Raisonnement, oral et algorithmique en analyse

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Raisonnement, oral et algorithmique en analyse
Réunions Inter académiques De Bordeaux
2009

Comment une activité algorithmique peut
contribuer à développer le raisonnement et
largumentation orale des élèves dans le domaine
de lanalyse ?
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Exemple de situation de classe

Harry Potter
Ensorceler un nombre, cest calculer la somme de
lopposé de son inverse et de 1. Pour gagner le
tournoi des trois sorciers, Harry POTTER doit
résoudre lénigme suivante   quadvient-il
dun nombre que lon ensorcelle 999 fois de
suite ? 
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Scénario de classe, en seconde

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• Première séance, en module
• Les élèves sont répartis par groupes.
• Conception par groupe d une liste dinstructions
  permettant densorceler le nombre 999 fois de
  suite.
• Mise en commun des différentes productions.
• Programmation sur calculatrice.
• Conjecture.

• Deuxième séance, en module ou en classe entière
• Étude graphique et mise en commun des divers
  procédés de  report  et déventuelles
  observations.
• Débat de classe autour didées de preuve.

• Devoir en temps libre
• Démonstration de la conjecture.

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Quelques éléments de réflexion sur le thème de
l'algorithmique
d'après un article de J.B Lagrange
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Beaucoup de progressions s'adressant à des
débutants en algorithmique sont basées sur
l'hypothèse selon laquelle les premiers
traitements peuvent être enseignés indépendamment
du type des objets sur lesquels ils portent, et
sans que la question de la codification des
données se pose. Cette hypothèse conduit à ce
que, dans les premiers problèmes, les objets sont
tous déjà codifiés sous la forme d'entités
numériques. Dans les problèmes directs, l'élève
a en fait à établir une formule algébrique
associant des données numériques et à la traduire
dans le langage de programmation.
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L'absence de représentations mentales adéquates
du dispositif ordinateur langage de
programmation est le principal handicap du
sujet débutant face à une tâche de programmation.

• Le raisonnement, au niveau général d'un problème,
  implique la plupart du temps une organisation de
  la solution en modules qui doivent pouvoir être
  développés séparément sans remettre en cause le
  schéma d'ensemble.
• Ceci implique que l'élève doit impérativement
  disposer de représentations articulant
• des capacités d'ensemble du dispositif
• des traitements particuliers.

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• Un enjeu essentiel de l'enseignement à des
  débutants est donc d'aider à ce que leurs
  représentations, en s'adaptant aux contraintes de
  la programmation, évoluent, se diversifient, se
  coordonnent.
• Pour cela il lui est nécessaire
• qu'il rencontre les limites de ses
  représentations spontanées
• qu'il soit confronté à des problèmes de
  programmation qui lui permette d'évoquer des
  schémas de solutions à partir de Systèmes de
  Représentation et de Traitement qu'il a
  construits pour des situations connues ou
  familières.

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D'après J.M Hoc, on peut mettre en évidence trois
étapes dans l'analyse d'un problème en vue de sa
programmation sur ordinateur
We have interpreted them as steps- in the
interiorization of the device language, which
lead the subject from a word-by-word translation
of procedures, in S.R.T.s foreign to this
language, toward a possibility of calculating in
an S.R.T. which is an accurate reflection of that
language.
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Première étape

Élaboration d'un S.R.T. minimal dans lequel il se
représente l'algorithme en lui-même. Dans chaque
problème, il associe très souvent l'algorithme
qu'il doit élaborer à des situations
particulières et à des modes de traitements qu'il
a déjà rencontrés. Ce S.R.T, bien que pouvant
modéliser correctement l'algorithme, peut
conduire à des programmes erronés. Cela est dû au
fait que le langage utilisé n'est pas encore
correctement intériorisé et que le sujet en
effectue une traduction mot à mot.
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Deuxième étape

L'intériorisation du langage n'est pas encore
complète. Il n'existe pas encore d'organisation
verticale de l'algorithme. La représentation du
problème s'effectue selon des bribes de procédés
juxtaposés les uns à côté des autres. Durant
cette étape, le sujet est capable d'écrire
l'algorithme dans un langage dans la mesure où il
peut interroger, et donc ajuster, chaque action
élémentaire par ses propres représentations. Cepen
dant, il perd alors la vision d'ensemble qu'il a
de l'algorithme.
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Troisième étape

• Le sujet intériorise correctement le langage
  utilisé.
• Les actions élémentaires et la syntaxe sont
  intériorisées, ainsi que les procédures les plus
  souvent utilisées, ce qui permet au sujet
• de se construire une représentation globale de
  l'algorithme dans le langage utilisé
• doptimiser sa représentation des données.
• Cette vue d'ensemble a pour conséquence que
  l'utilisateur se concentre immédiatement sur les
  parties difficiles à algorithmiser.

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Quelques exemples illustrant ces éléments de
réflexion
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Exemple déchanges oraux dans un groupe délèves
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échanges oraux qui débouchent sur la production
écrite suivante
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Éléments didentification dun SRT
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Exemple déchanges oraux dans un groupe délèves

échanges oraux qui débouchent sur la production
écrite suivante
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Débat de classe autour de la représentation
graphique
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Potter.ggb
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Débat de classe autour de la recherche de preuves
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Échanges oraux dans la classe autour de la
recherche de preuves
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 On fait f de x , trois fois   Non, cest f
de x , de f de x , de f de x   Donc cest pas
trois fois mais au cube   Non, cest au fur et
à mesure    Comment on écrit quand on refait f
? 
On se met finalement daccord ce sur les calculs
à conduire
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Avantages de cette activité
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Mise en activité quasi immédiate de tous les
élèves sur une situation motivante ( élaboration
dun algorithme dans le cadre de la résolution
dun problème présenté sous forme
ludique) Grande richesse des échanges oraux dans
la classe Différenciation possible du travail ,
les synthèses étant communes Un travail riche
et gradué sur des points forts du programme à
partir dune situation permettant de donner du
sens à la notion de fonction ( changements de
cadres) et de participer à la maîtrise du calcul
algébrique Sans oublier le développement des
capacités stipulées dans le programme de seconde

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Lobjectif (général) de ce programme est de
former les élèves à la démarche scientifique sous
toutes ses formes pour les rendre capables de

• modéliser et sengager dans une activité de
  recherche
• conduire un raisonnement, une démonstration
• pratiquer une activité expérimentale ou
  algorithmique
• faire une analyse critique dun résultat, dune
  démarche
• pratiquer une lecture active de linformation
  (critique, traitement), en privilégiant les
  changements de registre (graphique,numérique,
  algébrique, géométrique)
• utiliser les outils logiciels (ordinateur ou
  calculatrice) adaptés à la résolution dun
  problème
• communiquer à lécrit et à loral.

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Et maintenant
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à vous de créer une activité algorithmique et de
réfléchir à un scénario de classe qui contribuent
au développement du raisonnement et de
largumentation orale des élèves dans le domaine
de lanalyse !
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