Calcul et mtaphysique dans la geometria sublimior de la premire moiti du 18e sicle

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Calcul et métaphysique dans la geometria
sublimior de la première moitié du 18e siècle

• Jeanne Peiffer (CNRS)
• Luminy, le 17 avril 2007

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Introduction

• Contribution modeste au débat de cette rencontre
  quest-ce que la géométrie dans la première
  moitié du 18e siècle ?
• Présentation de quelques documents
  programmatiques, peu voire pas connus pour
  certains, de Johann Bernoulli à Jean le Rond
  dAlembert
• Histoire de la géométrie par quelques
  protagonistes

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Jacob Hermann à lAcadémie de Pétersbourg 1726

• Contexte inauguration (plusieurs fois reportée)
  de lAcadémie, le 12 août 1726
• En présence de Catherine II, de représentants de
  la famille impériale, du Sénat, du Saint Synode,
  de la Cour et des ambassadeurs des puissances
  étrangères
• Adresse en latin sur lorigine et le progrès de
  la géométrie, publiée dans Sermones in secundo
  solenni Academiae Scientiarum Imperialis , éd.
  Pierre Louis Le Roy, s.d. 1735

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Progrès de la géométrie de lAntiquité au 18e
siècle

• Pourquoi la géométrie ? Est de toutes les autres
  parties des mathématiques la plus fondamentale
• Récit historique entendu comme une contribution à
  la recherche la connaissance de lhistoire
  permet de repérer des lacunes et de formuler de
  nouveaux programmes de recherche

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Périodisation 3 étapes

• La géométrie des anciens de Thalès à Euclide,
  Archimède et Apollonius
• Hiatus, où la géométrie a stagné
• La géométrie dâge moyen, dominée par Descartes
• La geometria sublimior préparée par les travaux
  de Fermat, Wallis et Barrow et inaugurée par la
  Nova methodus de Leibniz.

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La maturité de la géométrie la geometria
sublimior

• Inventions de Leibniz et Newton
• Hommage rendu aux Principia, mais Hermann
  rappelle quon ny trouve guère de calcul des
  fluxions rendu public en 1704 seulement
• Leibniz a le mérite, en publiant son calcul,
  davoir rendu possible le développement de ses
  méthodes
• Résultats des frères Bernoulli détaillés
• LAnalyse des infiniment petits de lHôpital
  qualifiée délégant
• Querelle de priorité minimisée

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La méthode de la Phoronomia

• Application de la géométrie à la mécanique
• Qualifie la méthode quil a utilisée danalyse
  géométrique Geometricam Analysin sine
  calculo ex sola figurarum contemplatione
  assecutus sim
• Rejette lidée que toute méthode qui nutilise
  pas le calcul soit dite synthétique.
• On peut recourir à la méthode analytique en
  utilisant, ou non, un calcul
• De même on peut recourir à la synthèse tout en
  utilisant un calcul.

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Hermann 1726 (1735), p.90

• Si quaestionem aliquam ut iam factam
  consideremus, et deinceps per consequentias usque
  ad prima principia descendamus, tunc sane methodo
  Analytica utimur, sive calculus interveniat, sive
  minus sin vero a primis principiis, aliisque
  certo notis fundamentis pergamus ad conclusiones
  magis compositas, methodo Synthetica utimur tunc
  etiam, cum Algebraicum Calculum in auxilium
  vocamus.

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Perception dEuler, Mechanica, 1736,de la méthode
de Hermann

• Rédigé à Pétersbourg, alors que Hermann était
  déjà retourné à Bâle
• Décrit, dans la Préface, la genèse de cet
  ouvrage.
• Critique de la Phoronomia et des Principia de
  Newton quil a eu du mal à comprendre à cause de
  la méthode synthétique quils mettent en uvre.
• Parlant de Hermann omnia more veterum
  synthetice geometricis demonstrationibus est
  persecutus, atque analysin, qua ad completam
  harum rerum cognitione pervenitur, celavit.

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Genèse de la Mechanica

• Euler a traduit analytiquement leurs propositions
  et sa compréhension sen est trouvé améliorée
• Illo igitur tam tempore, quantum potui, conatus
  sum analysin ex synthetica illa methodo elicere,
  easdemque propositiones ad meam utilitatem
  analytice pertractare, quo negotio insigne
  cognitionis meae augmentum percepi (Préface).
• Y a ajouté nombre de méthodes particulières qui
  ont beaucoup étendu la mécanique et même
  lanalyse

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Analyse hermanienne versus analyse eulérienne

• Analyse, en tant que méthode géométrique,
  soppose à synthèse chez Hermann
• Ce que Hermann appelle geometria sublimior nest
  pour Euler rien dautre que lanalyse,
  cest-à-dire le calcul différentiel et intégral,
  dans sa version leibnizienne
• Pour Euler, lanalyse se détache de la géométrie
  et commence à désigner une discipline
  mathématique nouvelle dont il va écrire en 1748
  lIntroductio in Analysin infinitorum.

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Eloge de Jean Bernoulli par DAlembert 1748

• Comment dAlembert rend-il compte des travaux
  effectués dans la première moitié du 18e siècle ?
  Et notamment de ceux qui prolongent et
  développent les méthodes leibniziennes ?
• Dans son éloge historique de Jean Bernoulli, paru
  dans le Mercure de France 1748, il nest question
  que de géométrie, de géométrie des infiniment
  petits et de géométrie sublime.
• La géométrie des infiniment petits semble
  désigner le calcul différentiel leibnizien qui
  est par ailleurs qualifié de nouvelle analyse.
• Dans une version ultérieure, de 1753, géométrie
  remplacé par mathématique

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Calcul et métaphysique

• Dans cet éloge, large place accordée au problème
  de la brachystochrone que dAlembert analyse en
  termes de calcul et de métaphysique
• Deux points étant donnés, lesquels soient dans un
  plan vertical, ne soient cependant ni dans la
  même ligne horisontale, ni dans la même ligne
  verticale, trouver une courbe qui passe par ces
  deux points, dont la propriété soit telle quun
  corps pesant descendant le long de sa concavité,
  mettroit moins de tems à la parcourir quil nen
  mettroit à parcourir toute autre ligne droite ou
  courbe, passant par les mêmes points

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Métaphysique versus calcul

• La courbe cherchée nest pas la droite.
  DAlembert entreprend, alors quil sen défend,
  den donner la raison métaphysique.
• Ce nest quà laide dun calcul très subtil
  quon peut démontrer cette vérité. Tout ce qui
  est susceptible didées précises, nen souffre
  point dautres présenter des notions vagues pour
  des démonstrations exactes, cest substituer de
  fausses lueurs à la lumière, cest retarder les
  progrès de lesprit en voulant léclairer

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Calcul comme guide

• mais ce nest pas assés dentrevoir une vérité
  géométrique dans léloignement, il faut pour
  ainsi dire,nous assurer delle en la
  reconnaissant de plus près, franchir
  lintervalle qui nous en sépare or le calcul
  est le seul guide qui puisse conduire dans cette
  route, faire éviter les obstacles qui sy
  rencontrent, ou avertir quils sont
  insurmontables
• Comparer les deux temps de chute le long de la
  droite et de la courbe
• Cadre de la géométrie appliquée à la physique.

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Article géométrie dans lEncyclopédie

• Histoire abrégée de la géométrie
• Objet de la géométrie (corps géométrique portion
  détendue terminée en tout sens)
• Division de la géométrie

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Histoire abrégée de la Géométrie

• Fait remonter sa naissance en Égypte.
• De là elle passe en Grèce
• Rome ignorante des mathématiques
• Siècles dignorance chez les Chrétiens
• Siècles de lumière de savoir chez les Arabes à
  qui on doit lAlgèbre
• La Géométrie de Descartes
• Lapplication de lalgèbre à la géométrie le
  plus grand pas que la géométrie eût fait depuis
  Archimède
• Application de la géométrie à la physique

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Histoire abrégée de la géométrie

• Préparation de la Géométrie de linfini, qui à
  laide de lAnalyse, devoit faire dans la suite
  de si grands progrès Cavalieri, Grégoire de
  Saint-Vincent, Pascal, Fermat, Barrow
• Arithmétique des infinis
• Wallis, Mercator, Gregory, Huygens
• Invention du calcul différentiel Leibniz,
  Newton
• Calcul intégral
• Application de la Géométrie à la physique Newton

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Divisions de la géométrie

• En élémentaire en transcendante
• La Géométrie élémentaire considère les propriétés
  des droites, des cercles, des solides les plus
  simples
• La Géométrie transcendante a pour objet toutes
  les courbes différentes du cercle
• La partie de la Géométrie transcendante qui
  applique le calcul différentiel intégral à la
  recherche des propriétés des courbes pourroit
  sappeler Géométrie sublime

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Géométrie ancienne et moderne

• Géométrie ancienne, celle qui nemploie point le
  calcul analytique, ou celle qui emploie le calcul
  analytique ordinaire, sans se servir des calculs
  différentiel intégral
• Géométrie moderne, celle qui emploie lanalyse de
  Descartes dans la recherche des propriétés des
  courbes, ou celle qui se sert des nouveaux calculs

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Article analyse

• Très bref
• La méthode de résoudre les problèmes
  mathématiques, en les réduisant à des équations
• Le grand avantage des Mathématiciens modernes sur
  les anciens, vient principalement de lusage
  quils font de lAnalyse.

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Pour conclure

• Que conclure de ce farrago de textes que je verse
  au dossier de la question Quest-ce que la
  géométrie ?
• Géométrie semble encore se confondre avec
  mathématiques
• Le champ de la géométrie sublime (ou
  transcendante), celle qui utilise le calcul
  différentiel et intégral, ne semble pas se
  distinguer de celui de lanalyse elle-même
  instituée par Euler