A1263195060YJUeg

1
unité 3
Analyse numérique matricielle
Giansalvo EXIN Cirrincione
2
rappels
Problème fonction f X ? Y de lespace
vectoriel normé X des entrées à lespace
vectoriel normé Y des solutions.
3
rappels
Problème fonction f X ? Y de lespace
vectoriel normé X des entrées à lespace
vectoriel normé Y des solutions.
Algorithme
Stabilité dun algorithme
A stable algorithm gives nearly the right answer
to nearly the right question.
4
rappels
Stabilité dun algorithme
A stable algorithm gives nearly the right answer
to nearly the right question.
5
rappels
Stabilité backward dun algorithme
A backward stable algorithm gives exactly the
right answer to nearly the right question.
6
Résolution de systèmes linéaires
Théorème de Rouché-Capelli
7
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes
directes
4 principes fondamentaux
On ne change pas la solution lorsque lon 1.
permute 2 lignes 2. permute 2 colonnes 3. divise
par un même terme non nul les éléments dune
ligne 4. ajoute ou retranche à une ligne un
certain nombre de fois une autre ligne
Stratégie transformer le système linéaire
en un système équivalent facile à
résoudre
8
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes
directes
A matrice diagonale
9
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes
directes
A triangulaire inférieure
10
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes
directes
A triangulaire inférieure
11
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes
directes
A triangulaire supérieure
12
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes
directes
A triangulaire supérieure
Méthode de remontée
Chaque composante xi apparaissant comme une
fonction linéaire de bi , bi1 , , bn , ceci
montre que linverse dune matrice triangulaire
est une matrice triangulaire du même type.
13
La méthode de Gauss
Au b , A matrice inversible

1. Une procédure délimination qui équivaut à
   déterminer une matrice inversible M telle que M A
   soit triangulaire supérieure.
2. On calcule simultanément le vecteur M b.
3. On résout le système linéaire M A u M b
   par la méthode de la
   remontée.

En pratique, on ne calcule pas explicitement la
matrice M, mais seulement la matrice M A et le
vecteur M b.
14
La méthode de Gauss
exemple
pivot (1)
15
La méthode de Gauss
exemple
16
La méthode de Gauss
exemple
17
La méthode de Gauss
exemple
Le première variable à été éliminée de toutes les
équations sauf une.
18
La méthode de Gauss
exemple
19
La méthode de Gauss
Triangularisation
20
La méthode de Gauss
21
La méthode de Gauss
Première étape de lélimination
Lun au moins des éléments de la première colonne
est différent de zéro, sans quoi la matrice
serait singulière. On choisit alors lun des
coefficients non nuls (premier pivot) de la
première colonne de A. Ensuite, on échange la
ligne du pivot avec la première ligne, ce qui
revient à multiplier A à gauche par une matrice
de permutation P. Pour léchange des i-ème et
j-ème lignes, on multiplie à gauche par la
matrice P suivante.
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La méthode de Gauss
Première étape de lélimination
Lun au moins des éléments de la première colonne
est différent de zéro, sans quoi la matrice
serait singulière. On choisit alors lun des
coefficients non nuls (premier pivot) de la
première colonne de A. Ensuite, on échange la
ligne du pivot avec la première ligne, ce qui
revient à multiplier A à gauche par une matrice
de permutation P. Pour léchange des i-ème et
j-ème lignes, on multiplie à gauche par la
matrice P suivante.
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La méthode de Gauss
Première étape de lélimination
Par des combinaisons linéaires appropriées de la
première ligne et des autres lignes de la matrice
PA, on annule tous les éléments de la première
colonne de PA situés sous la diagonale, la
première ligne restant inchangée.
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La méthode de Gauss
Seconde étape de lélimination
Elle consiste à effectuer les mêmes opérations
que précédemment, mais seulement sur la
sous-matrice ( bij ) , 2 ? i, j ? n , en laissant
inchangée la première ligne, et ainsi de suite
( k-1 )-ème étape de lélimination (2 ? k ? n )
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La méthode de Gauss
k-ème étape de lélimination (2 ? k ? n )
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La méthode de Gauss
( n-1 )-ème étape de lélimination
27
La méthode de Gauss
28
La méthode de Gauss
exemple
Que se passe til si on prend le système à
lenvers?
29
La méthode de Gauss
exemple
effet de la division par un pivot trop petit
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Choix du pivot

• si un pivot est nul, on permute deux lignes
• si tous les pivots restant sont nuls, la
  matrice est singulière
• (i.e. le système déquations nadmet pas de
  solution unique)
• stratégie pour minimiser les erreurs
  darrondis.
• on choisi le plus grand pivot possible (en
  valeur absolue)
• et donc on permute les lignes (voir les
  colonnes associées)
• cest la stratégie du pivot maximal
  (partiel (lignes) ou total)

Gaussian elimination without pivoting is neither
backward stable nor stable. Additionally, the
triangular matrices it generates have condition
numbers that may be arbitrarily greater than
those of A itself, leading to additional sources
of instability in the forward and back
substitution phases of the solution of A x b .
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Choix du pivot
k-ème étape de lélimination (2 ? k ? n )
Stratégie du pivot partiel
O( n2 ) flops
32
Choix du pivot
k-ème étape de lélimination (2 ? k ? n )
Stratégie du pivot total
Il faut aussi effectuer un échange de colonnes
qui equivaut a multiplier la matrice Ak à droite
par une matrice de permutation.
O( n3 ) flops
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FLOPS
34
FLOPS
Formules de Cramer

• Pour n 10 par exemple, on obtient environ
• 700 opérations pour Gauss
• 400 000 000 opérations pour Cramer !

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Gauss-Jordan
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La méthode de Gauss-Jordan est utilisée pour le
calcul de linverse dune matrice donnée on
résout simultanément les n systèmes linéaires
Gauss-Jordan
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La factorisation LU dune matrice
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La factorisation LU dune matrice
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La factorisation LU dune matrice
40
La factorisation LU dune matrice
41
La factorisation LU dune matrice
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La factorisation LU dune matrice
43
La factorisation LU dune matrice
44
La factorisation LU dune matrice
45
La factorisation LU dune matrice
46
P 1
47
P 1
Matrices spéciales (pas de stratégie de pivoting
dans la factorisation LU)
A est une matrice symétrique définie positive
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Stabilité de la factorisation LU
For Gaussian elimination without pivoting, both L
and U can be unboundedly large.
Pivoting, ensures that L and U are not too large.
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Stabilité de la factorisation LU
For Gaussian elimination without pivoting, both L
and U can be unboundedly large.
Pivoting, ensures that L and U are not too large.
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Stabilité de la factorisation LU
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Stabilité de la factorisation LU
Gauss elimination is backward stable if ? O(1)
uniformly for all matrices of a given dimension n
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Stabilité de la factorisation LU
exemple
A growth factor of order 2n corresponds to a loss
of the order of n bits of precision.
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Stabilité de la factorisation LU
Despite this example, Gaussian elimination with
partial pivoting is utterly stable in practice.
Large factors U never seem to appear in real
applications.
Random matrix each entry is an independent
sample from the real normal distribution of mean
0 and standard deviation n -1/2 .
A randn(n,n)/sqrt(n)
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Stabilité de la factorisation LU
Despite this example, Gaussian elimination with
partial pivoting is utterly stable in practice.
Large factors U never seem to appear in real
applications.
Random matrix each entry is an independent
sample from the real normal distribution of mean
0 and standard deviation n -1/2 .
A randn(n,n)/sqrt(n)
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La factorisation LU dune matrice tridiagonale
56
La factorisation LU dune matrice tridiagonale
57
La factorisation LU dune matrice-bande
58
FINE