9me Edition des Journes Scientifiques du RF B

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DEVERSEMENT DES POUTRES EN BETON
PRECONTRAINTLORS DE LEUR SOULEVEMENT.

• J.C. Dotreppe, M. Lambiet
• Département ArGEnCo
• Secteur Ingénierie Structurale
• Université de Liège, Belgique

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1. INTRODUCTION

• Jusquà présent, on a prêté peu dattention au
  phénomène de déversement des poutres en béton
  précontraint préfabriquées.
• Actuellement, la stabilité de ces poutres devient
  un sujet de préoccupation. En effet, les portées
  sont de plus en plus longues et les sections de
  plus en plus minces. La nécessité davoir des
  poutres plus longues vient notamment de
  lélargissement des autoroutes.
• Dans les poutres modernes, on tend à réduire la
  largeur des semelles, ce qui a pour résultat une
  diminution de la rigidité de torsion et de la
  rigidité de flexion daxe faible par rapport à
  des sections plus anciennes.

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• Beaucoup de concepteurs ne considèrent que la
  stabilité latérale de la structure finie, ce qui
  est rarement un problème une fois que la poutre
  est intégrée avec un plancher ou une plate-forme.
• La phase où la poutre est suspendue par des
  câbles est la situation la plus critique
  puisquil ny a aucun soutien latéral et que la
  rigidité de torsion des appuis est très faible.
• Les formules de déversement de la plupart des
  manuels ne sont pas adaptées pour traiter ce cas.
• Cette étude a donc pour objectif détudier le
  déversement des poutres précontraintes une fois
  suspendues aux boucles de levage et de fournir un
  outil simple permettant de vérifier la stabilité
  de telles poutres.

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2. ETAT DE LA QUESTION

• Le déversement des poutres est décrit dans
  louvrage de Timoshenko (1956).
• Il considère linstabilité spatiale par flexion
  et torsion simultanées dune poutre faite dun
  matériau élastique linéaire.
• Ce phénomène prend surtout de limportance dans
  le cas déléments présentant une faible rigidité
  torsionnelle, comme les poutres en I en acier.
• Dautre part, on suppose que les appuis
  dextrémité sont des appuis à fourche.

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• Dans le même ordre didées, Lebelle (1959) donne
  des bases théoriques pour calculer la charge
  critique de déversement de poutres
  précontraintes.
• Dans la partie consacrée aux poutres suspendues,
  il suppose cependant que le système de levage est
  susceptible de réaliser lencastrement de la
  poutre à la torsion durant son transport.
• En pratique, de tels dispositifs demeurent
  exceptionnels.
• Dans le cas des poutres en béton suspendues, il
  faut donc choisir une théorie adaptée à la
  situation.

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• Depuis les travaux de Lebelle, de nombreuses
  contributions ont été proposées sur le sujet.
• Cependant, toutes ces études sont compliquées et
  aucun article ne mène à une formule simple
  permettant une conception aisée.
• Les approches précédentes peuvent être
  considérablement simplifiées en supposant que la
  poutre est infiniment rigide en torsion.
• Grâce à cette hypothèse, Mast (1989) et surtout
  Stratfort et Burgoyne (2000) ont fait progresser
  sensiblement létude de ce problème.
• Cependant, la solution analytique obtenue dans ce
  dernier cas requiert une résolution numérique de
  lensemble final déquations. De plus, cette
  théorie ne concerne que les poutres à inertie
  constante.
• Dans ce travail, les principes de lanalyse de
  Stratford et Burgoyne ont été utilisés, mais
  diverses adaptations ont été proposées.

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3. THEORIE DU DEVERSEMENT ELASTIQUE DES POUTRES
SUSPENDUES A INERTIE CONSTANTE

• Figure 1. Géométrie non déformée dune poutre
  suspendue
• On considère (Figure 1) une poutre supportée par
  deux boucles de levage ZY et ZY, lesquelles
  sont rigidement attachées à la poutre et sont
  inclinées dun angle b sur la ligne des centres
  de gravité de la poutre. Les extrémités des
  boucles sont attachées à des câbles qui sont
  inclinés dun angle a et qui se rejoignent en x.

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• Figure 2. Géométrie déformée dune poutre
  suspendue
• La Figure 2 montre la forme déformée de la poutre
  suspendue. Cette forme est définie par la
  rotation dun angle q dun corps rigide autour de
  laxe de rotation Y-Y accompagnée dune déformée
  de flexion v(x) selon laxe faible de la poutre
  (qui tourne lui-même dun angle q)

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• Système avec guidage à fourche

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• Figure 3. Section de la poutre au droit des
  boucles
• La Figure 3 indique comment la poutre se déforme
  transversalement et laction du poids propre.

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Il y a aussi une charge p qui agit latéralement.
Cette force est constituée de deux composantes
le vent et les charges dynamiques. La Figure 4
montre une section verticale de la poutre au
droit dune des deux boucles. Les câbles sont
inclinés par rapport à la verticale à cause de
laction de la force latérale p. La force F dans
le câble peut être déterminée à partir du
polygone de force dessiné en haut à gauche de la
Figure 4.
Figure 4. Forces agissant sur la poutre déformée
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Equilibre vertical F.sin?.cos? wL/2 pL/2
. sin? Equilibre horizontal F.sin?.sin?
pL/2.cos? d'où cos? wL/2 pL/2.sin? /
F.sin? sin? p.L.cos? / F.sin? or (cos?)²
(sin?)² 1 et on obtient
(1) En considérant l'équilibre de moment
autour de l'axe de rotation Y-Y' sur toute la
longueur de la poutre, on arrive à
(2)
Figure 4. Forces agissant sur la poutre déformée
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(2)
Le premier terme est la contribution de la
composante selon laxe faible du poids propre.
Le deuxième est le moment dû à la charge
latérale p. Le troisième terme représente un
facteur correcteur. Le terme du membre de droite
est la contribution de la composante selon laxe
fort du poids propre ce terme dépend de la
déformée latérale v.
Figure 4. Forces agissant sur la poutre déformée
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Le facteur correcteur du troisième terme tient
compte du déplacement latéral de laxe YY quand
les boucles de levage ne sont pas verticales et
quand la poutre fléchit selon son axe faible.
w.cos q est le poids propre selon laxe fort et l
est défini comme la pente daxe faible de la
poutre au point dattache de la boucle Z. l
(n)x0

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(2)
Dans cette équation, il y a deux inconnues,
langle q et la déformée transversale v, qui sera
déterminée à partir de léquation de
lélastique. Ces équations ont été résolues dans
le cadre de cette étude par un tableau
Excel. Connaissant la déformée latérale de la
poutre, on peut en déduire le diagramme de
moments daxe faible.
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La figure montre toutes les forces agissant sur
la poutre la tension dans le câble F, le poids
propre de la poutre w et la charge latérale p.

Forces agissant sur la poutre suspendue
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Vue simplifiée des forces à lorigine de la
flexion daxe faible de la poutre. La poutre est
représentée non déformée pour plus de clarté
Forces provoquant la flexion daxe faible
rapportée à la ligne des centres de gravité des
sections
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A partir de cette schématisation, on peut trouver
léquation de lélastique. Cette équation est
complexe, et les équations permettant de
déterminer q et v sont couplées. Aucune solution
analytique nexiste, mais ces équations peuvent
être résolues par des techniques numériques
relativement simples. On peut alors en déduire
le diagramme de moments daxe faible.
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4. POUTRES A INERTIE VARIABLE

• Les poutres préfabriquées en béton précontraint
  et à inertie variable interviennent fréquemment
  dans la construction de bâtiments.
• Elles sont souvent employées comme poutres de
  toiture afin de donner une pente au toit.
• Il était donc utile dadapter la théorie
  précédente aux poutres à inertie variable et de
  développer une méthode permettant de vérifier la
  stabilité de telles poutres.

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Figure 5. Géométrie et principaux paramètres
Lorsque ces poutres sont levées, elles sont
suspendues près de leurs extrémités. Comme la
hauteur de la poutre augmente quand on se
rapproche du milieu de la portée, la ligne des
centres de gravité des sections sélève également
et, dès lors, le centre de gravité de la poutre
se rapproche de laxe de rotation, diminuant la
stabilité du système (cf. Figure 5).
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Quand la hauteur de lâme dune poutre varie
linéairement, alors linertie daxe faible varie
aussi de façon linéaire, ainsi que le poids
propre. On pourrait donc prendre pour ly(x),
w(x), h(x), p(x) et e(x) des fonctions linéaires
sur une moitié de la poutre. Cependant, pour
rester plus général, on a choisi ici des
fonctions du second degré. Les hypothèses
décrites lors de létude du déversement des
poutres à inertie constante sont encore
dapplication. Les équations obtenues sont plus
compliquées que dans le cas précédent, car
léquation de lélastique ne peut être résolue de
façon analytique. La procédure numérique de
résolution est donc dans ce cas sensiblement plus
complexe.

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Cas particulier poutres soutenues latéralement
par un haubanage provisoire Lorsquune poutre
risque de déverser lors de son levage, on peut
augmenter la charge critique en raidissant
latéralement la poutre par des câbles tendus
accompagnés de butons comprimés. Ce haubanage
latéral est schématisé à la Figure.


Poutre haubanée (vue en plan)
Lorsque la poutre se déforme latéralement, une
force de rappel située à mi-portée tend à len
empêcher. A cela sajoute un effort
supplémentaire de compression dans la poutre dû
aux câbles constituant le haubanage ainsi quun
effort transversal appliqué aux extrémités de la
poutre.
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Initialement, la tension dans les câbles est
égale à NC NCO. On calcule les efforts dans les
câbles et dans les poinçons en fonction de ?v qui
est la flèche à mi-portée par rapport aux
extrémités de la poutre.


Système non déformé et système déformé (vue en
plan)
En présence de ?v, les câbles du côté de la
déformation sont plus tendus (NCT gt NC0) tandis
que ceux de l'autre côté sont moins tendus (NCD lt
NC0).
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Forces dues aux arbalètes et appliquées à la
poutre (vue en plan)
Une solution analytique des équations
différentielles est impossible à obtenir dans ce
cas. Dans le travail, une méthode numérique de
résolution a été proposée.
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5. METHODE DE VERIFICATION

• La distribution de contraintes due au moment
  daxe faible doit être ajoutée à celle provenant
  de la précontrainte, de la flexion daxe fort
  sous leffet du poids propre de la poutre et de
  leffort normal dû à linclinaison des câbles.
• Les points critiques se situeront normalement aux
  coins de la section et donneront les plus grands
  efforts de traction et de compression.
• Sur cette base, il faut établir les principes de
  vérification. Il a paru logique dans le cadre de
  cette étude deffectuer une vérification aux
  états-limites de service.
• Cela permet également dappliquer le principe de
  superposition des contraintes.

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• Les valeurs limites à considérer sont les
  suivantes 
• 0,6 fck  contrainte maximum de compression dans
  le béton
• fctm  contrainte maximum de traction dans le
  béton
• 10   allongement maximum des armatures de
  précontrainte au-delà
• de lallongement initial
• Ecm  valeur à prendre en compte pour le module
  délasticité du béton.

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6. VALIDATION DE LA METHODE
Cette validation se fait à deux niveaux. Il
faut dabord vérifier que les programmes mis au
point dans le cadre de la présente étude
résolvent correctement les équations. Cette
vérification a été faite à laide du logiciel
SAFIR développé à lUniversité de Liège. SAFIR
est un code danalyse non linéaire basé sur la
méthode des éléments finis avec subdivision de la
section droite en mailles. Ce programme a été
développé principalement pour létude des
structures soumises à lincendie, mais il
comporte une analyse à froid pour létude de la
structure avant incendie. Cest cette partie du
programme qui a été utilisée.
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Pour cette vérification, il faut se mettre dans
les conditions des hypothèses de la théorie
menant aux équations. Par exemple, on a
supposé que la poutre est infiniment rigide en
torsion, et on a donc, dans le programme SAFIR,
considéré une raideur extrêmement grande en
torsion afin que lhypothèse soit vérifiée. La
Figure 6 ci-après montre la comparaison entre les
diagrammes de moments daxe faible calculés par
la méthode mise au point dans ce travail et par
SAFIR. Cette comparaison sapplique à une poutre
I/145/62. On peut constater une très bonne
concordance entre les résultats.
Figure 6. Comparaison entre les diagrammes de
moments daxe faible
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La deuxième validation à réaliser portait sur les
hypothèses de départ. Il importait de voir si,
par exemple, le fait de supposer que la poutre
était infiniment rigide en torsion nétait pas
trop insécuritaire. Pour observer la déformée
due à la torsion, on reprend la même
modélisation, mais cette fois en considérant la
rigidité torsionnelle réelle de la poutre.
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Le rapport entre la valeur de ? avec la rigidité
de torsion réelle et la valeur de ? avec une
rigidité de torsion très grande est illustré à la
Figure 7 pour toute la longueur de la poutre et
lorsque cette dernière est chargée par son poids
propre. Figure 7. Comparaison de la
rotation ? pour les deux cas de raideur
torsionnelle On remarque une différence maximale
de ? de lordre de 1,4 ce qui est relativement
faible. Lhypothèse de considérer la poutre comme
étant un corps rigide est donc valable.
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On a aussi vérifié linfluence dune déformation
de flexion daxe fort et du comportement non
linéaire du béton. De cette étude paramétrique,
on a pu déduire que seule lhypothèse du
comportement linéaire du béton avait une
influence significative.
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7. CONCLUSIONS

Ces dernières années, les poutres préfabriquées
en béton précontraint ont évolué de manière à
maximiser leurs performances. Cette évolution a
entraîné une diminution de la rigidité de flexion
daxe faible, ce qui les rend beaucoup plus
vulnérables au déversement que précédemment. Cest
surtout lors de lopération de levage que la
poutre est susceptible de déverser. Les premières
études de ce phénomène étaient inutilisables en
pratique. La contribution décisive dans ce
domaine est due à Stratford et Burgoyne (2000).
Cette théorie a été exploitée et les équations
ont été vérifiées par le programme aux éléments
finis SAFIR.
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Cependant, cette contribution ne traite que les
poutres à inertie constante. Les poutres à
inertie variable sont pourtant très répandues et
il était donc utile dadapter la théorie
précédente à ces poutres. Les équations
résultantes étant plus compliquées, une
résolution numérique de ces équations a dû être
réalisée. Les résultats de cette analyse ont
également été vérifiés à laide du programme aux
éléments finis. Le cas particulier de poutres
soutenues latéralement par un haubanage
provisoire a aussi été résolu. A partir du
moment daxe faible fourni par les théories
précédentes, la poutre peut être vérifiée aux
états limites de service. Cette vérification est
en accord avec lanalyse réalisée et elle permet
la superposition des contraintes.

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• Ensuite, on a vérifié le bien-fondé des
  hypothèses de départ en comparant les résultats
  avec ceux obtenus par le programme SAFIR.
• Enfin, des outils simples permettant de vérifier
  la stabilité des poutres suspendues ont été
  développés.
• Des programmes (réalisés à partir dun tableur)
  permettent de calculer la déformée et le moment
  daxe faible le long de la poutre.
• Des abaques, réalisés à partir des programmes
  précédents, donnent directement le moment daxe
  faible de la poutre.