Pr

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Séminaire Mamuphi Samedi 15 mars 2008
Modalités des discours et courbures des figures
René Guitart Université de Paris
7 guitart_at_math.jussieu.fr
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Modalités des discours et courbures des figures
Nous soutiendrons ceci  la modélisation
mathématique qualitative na pas à choisir entre
l'approche logique et l'approche géométrique,
entre dire et voir point de pulsation du
travail mathématique puisqu'au point de vue
diagrammatique ces méthodes s'identifient l'une
à l'autre. Nous rapprocherons de façon précise
la démarche  logicienne  par spécification de
modalités, et la démarche  homologicienne , par
spécification de conditions sur la courbure ou
lhomologie. Ce rapprochement sera exposé de
deux façons, d'abord en termes dassimilations
et de conditions différentielles générales et
puis en termes dhomologie générale.
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La première partie reprendra l'unification par le
calcul des assimilations qui permet de
comprendre lécriture de conditions
différentielles générales, incluant les
conditions de modalités spéculatives et les
conditions de courbure. Question du réglage
direct de comment les discours changent, de
comment les figures changent.
La deuxième partie affirmera encore que dun
point de vue suffisamment éloigné la logique
comme question des quantifications et modalités
discursives et la cohomologie comme théorie du
calcul qualitatif de la courbure et des
déformations, se rejoignent  et cette fois pour
le voir il sera fourni une définition générale du
concept d'homologie dont dérive aussi bien les
techniques de logique intuitionniste que les
techniques d'algèbre homologique abélienne
classique. On est alors dans une problématique
plus vaste que dans la première partie,
puisqu'il s'agit non plus d'un simple réglage du
changement, mais de l'analyse de la forme même
des changements, des changements de changements,
etc.
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• Références 
• Images et modalités, Résumé d'une conférence au
  SIC à Amiens,
• le samedi 10 novembre 2001, 2 p.
• 2) Calcul dassimilations, modalités et analyse
  dimages, in
• Calculs et formes, Ellipses, 2003, Actes du
  Colloque
•  Mathématiques  calculs et formes , Université
  Toulouse Le Mirail,
• septembre 2000, 175-189.
• 3) An anabelian definition of abelian homology,
• CTGDC XXXXVIII, 4, 2007, 261-269.

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0 - COURBURE ET MODALITÉ
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Courbure
Abscisse curviligne
Équation naturelle
Repère mobile
7
Calcul propositionnel classique
Modalité
p? (q? p)
(p? (q? r)) ? ((p? q) ? (p? r))
(p ?q)? q
p? (q? (p? q))
(p? q)? p
p? (p ?q)
(p? r)? ((q? r)? ((p? q)? r))
Négation ?f f? ?
p ? (p? ? )
?? p
q? (p ?q)
MP
Règles
f, f ? g / g
f /fs
Subst
Nécessité
?f
Possibilité 
?f ?? ?f
Règle RN
f/ ?f
K Cl (?(p? q)) ? (?p??q)(RN)
S4 K ?p?p ?p???p
Rm le calcul propositionnel intuitionniste se
représente dans S4.
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Unifications ?
? 1- Calcul dassimilations
? 2 - Calcul dhomologie
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1 - ASSIMILATIONS
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? ? E ? E, ou ? ? P(E ? E)
Assimilation
y ?? x ? (x, y) ? ?
x, y ? E
X, Y ? E
Augmentation
X? ? y ?x (y ?? x x ? X)
Diminution
Y? ? x ?y (y ?? x ? y ? Y)
La relation dadjonction
X? ? ? Y ? X ? Y? ?
?-?X X\(X? ?) ? ?
La variation ??X
??X ?-?X ???X
??X ((X? ?)? ?)\X
??X D
Condition différentielle
Régime dassimilations
etc.
a F ? P(E ? E)
b G ? P(F ? F)
Axiome de passage
?x,y ? E ?i ? F(y ?a(i) x ??r ? G ?j ? Fj
?b(r) i ? y ?a(j) x )
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Régime métrique du plan et courbure

F R
E R2
y ?a(?) x ? la distance de y à x est
inférieure à ?
Propagation des ondes et courbes parallèles
Cela donne à voir la courbure, les caustiques
(points brûlants)
distance de Hausdorff
D(A, B) ? A ? B? ? et B ? A? ?
d(A, B) inf D(A, B)
d(X, E\ (X? ?)) ?
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Modalités
Soit R ? E ? E un  cadre 
Un élément x de E est pensé comme un monde où
une proposition peut être valide ou non (x,y) ?
R signifie que le monde y est accessible depuis x
Alors en interprétant une proposition f par une
partie Xf de E, la sémantique de Kripke donne
avec ? R
?f ? ?RXf Xf ? ?
?f ? ?RXf Xf ??op
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Assimilation et logique spéculaire
G un graphe, X ? obj(G)
Xb sous-crible maximum
X? sur-crible minimum
Xb ? X ? X?
Analogue à (X? ?) ? ? ? X ? (X? ?) ? ?
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2 - HOMOLOGIES
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Courbure et homologie
Courbure de surface
Les sections normales ont un rayon de courbure R
qui varie entre R1 et R2. La courbure gaussienne
est
Gauss-Bonnet
Avec
et aussi
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Extensions, satellites et homologies

RanKF
LanKF
?
R
HX,F RanLM(LanJRM)(F)(X)
HX,F LanRM(RanJLM)(F)(X)
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Homologies
HX,F RanLM(LanJRM)(F)(X)
HX,F LanRM(RanJLM)(F)(X)
I
J
Y
M
X
I
J
Y
M
X
F
b
a
A
B
b
F
a
B
A
C
P
C
L
R
C
P
C
R
L
?
?
X
X
B
B
C
C
HX,F lim ?
HX,F lim ?
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Homologies
HX,F RanLM(LanJRM)(F)(X)
HX,F LanRM(RanJLM)(F)(X)
I
J
Y
M
X
I
J
Y
M
X
F
b
a
A
B
b
F
a
B
A
C
P
C
L
R
C
P
C
R
L
?
?
X
X
B
B
C
C
HX,F lim ?
HX,F lim ?
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Homologie et cohomologie abélienne
HX,F RanLM(LanJRM)(F)(X)
HX,F LanRM(RanJLM)(F)(X)
I
J
Y
M
X
F
C
P
C
L
R
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Logique Spéculaire
P ? obj(S) ? S
Q ? obj(S) ? S
HX,F
HX,F
E Sop ? Ens
EP P ? Sop ? Ens
EQ Q ? Sop ? Ens
(??P)?Q H-, ?
(?bP)?Q H-, ?