zobtenu est calculé avec la formule suivante

21
Comparez le Zcritique et le Zobtenu (Test
bilatéral)
? 16
Z critique -1.96
Erreur-type
Zone de rejet
Zone de rejet
p .025
p .025
22
Dégagez les implications du résultat statistique
pour la question de recherche

• Si on rejette lhypothèse nulle,
• Étant donnée lhypothèse nulle, il est peu
  probable que leffet obtenu soit dû à lerreur
  déchantillonnage.
• Il y a un effet, une différence, ou un
  changement.
• Cest différent de 0 au niveau de la population.
• Si on accepte lhypothèse nulle,
• Étant donnée lhypothèse nulle, il est probable
  que leffet obtenu soit dû à lerreur
  déchantillonnage.
• Nous navons pas pu observer de changement, de
  différence ou deffet.

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Population après événement Moyenne inconnue
Population initiale
É V È N E M E N T
?
On rejette l hypothèse nulle donc hypothèse
alternative
On accepte l hypothèse nulle
?
?
S
Échantillon
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Ce fameux p lt .05

• Étant donnée lhypothèse nulle, est-il probable
  que leffet obtenu soit dû à lerreur
  déchantillonnage?
• Cette dichotomie nous éloigne de notre but, soit
  la compréhension de nos données.

25
Tests dhypothèse
26
Tests dhypothèse

• Une ville a une densité de 10 000 habitants par
  km2.
• Quelle est sa population totale?
• Quelle est sa superficie?
• Je ne sais rien sur le nombre de personnes, ni
  sur la superficie
• Un village a une population de 300 habitants.
• Y a-t-il beaucoup de monde par km2?
• Lîle St-Hélène versus lîle de Montréal
• La différence de santé physique entre les hommes
  et les femmes est significative (Test
  dhypothèse).
• Est-ce une grosse différence? (Effet)
• Est-ce que cette différence est évidente pour
  tous les participants? Bref, y a-t-il du
  chevauchement? (Variabilité ou erreur)

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Tests dhypothèse

• Pour chaque test (p. ex., le test t, le test de
  F, le chi-carré), les probabilités dobtenir un
  certain score par hasard ont été calculées et
  sont présentées dans les tableaux de probabilités
  correspondants.
• La distribution déchantillonnage devient alors
• Test-t, distribution déchantillonnage des
  différences
• Chi-carré, distribution du chi-carré
• Test F, distribution déchantillonnage du test F

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Tests dhypothèse

• De façon générale, plus le score obtenu au test
  est grand, moins il est probable que leffet ait
  été obtenu par hasard, étant donnée lhypothèse
  nulle.
• Mais lerreur aura aussi un grand rôle à jouer.

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Tests dhypothèse
Si leffet est grand
Si leffet est petit
10
1
1
10
Test
Test
1
1
30
Tests dhypothèse
Si lerreur est grande
Si lerreur est petite
4
4
4
1
Test
Test
1
4
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Distribution déchantillonnage des moyennes
Moyenne étant donnée lhypothèse nulle
Fréquence
Écart-type
N
Moyennes déchantillons de taille N
32
Lerreur-type

• Lerreur-type nous renseigne sur la grandeur de
  lerreur attendue en moyenne entre notre
  estimation et la valeur dans la population.
• Moyenne 2.24 ? 3.13 ? 4.02
• Différence -0.03 ? 1 ? 1.07
• La distribution déchantillonnage pour une même
  population sera différente en fonction de la
  taille des échantillons choisis.

33
Erreur-type et lécart-type de la population

• Plus la taille des échantillons augmente et plus
  lerreur-type sera petit comparé à lécart-type
  de la population selon cette formule

Écart-type de la population
Erreur-type
En effet, plus on divise par un gros N, plus
lerreur sera petite.
34
Population
3 2 1
Fréquence
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Scores
Fréquence
35
?
Grands échantillons
?
Petits échantillons
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La grandeur de léchantillon

• Plus la taille des échantillons augmente et plus
  lerreur-type sera petite, donc plus il sera
  facile dobtenir un effet significatif.
• La taille de léchantillon affecte aussi
  directement les probabilités associées au test.
• Deux groupes de 100 personnes, Fcritique 3.84
• Deux groupes de 20 personnes, Fcritique 4.10
• Deux groupes de 5 personnes, Fcritique 5.32

37
Linterprétation des tests dhypothèse

• La grandeur des échantillons
• Avec un grand échantillon, tout est significatif!
• La variabilité des échantillons
• Est-ce que léchantillon est trop hétérogène?
• Le respect des postulats de base
• Les probabilités sont basées sur certains
  postulats qui doivent être respectés (p.ex., la
  courbe normale).

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Ce que le test dhypothèse (p lt .05) ne nous dit
pas

• Limportance de leffet, c.-à-d. son intérêt ou
  son envergure
• La probabilité que lhypothèse alternative soit
  vraie
• Est-ce que les mammifères pondent des ufs?

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Noubliez jamais lornithorynque ?
40
Nos responsabilités en tant que chercheur(e)s

• Ne jamais oublier lornithorynque ?
• Nos résultats ne servent quà ajuster notre
  confiance relative envers nos théories.
• Sans théorie, les tests dhypothèse ne peuvent
  servir quà nous aider à en formuler.
• Chercher à mieux comprendre un phénomène et non à
  établir des vérités.
• Être nuancé(e)s dans notre interprétation des
  résultats.
• Éviter de porter un jugement de vrai ou faux (p lt
  05!).
• Chercher plutôt à comprendre les données.
• Ne pas sous-estimer la variabilité des résultats
  dune étude à lautre, dune mesure à lautre,
  dun échantillon à lautre, etc
• Mieux comprendre les facteurs qui influencent les
  résultats des tests dhypothèse.
• Garder en tête la distinction entre la recherche
  et lintervention.
• Un résultat peut être significatif du point de vu
  de la recherche mais demeurer incompris du point
  de vu de son application.
• Une différence peut être significative sans être
  visiblement observable.

41
(No Transcript)