Traitement et lments du codage vido Jenny Benois Pineau Universit Bordeaux 1 C2

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Traitement et éléments du codage vidéoJenny
Benois -PineauUniversité Bordeaux -1C2
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2. Echantillonnage et interpolation des signaux
vidéo

• La vidéo numérique peut être obtenue
• -par léchantillonnage de la vidéo analogique le
  long des lignes de balayage ou
• -en appliquant la structure déchantillonnage 3D
  à limage variable dans le temps.

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Structures déchantillonnage rectangulaire
Grille déchantillonnage progressif
Grille déchantillonnage entrelacé
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Opérateurs 2D
d fonction de Dirac
d fonction de Dirac peut être vue comme la
limite définie sur la famille des fonctions au
support fini par exemple
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Transformée de Fourier 2D(I)
Transformée de Fourier de la fonction f(x,y) est
Ici sont appelées les fréquences
spatiales,
De façon générale, les coefficients de Fourier
sont les nombres complexes et peuvent être
présentés comme
ou encore
Avec -
amplitude - phase
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Transformée de Fourier 2D(II)
La condition suffisante dexistence de la
transformée de Fourier de la f(x,y) est
Ainsi la fonction initiale peut être obtenue de
sa transformée de Fourier par la transformation
inverse
Propriétés fonctionnelles
(1) Si la fonction dimage est spatialement
séparable alors

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Propriétés fonctionnelles
(2)La transformée de Fourier est un opérateur
linéaire
(3)Mise à léchelle
(4) Translation la translation dans le
plan-image engendre la translation de la phase
dans le plan fréquentiel
(5) Convolution
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Propriétés fonctionnelles
(5) Théorème de Parseval ( énergie)
(6) Fonction dautocorrélation
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Echantillonnage des images
On suppose que le signal d image est une
fonction infinie f(x,y) scalaire qui peut
correspondre à la luminance de l image par
exemple. Dans un système d échantillonnage
parfait, les échantillons spatiaux d une image
idéale sont obtenus par multiplication de
l image f(x,y) par la fonction
d échantillonnage spatial
C est un échantillonnage régulier rectangulaire
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Echantillonnage des images
On suppose que le signal d image est une
fonction infinie f(x,y) scalaire qui peut
correspondre à la luminance de l image par
exemple. Dans un système d échantillonnage
parfait, les échantillons spatiaux d une image
idéale sont obtenus par multiplication de
l image f(x,y) par la fonction
d échantillonnage spatial
C est un échantillonnage régulier rectangulaire
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Echantillonnage des images(2)
Considérons la transformée de Fourier de la
fonction échantillonnée
Convolution (rappel) pour deux fonctions f(x,y)
et h(x,y) la convolution est
Théorème de convolution pour la transformée de
Fourier
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Echantillonnage des images(3)
Ainsi
On peut montrer que
Ici
représentent les fréquences d échantillonnage
dans le domaine du Fourier. Supposons que le
spectre de l image est bornée. Effectuant la
convolution on obtient
En permutant l intégration et la sommation et en
utilisant la propriété de delta-fonction on a
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Echantillonnage des images(4)
Ainsi le spectre de l image échantillonnée
consiste de spectre de l image idéal répété
infiniment dans le plan fréquentiel dans la
grille avec la résolution
Si Dx et Dy sont choisis trop grands, alors les
spectres se recouvrent
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Echantillonnage de la vidéo(1)

• Dans le cas déchantillonnage spatial (image 2D)
  on sélectionne les échantillons aux positions
• Dans le cas de la vidéo
• - échantillonnage progressif
• De façon plus générale il sagit de définir le
  treillis déchantillonnage.

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Echantillonnage de la vidéo(2)

• Soit vécteurs linéairement
  indépendants dans lespace Euclidéen
• Un treillis dans est lensemble de
  toutes les combinaisons linéaires de
  avec des coefficients entiers.
• Lensemble des vecteurs est appelé
  la base de
• Dans la notation vectorielle

est la matrice déchantillonnage 3x3
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Echantillonnage de la vidéo(3)
De même façon que pour limage 2D on sintéresse
au spectre de la vidéo échantillonnée
Dénotons par Le treillis réciproque. Étant
donné le treillis , lensemble de tous les
vecteurs r tels que est un entier pour
tout est appelé le treillis
réciproqie de La base de est un
ensemble de vecteurs
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Echantillonnage de la vidéo(4)

• On peut démontrer que
• Ici
  -la fréquence
• Ainsi le spectre de la vidéo échantillonnée
  consiste de spectre de la vidéo continue idéale
  répété infiniment dans lespace fréquentiel
  conformément au treillis réciproque à
  léchantillonnage spatio-temporel.

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Matrices déchantillonnage des treillis
réciproques.

• Elles indiquent le positionnement des copies du
  spectre dans lespace fréquentiel

Échantillonnage progressif
Échantillonnage entrelacé 21
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Changement de la cadence temporelle/
interpolation temporelle de la vidéo

• 1. Sur-échantillonnage temporel interpolation
  basée pixel.
• Équivaut à linterpolation du signal 1D pour
  chaque pixel le long de laxe du temps.
• Interpolation du signal 1D 2 étapes
• a) complément par ajout des zéros
• b) filtrage passe-bas du signal complété

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Interpolation temporelle de la vidéo(2)

• a) Ajout des zéros
• Etant donné un signal s(n), le signal u(n)
  sur-échantillonné de facteur L est défini comme

L3
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Interpolation temporelle de la vidéo(3)

• La transformée de Fourier pour les signaux
  discrets est
• Ainsi le spectre du signal complété est lié au
  spectre du signal dorigine par  compression 
  de laxe de fréquences .

0
1/2
-1/2
fn
1/2
1/6
-1/6
fn
-1/2
fn fréquence normalisé fnfDt
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Interpolation temporelle de la vidéo(4)

• b) Interpolation
• Filtre Idéal dinterpolation
• La réponse impulsionnelle est sinc

H(fn)
U(fn)
0
fn
1/2
1/2L
-1/2L
1
-1
0
1/2
fn
1/2L
-1/2L
1
-1
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Interpolation temporelle de la vidéo(5)

• Le signal interpolé est donc obtenu par la
  convolution avec la réponse impulsionnelle du
  filtre
• La réponse impulsionnelle du filtre idéal
  dinterpolation a des propriétés
• Ainsi à cause de ces zéros y(n)s(n) dans les
  valeurs existantes et les valeurs non-nulles sont
  assignées aux zéros de complément.

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Interpolation temporelle de la vidéo(5)

• Les filtres pratiques dinterpolation.
• Le filtre idéal dinterpolation ne peut pas être
  synthétisé car il a la réponse impulsionnelle
  infinie et il est non-causal.
• Sa mise en oeuvre demanderait un temps de délais
  infini.
• Ainsi plusieurs approximations sont possibles.

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Interpolation temporelle de la vidéo(6)

• Interpolateur dordre zéro ( ex. pour L3)
• Engendre des effets daliasing.
• 2.Filtre dinterpolation linéaire
• Interpolation linéaire est obtenue par la somme
  pondérée des pixels voisins le long de laxe
  temporel.

n
n
k
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Décimation/sous-échantillonnage (1)

• Décimation du signal 1D de facteur M 2 étapes
• a) multiplier par le train des impulsions pour
  remplacer M-1 valeurs par zéros entre chaque
  couple des valeurs distantes de M
• b) enlever les zéros pour obtenir le signal à la
  cadence plus faible
• Etant donnée le signal dentrée s(n) on définit
  un signal intermédiaire w(n) comme
• Alors le signal sous-échantilloné peut
  être exprimé comme

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Décimation (2)

• Illustration pour un facteur de
  sous-échantillonnage de 2

n
y(n)
n
0 1 2 3 4 5
n
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Décimation (3)

• La transformée de Fourier du signal intermédiaire
  w(n)
• Ainsi le spectre du signal intermédiaire consiste
  des réplications du spectre du signal dorigine.
  Il y a M répliques dans linterval (de la
  fréquence normalisée (-1/2, ½) .
• Le spectre du signal décimé
• étirement de laxe des fréquences

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Décimation (4)

• Illustration ( pour la fréquence normalisée) M2,
  spectre borné ( fc1/4)

S(f)
0
1/2
1
-1/2
f
-1
W(f)
0
1/2
-1/2
1
-1
f
Y(f)
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Décimation (5)

• Si la bande passante du signal dentrée est plus
  large que 1/(2M), alors les répliques se
  recouvriront et le signal sous-échantillonné
  comportera des effets daliasing.
• Ainsi un filtrage passe-bas avec la fréquence de
  coupure est nécessaire (
  filtre danti-aliasage).

S(f)
W(f)
0
1/2
-1/2
1
-1
f
Y(f)
0
1/2
-1/2
1
-1
f
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Changement de la cadence déchantillonnage dun
facteur rationnel

• Soit le facteur de changement est L/M
• Principe sur-échantillonner de L, ensuite
  sous-échantillonner de M.
• Les filtres dinterpolation et danti-aliasage
• peuvent être regrouppés dans un seul filtre
• Avec les contraintes que les valeurs existantes
  doivent être préservées (Interp. linéaire)

s(n)
w(n)
u(n)
y(n)
Filtrage Passe-bas
M1
1L
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Conversion des treillis déchantillonnage vidéo(1)

• Par exemple problème de desentrelacement
• Principe soit - le treillis dentrée et
• -le treillis cible
• Méthode
• Former le treillis- somme en ajoutant chaque
  point de à chaque point de
• Compléter par zéros

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Conversion des treillis déchantillonnage vidéo(2)

• (2) Filtrage passe-bas du u(x,t)
• (3) Réduction/ décimation du
  à
• Ces méthodes nutilisent pas la compensation du
  mouvement. Linconvénient majeur perte de
  résolution grâce au filtrage anti-aliasing
• En pratique le sous-échantillonnage temporel
  est effectué par suppression des images à demi ou
  un quart de cadence.