MODELES DE LA COURBE DES TAUX DINTERET ENSAE DEA MASE Universit Paris IX Dauphine Sance 1

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MODELES DE LA COURBE DES TAUX DINTERET
ENSAE - DEA MASE Université Paris IX
DauphineSéance 1

• Philippe PRIAULET
• HSBC-CCF

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Plan du Cours

• Introduction
• Définition de la courbe des taux
• La multitude de courbes des taux
• Pourquoi utiliser un modèle de taux ?
• La (les) courbe(s) de taux
• Définition et utilisation des différents taux
• Quelles formes prend la courbe des taux ?
• Comment évolue empiriquement la courbe des taux ?
  (ou le modèle factoriel de la courbe des taux)

3
Plan du Cours (2)

• Les modèles de reconstitution de la courbe des
  taux
• A quoi servent-ils ?
• Courbe Trésor/ Courbe Interbancaire/ Courbe des
  spreads de crédit
• Méthode théorique directe, bootstrapping
• Méthodes indirectes splines cubiques et
  exponentielles, fonctionnelle de Nelson et Siegel
• Les modèles stochastiques de la courbe des taux
  Présentation générale
• Pourquoi utiliser un modèle stochastique ?
• Panorama des différents types de modélisation
• Quel modèle de taux utiliser ?

4
Plan du Cours (3)

• Les modèles stochastiques de la courbe des taux
  Approche détaillée
• Le modèle de Black la référence du marché pour
  lévaluation de caps, floors et swaptions
• Les modèles de Vasicek et CIR
• Le modèle HJM et ses variantes (Hull et White, Ho
  et Lee)
• Evaluation et couverture de produits de taux à
  flux aléatoires
• Présentation de quelques options exotiques de
  taux
• Le calage des modèles
• Evaluation et couverture de produits dérivés de
  taux

5
Bibliographie

• Supports de Cours
• L. Martellini et P. Priaulet, Produits de taux
  dintérêt Méthodes dynamiques dévaluation et de
  couverture, Economica (2000)
• L. Martellini, P. Priaulet et S. Priaulet,
  Fixed-Income Securities Valuation, Risk
  Management and Portfolio Strategies, Wiley, 2003
• gt le cours renverra à de nombreuses lectures
  dans ces ouvrages

6
Bibliographie

• Autres Ouvrages Conseillés
• J. Hull, Options, futures and other
  derivatives, Prentice Hall (1999)
• M. Musiela et M. Rutkowski, Martingale Methods
  in Financial Modelling, Springer-Verlag (1998)
• R. Rebonato, Interest Rate Option Models, Wiley
  (1998)

7
Introduction Définition de la courbe des taux

• La structure par terme des taux dintérêt (ou
  courbe des taux ou encore gamme des taux) est la
  fonction qui à une date donnée et pour chaque
  maturité en abscisse, indique le niveau du taux
  dintérêt associé en ordonnée.
• Exemple
• Courbe Trésor des taux zéro-coupon US -
  05/09/2001
• issue des strips (obligation zéro-coupon dite
  aussi simplement zéro-coupon) du Trésor américain

8
Introduction Définition de la courbe des taux (2)
9
Introduction La multitude de courbe des taux

• A une date donnée et dans un pays ou une zone
  économique unifiée, il existe une multitude de
  courbes de taux.
• On distingue les courbes de marché et les courbes
  implicites.
• Les courbes de marché sont construites
  directement à partir des cotations de marché
  dinstruments comme les obligations et les swaps.

10
Introduction La multitude de courbe des taux (2)

• Les courbes implicites sont dérivées
  indirectement à partir des cotations de marché
  dinstruments comme les obligations et les swaps.
• Parmi les courbes de marché
• - la courbe des taux de rendement à maturité
  elle est construite à partir des taux de
  rendement des obligations.
• - la courbe des taux de swaps elle est
  construite à partir des taux de swaps.

11
Introduction La multitude de courbe des taux (3)

• Parmi les courbes implicites
• - la courbe des taux zéro-coupon
• - la (les) courbe(s) de taux forwards
• - la courbe des taux forwards instantanés
• - la courbe des taux de rendement au pair

12
Introduction La multitude de courbe des taux (4)

• On distingue les courbes de taux selon
  lémetteur, le secteur auquel il appartient et
  son niveau de rating.
• Exemple
• - la courbe des taux de rendement du Trésor
• - la courbe des taux de rendement des entreprises
  du secteur bancaire disposant du rating A
• - la courbe des taux de rendement de la société
  France Télécom

13
Introduction Rappel de léchelle des ratings
Moodys et SP
14
Introduction Pourquoi utiliser un modèle de taux
?

• On distingue trois grands types de modèles de
  taux
• - le modèle danalyse en composantes principales
  de la courbe des taux. Il porte généralement sur
  la courbe des taux zéro-coupon ou des taux
  forwards.
• - les modèles de reconstitution de la courbe des
  taux au comptant. Il portent généralement sur la
  courbe des taux zéro-coupon.
• - les modèles stochastiques de la courbe des
  taux. Il portent généralement sur la courbe des
  taux zéro-coupon ou des taux forwards
  instantanés.

15
Introduction Pourquoi utiliser un modèle de taux
? (2)

• Le modèle danalyse en composantes principales de
  la courbe des taux a pour but de mettre en
  évidence les principaux facteurs qui expliquent
  les déformations de la courbe des taux.
• Utilisations concrètes
• 1) meilleure connaissance de lévolution
  empirique de la courbe des taux, fondamentale
  pour la mise en place dun modèle stochastique
  réaliste
• 2) couverture contre le risque de taux de
  produits à flux déterministes par immunisation
  contre les principaux facteurs de déformation de
  la courbe des taux

16
Introduction Pourquoi utiliser un modèle de taux
? (3)

• Les modèles de reconstitution de la courbe des
  taux zéro-coupon au comptant ont trois
  principales applications en pratique
• - Ils permettent dévaluer (et pour certains de
  couvrir) à la date de reconstitution les produits
  de taux à flux déterministes (obligation à taux
  fixe, par exemple)
• gt lanalyse rich and cheap (bond picking) qui
  consiste à détecter les produits sur-et
  sous-évalués par le marché pour tenter den tirer
  profit. Cette analyse peut être menée dans un
  contexte de trading en salle de marché ou de
  gestion obligataire ou/et alternative en société
  de gestion.

17
Introduction Pourquoi utiliser un modèle de taux
? (4)

• - Ils permettent de dériver les autres courbes
  implicites courbe des taux forward, courbe des
  taux de rendement au pair, courbe des taux de
  rendement instantanés.
• - enfin, ils sont le point de de départ pour la
  mise en place de modèles stochastiques de
  déformation de la courbe des taux.

18
Introduction Pourquoi utiliser un modèle de taux
? (5)

• Les modèles stochastiques de déformation de la
  courbe des taux sont utilisés à deux fins
  essentielles
• - pour lévaluation et la couverture de produits
  de taux délivrant des flux aléatoires dans le
  futur (par exemple, options de taux dintérêt).
  Le vendeur doption doit être capable de donner
  un prix au produit quil vend, mais surtout de
  répliquer (ou couvrir) loption quil vend car il
  encourt une perte illimitée.
• cf profil PL dune vente de call ou put (voir
  slide suivant)
• Ces modèles sont surtout utilisés en salle de
  marché dans un contexte de trading, et dans les
  cellules de contrôle des risques.

19
Introduction Pourquoi utiliser un modèle de taux
? (6)

• Les payoffs (ou valeur à maturité en T) des
  options en fonction du prix du sous-jacent ST

20
Introduction Pourquoi utiliser un modèle de taux
? (7)

• - pour la mise en place de lanalyse par
  scénario.
• Quand un gérant de portefeuille met en place une
  stratégie, il a besoin de savoir ce quil va
  gagner dans le scénario de déformation de la
  courbe des taux quil anticipe.
• Mais comme il nest pas sûr que son scénario se
  réalise, il a aussi besoin de mesurer le risque
  quil prend si ce scénario ne se réalise pas
  dans les faits.
• Pour cela, il a besoin de mettre en place un
  outil qui lui permet denvisager tous les
  scénarios possibles de déformation de la courbe
  des taux.

21
Introduction Pourquoi utiliser un modèle de taux
? (8)

• Cet outil appelé analyse par scénario ou
  scenario analysis lui permettra de calculer
• - le taux de rendement le plus défavorable suite
  à la mise en place de la stratégie
  dinvestissement.
• - le taux de rendement moyen et son écart-type en
  prenant en compte lensemble des scénarios
  possibles de déformation de la courbe.

22
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux

• Nous allons considérer 6 différents taux et voir
  dans quels contextes ils sont utilisés
• - le taux de rendement à maturité
• - le taux de swap
• - le taux zéro-coupon
• - le taux forward
• - le taux forward instantané
• - le taux de rendement au pair

23
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (2)

• Le taux de rendement à maturité (Yield to
  Maturity (YTM) en anglais)
• Il est associé à un produit de taux dintérêt,
  lobligation à taux fixe.
• Lobligation à taux fixe est classiquement cotée
  en prix ou en taux. Ce taux est le taux de
  rendement à maturité de lobligation.
• Rappel Lobligation à taux fixe est évaluée par
  actualisation des flux futurs quelle délivre.
• A la date t, le taux de rendement actuariel à
  maturité de lobligation de prix V(t) délivrant
  les flux F(i) aux dates futures i t1,..., m
  est le taux R(t) qui vérifie léquation suivante

24
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (3)

• Le taux de rendement à maturité

25
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (4)

• Pourquoi ce taux est-il appelé taux de rendement
  à maturité ?
• Aujourdhui, nous achetons une obligation de
  maturité
• 3 ans, de montant principal 100, de taux de
  coupon
• 5 et de taux de rendement 10.
• Les flux perçus sont 5, 5 et 105 au bout
  respectivement
• dun an, deux ans et trois ans. Le prix de cette
  obligation
• est égal à 87.57 euros.

26
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (5)

• Illustration du taux de rendement à maturité
• En supposant que les flux intermédiaires i.e.
  les coupons
• reçus au bout dun an et deux ans ont pu être
  réinvestis
• au taux annuel de 10, le flux total à maturité
  sélève à
• Lopération a permis de générer un taux de
  rendement
• annuel R sur la période tel que

27
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (6)

• La courbe des taux de rendement à maturité
• La courbe des taux de rendement à maturité
  associe à chaque maturité dune obligation son
  taux de rendement.
• En pratique, cette courbe souffre de leffet
  coupon pour
• des raisons essentiellement fiscales, certains
  pays
• taxant différemment le capital et les coupons.
  Ainsi, deux
• obligations de même échéance mais de taux de
  coupon
• différent nauront pas forcément le même taux de
• rendement, les investisseurs préférant
  lobligation qui
• a le coupon le plus élevé, ce qui a pour effet
  daccroître
• son prix et de diminuer son taux de rendement.

28
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (7)

• Exemple de courbe de taux de rendement à maturité

29
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (8)

• Exemple de courbe de taux de rendement à maturité
  (2)

30
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (9)

• Avantage du taux de rendement à maturité
• Le taux de rendement actuariel à maturité permet
  dassocier un seul facteur de risque responsable
  de la variation du prix de lobligation ou dun
  portefeuille obligataire.
• Pour le détenteur dun portefeuille obligataire
  qui souhaite protéger son capital, il suffit
  alors dimmuniser son portefeuille contre les
  variations ce taux.
• On appelle cela la couverture en duration (voir
  MP p 40 à 44).

31
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (10)

• Limite du taux de rendement à maturité
• Le fait dutiliser le taux de rendement pour
  évaluer une obligation consiste à faire
  lhypothèse que la courbe des taux est plate.
• En effet on utilise le même taux R dans chaque
  facteur dactualisation. Or la courbe des taux
  est très rarement plate.
• Une obligation est plus justement évaluée à
  laide des taux zéro-coupon.

32
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (11)

• Le taux de swap
• Rappel Un swap standard (ou plain vanilla) est
  caractérisé par
• - léchange dune patte (ou jambe) fixe dont les
  paiements dépendent dun taux fixe pour une patte
  variable dont les paiements dépendent dun taux
  variable.
• - un montant principal constant tout au long de
  la vie du swap.
• - enfin, la maturité du taux variable est
  identique à la durée entre deux paiements de la
  patte variable.

33
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (12)

• Le taux de swap
• La valeur dun swap standard de montant nominal N
  est égale à celle
• - dune obligation à taux fixe de maturité
  identique à celle du swap et de même montant
  nominal que le swap
• - moins le montant nominal du swap.
• A une date t donnée, le taux fixe est déterminé
  de telle façon que la valeur du swap soit égale à
  0.
• Ce taux fixe est appelé taux de swap. Cest ainsi
  que sont cotés les swaps.

34
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (13)

• Exemple de cotation de swaps euribor 3 mois

35
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (14)

• La courbe des taux de swap
• Les taux de swap cotés sur le marché sont issus
  de swaps standards entre banques.
• Cest la raison pour laquelle cette courbe est
  couramment appelée courbe interbancaire.
• En zone Euro, elle est construite à laide des
  taux euribor de maturité 1 jour à 1 an pour la
  partie courte et des taux de swaps pour les
  maturités au-delà.
• A linstant t, cest une véritable photo des
  cotations sur le marché interbancaire.

36
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (15)

• Définition du taux zéro-coupon
• Il est implicitement défini dans la relation
  suivante
• où
• - B(0,t) prix de marché à la date 0 dune
  obligation zéro-coupon délivrant 1 euro à la date
  t. On appelle aussi B(0,t), le facteur
  dactualisation en 0 pour la maturité t.
• - R(0,t) taux de rendement en 0 de lobligation
  zéro-coupon délivrant 1 euro en t. R(0,t) est
  aussi le taux zéro-coupon en 0 de maturité t.
• Nota Bene les concepts de taux de rendement à
  maturité et de taux zéro-coupon sont identiques
  pour des obligations zéro-coupon (appelées
  strips).

37
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (16)

• Reprenons léquation qui caractérise le prix de
  lobligation en utilisant le taux de rendement à
  maturité R
• En labsence dopportunités darbitrages, il est
  équivalent de détenir cette obligation ou
  lensemble des m strips Vi qui la composent et
  délivrent chacune le flux F(i) à la date i.
• Le fait dutiliser le taux de rendement à
  maturité revient à actualiser chacun des flux au
  même taux et donc à donner des prix erronés aux
  obligations zéro-coupon sauf dans le cas où la
  courbe est plate.

38
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (17)

• Dans la pratique les taux de rendement associés à
  chacune des obligations zéro-coupon sont
  différents (sauf quand la courbe est plate).
• Le prix du strip Vi est égal à
• R(t, ?) taux de rendement de l obligation
  zéro-coupon déchéance t ?
• B(t, T) prix à la date t de lobligation
  zéro-coupon rapportant 1 euro en T (facteur
  dactualisation)
• On appelle plus simplement R(t, ?) le taux
  zéro-coupon en t déchéance t ?

39
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (18)

• Le prix V de lobligation à la date t sécrit
  donc plus justement
• Exemple Soit lobligation de montant nominal
  100, de maturité 3 ans et de taux de coupon 10.
  
• Les strips à 1 an, 2 ans et 3 ans cote
  respectivement 7, 9 et 10. Le prix P de
  lobligation est égal à

40
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (19)

• Pour évaluer convenablement une obligation, il
  suffit donc de connaître les taux zéro-coupon
  associés aux maturités de chacun des flux de
  lobligation.
• Ces taux zéro-coupon nexistent malheureusement
  pas sur le marché pour un continuum de maturité.
  Il nexiste en effet que trop peu dobligations
  zéro-coupon.
• Les courbes de taux zéro-coupon obtenues
  directement en utilisant les strips sont en effet
  fortement discontinues
• voir slides suivantes

41
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (20)
42
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (21)
43
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (22)

• Il est donc nécessaire destimer cette courbe des
  taux zéro-coupon par dautres méthodes (voir
  séances 3 et 4).
• La connaissance de cette courbe de taux
  zéro-coupon (en fait nous verrons quil y en a
  plusieurs caractérisées par différents risques de
  contrepartie) permet dévaluer nimporte quel
  produit de taux à flux déterministes.
• La connaissance de la courbe des taux zéro-coupon
  permet aussi de déduire deux autres courbes très
  utilisées en pratique
• - la courbe des taux forwards
• - et la courbe des taux de rendement au pair.

44
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (23)

• Définition du taux forward
• Le taux forward (ou taux forward zéro-coupon)
  F(t,x,y-x), déterminé en t, démarrant en x et
  d échéance y, est défini par
• Pour un emprunt avec remboursement des intérêts
  et du capital à léchéance, F(t,x,y-x) est le
  taux dintérêt auquel on peut signer un contrat
  aujourdhui, avec un démarrage en x et
  l échéance en y.
• Voir slide suivante pour une illustration

45
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (24)

• Un taux quon peut se garantir
• Aujourdhui, nous empruntons 1 à 2 ans et
  prêtons 1 à 1 an. Les cash-flows de cette double
  opération sont
• Cette opération est équivalente à emprunter
  1R(0,1) dans un an, et à rembourser 1R(0,2)²
  dans deux ans.
• Le taux implicite du prêt est égal à
• F(0,1,1) est le taux d intérêt garanti
  aujourdhui pour un prêt démarrant dans un an et
  finissant dans 2 ans.

46
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (26)

• La courbe des taux forwards (zéro-coupon)
• Il sagit de la courbe déterminée à la date t,
  qui à y-x fait correspondre F(t,x,y-x) avec des
  taux démarrant en x.
• Concrètement la quantité y-x varie toujours entre
  1 jour et 30 ans, la quantité x étant fixée au
  départ.
• On peut tracer de très nombreuses courbes des
  taux forwards selon la valeur choisie de x
• - la courbe des taux forwards dans un mois (x
  1/12)
• - la courbe des taux forwards dans un an (x 1)
• - la courbe des taux forwards dans 10 ans (x
  10)
• mais aussi courbe des taux forwards CMS, CMT...

47
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (27)

• Le taux forward instantané
• Il sagit dun taux forward particulier défini
  comme suit
• Il sagit concrètement du taux forward déterminé
  en t, démarrant en x et finissant un instant
  (infiniment petit) plus tard.
• Pour des raisons pratiques, ce taux est très
  souvent utilisé en modélisation (cf le modèle de
  Heath, Jarrow et Morton).
• Nota bene f(t,t) r(t), r(t) étant connu comme
  le taux court, cest-à-dire le taux en t
  finissant un instant plus tard.
• On trace la courbe des taux forwards instantanés
  qui à x fait correspondre f(t,x).

48
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (28)

• Différence entre une courbe de taux forwards
  classique et la courbe des taux forwards
  instantanés
• Pour la courbe des taux forwards instantanés, le
  paramètre qui varie est le paramètre x. A chaque
  valeur de x dans le futur correspond donc la
  valeur du taux forward instantané à cette date.
  La courbe tracée nest donc pas une courbe par
  maturité des taux, celle-ci étant toujours
  infinitésimale.
• Au contraire, pour une courbe des taux forwards
  classique, le paramètre qui bouge est le
  paramètre zy-x, x étant fixé. Dans ce cas
  précis, on retrouve une véritable courbe des taux
  par maturité.

49
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (29)

• Le taux de rendement au pair
• Pour gommer leffet coupon rencontré sur la
  courbe des taux de rendement à maturité, on
  trace la courbe des taux de rendement au pair.
• Rappelons quune obligation au pair est une
  obligation dont le taux de coupon est identique
  au taux de rendement actuariel, cest-à-dire
  qui vaut 100 (100 du montant nominal de
  lobligation).
• R(0,t) désignant le taux zéro coupon de maturité
  t, le taux de rendement au pair r(n) de
  maturité n est calculé comme suit

50
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (30)

• Le taux de rendement au pair
• soit
• Cette courbe associe à la maturité n le taux
  r(n). Elle est classiquement utilisée afin de
  déterminer le niveau du coupon lors de
  lémission dune obligation au pair.

51
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (31)

• Liens entre les différents taux
• Nous avons précédemment exhibé les liens entre
  les différents taux en supposant que les taux
  étaient composés annuellement.
• Revenons sur la notion de composition par un
  exemple
• Si vous investissez 100 pour 5 ans au taux de
  6 avec composition semi-annuelle
• - au bout de 6 mois, vous aurez
• - au bout dun an vous aurez
• - au bout dun an et demi, vous aurez
• ...etc...

52
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (32)

• Liens entre les différents taux (2)
• A présent, si vous investissez 100 pour 5 ans au
  taux de 6 avec n compositions dans lannée
• Au bout de T ans, vous aurez
• Quand n tend vers linfini, le mode de
  composition est continu. On obtient
• est le taux exprimé en composition
  continue.

53
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (33)

• Liens entre les différents taux (3)
• Le lien entre le taux exprimé en composition
  continue et le taux exprimé en
  composition annuelle est daprès léquation
  précédente
• En composition continue, les liens entre les
  différents taux sont les suivants
• 1- Lien entre le facteur dactualisation et le
  taux zéro-coupon

54
La (les) courbes de taux Définition et
utilisation des différents taux (34)

• Liens entre les différents taux (4)
• 2- Lien entre le taux forward et les taux
  zéro-coupon
• 3- Lien entre le taux zéro-coupon et le taux
  forward instantané
• voir MP p. 16 à 18

55
La (les) courbes de taux Quelles formes prend
la courbe des taux ?

• La courbe des taux peut prendre cinq formes
  différentes en fonction des évènements de marché
• - quasi-plate
• - croissante
• - décroissante
• - décroissante sur le court terme, puis
  croissante
• - croissante sur le court terme, puis
  décroissante
• cf slides suivantes pour des illustrations
  concrètes
• La forme croissante est la plus couramment
  obtenue.

56
La (les) courbes de taux Quelles formes prend
la courbe des taux ? (2)

• Courbe Trésor des taux de rendement au pair - US
  - 03/11/99

57
La (les) courbes de taux Quelles formes prend
la courbe des taux ? (3)

• Courbe Trésor des taux de rendement au pair -
  Japon -27/04/2001

58
La (les) courbes de taux Quelles formes prend
la courbe des taux ? (4)

• Courbe Trésor des taux de rendement au pair - UK
  -19/10/2000

59
La (les) courbes de taux Quelles formes prend
la courbe des taux ? (5)

• Courbe Trésor des taux de rendement au pair -
  Europe (France Allemagne) - 04/04/2001

60
La (les) courbes de taux Quelles formes prend
la courbe des taux ? (6)

• Courbe Trésor des taux de rendement au pair - US
  -29/02/2000

61
La (les) courbes de taux Quelles formes prend
la courbe des taux ? (7)

• Il existe un lien direct entre la forme de la
  courbe des taux de rendement au pair et la
  position relative par rapport aux courbes des
  taux zéro-coupon et forward correspondantes.
• Quand la courbe des taux de rendement au pair est
  croissante (décroissante)
• - la courbe des taux zéro-coupon se situe
  au-dessus (en-dessous) de celle-ci
• - la courbe des taux forward se situe au-dessus
  (en-dessous) de la courbe des taux zéro-coupon.
• Exercice Démontrer ces deux assertions.
• Cf les 2 slides suivantes pour une illustration
  concrète.

62
La (les) courbes de taux Quelles formes prend
la courbe des taux ? (8)

• Positions relatives des courbes de taux de
  rendement au pair, zéro-coupon et forward pour
  une forme croissante

63
La (les) courbes de taux Quelles formes prend
la courbe des taux ? (9)

• Positions relatives des courbes de taux de
  rendement au pair, zéro-coupon et forward pour
  une forme décroissante

64
La (les) courbes de taux Comment évolue
empiriquement la courbe des taux ?

• Létude historique des mouvements de la courbe
  des taux met en relief les points suivants
• - les taux dintérêt ne sont pas négatifs.
• - les taux dintérêt sont affectés par des effets
  de retour à la moyenne.
• - les taux névoluent pas de façon parfaitement
  corrélés.
• - les taux à court terme sont plus volatiles que
  les taux à long terme.
• - 3 facteurs de niveau, pente et courbure sont à
  lorigine de plus de 95 des mouvements de la
  courbe des taux .

65
La (les) courbes de taux Comment évolue
empiriquement la courbe des taux ? (2)

• Les taux ne sont pas négatifs
• Si les taux dintérêt réels sont parfois
  négatifs, généralement dans un contexte où
  linflation devient galopante sous leffet de
  chocs extérieurs (par exemple, crise du pétrole)
  et où parallèlement léconomie ne peut supporter
  des taux dintérêt nominaux trop élevés sous
  peine de déprimer la consommation et par
  conséquent la croissance, les taux dintérêt
  nominaux ne sont pas négatifs.
• Il apparaît en effet aberrant dun point de vue
  économique de prêter de largent à un taux
  négatif. Il est en effet préférable de conserver
  son argent sans le prêter.
• Pour respecter cette propriété, on ne peut
  modéliser les taux par des processus gaussiens.

66
La (les) courbes de taux Comment évolue
empiriquement la courbe des taux ? (3)

• Leffet de retour à la moyenne des taux
• Des valeurs élevées des taux ont tendance à être
  suivies plus fréquemment par des baisses que par
  des hausses.
• Leffet inverse est également constaté pour des
  niveaux de taux inhabituellement bas.
• Le graphique suivant montrent que les taux nont
  pas de trend sur longue période. Ils évoluent au
  sein dun tunnel contrairement aux actions et
  indices actions.

67
La (les) courbes de taux Comment évolue
empiriquement la courbe des taux ? (4)

68
La (les) courbes de taux Comment évolue
empiriquement la courbe des taux ? (5)

• Comment modéliser leffet de retour à la moyenne
  des taux ?
• Vasicek (1977) a proposé de modéliser le taux
  court par un processus dOrnstein-Uhlenbeck
• où
• r(t) taux court en t (assimilable au taux JJ).
• b moyenne sur long terme du taux court.
• a vitesse de retour à la moyenne.
• W(t) mouvement brownien
• voir MP p 72 à 74

69
La (les) courbes de taux Comment évolue
empiriquement la courbe des taux ? (6)

• Lorsque r(t) est éloigné de b, lespérance de
  variation instantanée de r(t), égale à a(b-r(t))
  est positive si r(t) lt b.
• Dans ce cas, le taux court a tendance à
  augmenter, se rapprochant de la moyenne sur long
  terme dautant plus intensément quil sen est
  écarté et que le paramètre a est grand.
• A linverse, si r(t) gt b, lespérance de
  variation instantanée de r(t) est négative et
  r(t) diminue dans le temps pour se rapprocher de
  b.
• Linconvénient de cette modélisation est que le
  taux court suit un processus gaussien, donc est
  négatif avec une probabilité non nulle.

70
La (les) courbes de taux Comment évolue
empiriquement la courbe des taux ? (7)

• Cox, Ross et Ingersoll (1985) ont proposé de
  modéliser le taux court par un processus racine
  carré
• Ce processus bénéficie du même effet de retour à
  la moyenne.
• En outre, le taux court ainsi modélisé reste
  toujours positif.

71
La (les) courbes de taux Comment évolue
empiriquement la courbe des taux ? (8)

• Les taux névoluent pas de façon parfaitement
  corrélés
• Létude statistique des variations de taux
  zéro-coupon de maturité par exemple 3 mois, 2 ans
  et 10 ans montre quun seul facteur ne suffit pas
  à rendre compte de ces évolutions.
• En particulier, lévolution des taux à court
  terme apparaît peu corrélée avec lévolution des
  taux à long terme.
• Nous reportons ci-dessous les corrélations entre
  les variations quotidiennes de taux zéro-coupon
  issus de la courbe interbancaire pour la France
  de 1995 à 1998.

72
La (les) courbes de taux Comment évolue
empiriquement la courbe des taux ? (9)

• Un exemple empirique

73
La (les) courbes de taux Comment évolue
empiriquement la courbe des taux ? (10)

• Létude du tableau précédent montre que
• - les corrélations sont toutes positives.
• - plus lécart de maturité entre deux taux est
  important, moins la corrélation est élevée.
• - le segment court terme 1 mois - 6 mois est
  très corrélé.
• - le segment long terme 5 ans - 10 ans est
  également très corrélé.
• - les modèles de taux à un facteur sont
  déficients dans la mesure où ils impliquent une
  matrice de corrélation entre variations de taux
  ne contenant que des termes égaux à un.

74
La (les) courbes de taux Comment évolue
empiriquement la courbe des taux ? (11)

• Les taux à court terme sont plus volatiles que
  les taux à long terme
• Historiquement, on constate que
• - la volatilité est généralement une fonction
  décroissante de la maturité des taux, ou
  croissante sur le court terme jusquà un an puis
  décroissante au delà.
• - la volatilité des taux semble corrélée avec le
  niveau des taux.
• - il est donc important que les fonctions de
  volatilité induites par les modèles de taux
  satisfassent au moins le premier critère.

75
La (les) courbes de taux Comment évolue
empiriquement la courbe des taux ? (12)

• Exemple de courbe de volatilité des taux

Volatilité
10
13
16
19
8.5
7.75
9.25
11.5
14.5
17.5
10.75
12.25
13.75
15.25
16.75
18.25
19.75
Maturité des taux
76
La (les) courbes de taux Comment évolue
empiriquement la courbe des taux ? (13)

• 3 facteurs à lorigine des déformations de la
  courbe des taux (voir MP p 196 à 201)
• Lanalyse en composantes principales sur la
  courbe des taux zéro-coupon permet de mettre en
  évidence
• - 3 facteurs à lorigine de plus de 95 des
  déformations de la courbe des taux.
• - Ces 3 facteurs identifiables en traçant la
  sensibilité absolue des taux zéro-coupon à chacun
  des facteurs permet de mettre en évidence un
  facteur de niveau, un facteur de pente et un
  facteur de courbure.
• - Les résultats sont robustes quels que soient la
  période et le pays considérés même si limpact de
  chacun des facteurs est différent dune étude à
  lautre

77
La (les) courbes de taux Comment évolue
empiriquement la courbe des taux ? (14)

• Le facteur de niveau
• Il provoque les déformations parallèles de la
  courbe des taux

78
La (les) courbes de taux Comment évolue
empiriquement la courbe des taux ? (15)

• Le facteur de rotation (pente ou pivotement)
• Il provoque les mouvement daplatissement ou de
  pentification de la courbe des taux

79
La (les) courbes de taux Comment évolue
empiriquement la courbe des taux ? (16)

• Le facteur de courbure
• Il provoque les changements de concavité de la
  courbe des taux

80
La (les) courbes de taux Comment évolue
empiriquement la courbe des taux ? (17)

• Quelques résultats dACP sur la courbe des taux

81
La (les) courbes de taux Comment évolue
empiriquement la courbe des taux ? (18)

• Sensibilité des taux zéro-coupon aux facteurs 1
  et 2 de lACP - France 1995-98

82
La (les) courbes de taux Comment évolue
empiriquement la courbe des taux ? (19)

• Sensibilité des taux zéro-coupon aux facteurs 3
  et 4 de lACP - France 1995-98

83
La (les) courbes de taux Comment évolue
empiriquement la courbe des taux ? (20)

• Références
• 1- sur la méthode de lACP
• L. Lebart et J.P. Fénelon Statistique et
  informatique appliquées, Dunod, 1975.
• 2- sur lapplication aux taux dintérêt
• cf MP p 53 à 57 et p 196 à 203.
• S. Lardic, P. Priaulet et S. Priaulet PCA of
  Yield Curve Dynamics Questions of
  Methodologies, Journal of Bond Trading and
  Management, Avril 2003.
• L. Martellini, P. Priaulet et S. Priaulet
  Beyond Duration, Journal of Bond Trading and
  Management, p. 103-119, Octobre 2002.