Licence MIA 0708Madeleine Bonnet Algorithmique L2

1
UE Algorithmique 3semestre 3

• Dominante informatique UE obligatoire
• Dominante mathématiques UE obligatoire à choix
• Crédits et coefficients 5

2
Contrôle des connaissances

• Contrôle continu CC
• 1 épreuve écrite sur 18 points
• participation aux TD sur 2 points
• Examen E épreuve écrite de 1h30
• Note session 1 max ( E (E CC)/2)
• Note session 2 si CC gt10 alors max ( E (E
  CC)/2) sinon E
• E étant à chaque fois la note de lexamen de la
  session concernée

3
Bibliographie non exhaustive

• Initiation à lalgorithmique et aux structures de
  données J. Courtin, I. Kowarski DUNOD
• Introduction à lalgorithmiqueTh. Cormen, CH.
  Leiserson, R. Rivest DUNOD
• Méthodes mathématiques pour linformatiqueJ.
  Vélu DUNO
• Algorithmique Conception et analyse
• G. Brassard, P. Bratley MASSON
• Mathématiques pour linformatiqueA. Arnold, I.
  Guessarian MASSON
• Types de données et algorithmesC. Froidevaux,
  M-C. Gaudel, M. Soria Mc GRAW-HIL
• Construire les algorithmesPair, Schott,
  Mohr DUNOD
• Structures de données et algorithmesA. Aho, J.
  Hopcroft, J. Ullman INTEREDITIONS
• Jeux et casse-tête à programmerJ.
  Arsac DUNOD

4
Pourquoi létude des algorithmes ?

• Létude des algorithmes et des structures de
  données est fondamentale en informatique.
  Lanalyse rigoureuse a posteriori des algorithmes
  proposés permet de les valider, dévaluer leur
  complexité et parfois de justifier de leur
  optimalité
• Nous verrons comment aborder, analyser, résoudre
  un problème de façon à acquérir de bons réflexes
  grâce à une spécification précise et une analyse
  a posteriori

5
Pourquoi un peu de mathématiques ?

• Linformatique, comme toute discipline
  scientifique, fait appel aux mathématiques pour
  formaliser des concepts, modéliser des
  situations, abstraire des objets afin de pouvoir
  raisonner et étudier a priori les propriétés des
  objets manipulés (machines, programmes, systèmes,
  réseaux)
• Il faut être capable
• de sassurer quun programme se termine toujours
  
• destimer sont temps dexécution pour des valeurs
  données
• de déterminer les conditions dutilisation, de
  saturation
• Dans ce cours, les mathématiques nécessaires pour
  aborder les notions algorithmiques seront
  étudiées au fur et à mesure des besoins

6
Début du programme de lUE Algorithmique 3

• Algorithme, écriture
• Notions de base de la théorie des ensembles
• Fonctions, cardinaux, opérations, relations
• Ensembles ordonnés,
• Méthode de construction dune boucle
• Applications Recherche séquentielle puis
  dichotomique dans un vecteur
• Complexité
• Algorithmes de tri
• Récursivité applications
• Ensembles bien fondés
• Raisonnement par récurrence
• Définitions inductives
• Types abstraits

7
Algorithme

• sert à résoudre un problème défini sur un
  ensemble fini de données (éventuellement vide)
• ensemble d'opérations élémentaires
• organisé selon des règles précises
• pour chaque donnée du problème, l'algorithme
  retourne une réponse après un nombre fini
  d'étapes
• les règles doivent être précises, non ambiguës
• opérations élémentaires arithmétiques,
  logiques, transfert de données, comparaisons
• les algorithmes sont déterministes même
  résultat si même donnée

8
Écriture des algorithmes

• Aucun langage particulier nétant choisi dans ce
  cours, nous utiliserons le pseudo langage défini
  par les instructions fondamentales suivantes
• Instruction conditionnelle avec alternative
• SI test - SI
  testALORS suite dinstructions ALORS suite
  dinstructions SINON suite dinstructions
• Le test est une expression booléenne cest-à-dire
  qui prend ses valeurs dans lensemble vrai,
  faux
• Instructions de répétition
• TANTQUE testFAIRE suite dinstructions
• REPETER suite dinstructionsJUSQUA test
• POUR nombre-de-passagesFAIRE suite dinstructions

9
Notions de base de la théorie des ensembles

• Nous avons rappelé, ou donné, en cours quelques
  définitions de base de la théorie des ensembles
  qui seront utiles dans dautres cours. Voici les
  notions dont il faut connaître les définitions
• Ensembles
• Ensemble, élément appartenant à un ensemble,
  lensemble qui na aucun élément est appelé
  lensemble vide et est noté ?
• Partie ou sous-ensemble dun ensemble, inclusion
  A ? B
• Soit E un ensemble, on note P(E) lensemble des
  parties de E. Les éléments de P(E) sont des
  ensembles. Exemple E 0,1, P(E)
  0,1,E, ?. P(E) contient toujours E et ?
• Produit cartésien de deux ensembles A et B, noté
  A?B est lensemble des couples (x,y) tels que x
  ?A et y ?B. Le produit cartésien se généralise à
  une famille finie densembles

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• Opérations sur les ensembles Soit E un ensemble
  et A et B deux parties de E
• Union, intersection, différence A\B x ? E \ x
  ?A et y ? B, complémentaire, lois de Morgan
• ensembles disjoints
• Partition dun ensemble (3 propriétés à
  satisfaire)
• Applications et fonctionsf E ?F à un élément
  de E on associe un seul élément de F
• Lorsque tout élément de E a une image dans F, on
  parle en général dapplication, sinon, on définit
  le domaine de E sur lequel f est définie
• On peut aussi définir une application comme un
  triplet f (E, F, G) où G, partie de E ? F est
  le graphe de lapplication
• Dom(f) x ? E / ? y ? F, (x, y) ? G
• Im(f) y ? F / ? x ? E , (x, y) ? G
• Lensemble des applications de E dans F est noté
  FE
• application injective, surjective, bijective

11

• Cardinal dun ensemble
• Un ensemble E est fini si et seulement si il
  existe un entier n et une bijection de E vers
  n 1, ,n. Ce nombre est unique et est
  appelé le cardinal de E
• Un ensemble est dénombrable sil peut être mis en
  bijection avec N, lensemble des entiers
  naturels. Cest ainsi que lon a montré que le
  produit cartésien N ? N était dénombrable en
  exhibant une bijection qui à chaque couple
  dentiers fait correspondre un seul entier
• Opérations, relations
• Une opération binaire sur un ensemble E est une
  application de E ? E ? E on dit aussi loi de
  composition interne
• Lopération peut être associative, commutative,
  posséder un élément neutre
• Un ensemble muni dune loi de composition interne
  associative et possédant un élément neutre est
  appelé un monoïde
• Un exemple très utile en informatique le
  monoïde libre S , engendré par un alphabet S.
  Cest lensemble des suites finies formées
  déléments de S. On a lhabitude dappeler mots
  ces suites.
• Sn est lensemble des mots de longueur n et

12

• Une relation binaire R sur E est une partie de E
  ? E ou une application de E ? E ? vrai, faux
• Propriétés des relations binaires
• réflexive si ? x ? E on a x R x
• irréflexive si ? x, x ? E, x R x ? x ?
  x
• symétrique si ? x, x ? E, x R x ? x R x
  
• antisymétrique si ? x, x ? E, x R x et x R
  x? x x
• transitive si ? x, x, x ? E x R x et
  x R x ? x R x
• Une relation déquivalence est réflexive,
  symétrique et transitive
• Une relation dordre large est réflexive,
  antisymétrique et transitive
• Une relation dordre strict est irréflexive,
  antisymétrique et transitive
• Lordre est total lorsque deux éléments
  quelconques de lensemble sont comparables par la
  relation, sinon, on dit que lordre est partiel
• Lordre habituel sur les réels est total
• Lordre de divisibilité sur les entiers est
  partiel a R div b si et seulement si ? c tel
  que b a c
• Plusieurs ordres peuvent être définis sur un même
  ensemble

13
Recherche dun élément dans un vecteur
14
Recherches dans un vecteur

• Soit un ensemble E muni dun ordre total, un
  vecteur de dimension n est une application V
  1 .. n ? E (si n 0, lintervalle est
  vide)
• Le vecteur est trié si ?i ? 1 .. n-1, V(i) ?
  Vi1(si n 0 ou n 1, le vecteur est trié)

V
15
Recherche séquentielle

• Soit V 1 .. n ? E et x ? Eon cherche
  sil existe un indice i ? 1.. n tel que Vi
  x
• 1er cas, vecteur trié
• il faut chercher un indice i est tel que V1..
  i-1 lt x ? Vi .. n
• puis il faut vérifier si x Vi1 i
  n V
  1..i - 1 lt x x ? Vi..n

16

• Hypothèses ou situation générale
• les i-1 premiers éléments sont traités (1 ? i ?
  n1)
• x gt V1.. i - 1
• deux cas possibles
• i n1, cest fini, x gt V1.. n, x ? V
• i lt n1, deux cas possibles
• x ? Vi, cest fini on a trouvé i tel que
  V1.. i-1 lt x ? Vi .. n, il reste à
  vérifier si x Vi
• x gtVi, en faisant i ? i1 on retrouve
  lassertion de lhypothèse x gt V1 .. i-1

situation générale
progression vers la situation générale
17
Recherche dans un vecteur trié
SI x gt VnALORS  x nappartient pas à V 
SINON i ? 1 TANTQUE (Vi lt x) FAIRE i
? i1 on est sorti de la boucle
SI Vi x ALORS  x apparaît au rang
i  SINON  x nappartient pas à V 
Remarque on omet systématiquement les drapeaux
de fin dinstruction (FINSI, FINTANTQUE) car
lécriture de nos algorithmes est correctement
indentée donc ne présente pas dambiguïté
Cette méthode séquentielle est évidemment
maladroite
18

• 2ème cas, vecteur non triéhypothèses les i-1
  premiers éléments sont traités (1 ? i ? n1)
  x ? V1.. i-1deux cas possibles i n1,
  cest fini, x ? V1.. n V i lt n1, deux cas
  possibles . Vi x, cest fini , x ? V .
  Vi ? x, en faisant i ? i1, on retrouve
  lassertion x ? V1 .. i-1

situation générale
progression vers la situation générale

• condition initiale i 1 satisfait les
  hypothèses de la situation générale

19
Recherche dans un vecteur non trié
i ? 1 TANTQUE ((i lt n) ET (Vi ? x))
FAIRE i ? i1 SI Vi x ALORS  x
apparaît au rang i  SINON  x nappartient pas à
V On transforme facilement ce programme pour
que le résultat soit un entier 0 si x ? V,
lindice i du vecteur si x Vi
20
Comment évaluer la complexité ?
21
Mesure du coût

• Déterminer une mesure rendant compte de la
  complexité des algorithmes
• en temps dexécution, en place mémoire
• indépendamment de limplémentation (langage
  choisi, machine utilisée)
• On ne veut pas lalgorithme A, implémenté par
  le programme P sur lordinateur O et exécuté sur
  la donnée D utilise k secondes de calcul et j
  bits de mémoire
• Mais on veut sur tout ordinateur, quel que soit
  le langage utilisé, lalgorithme A1 est meilleur
  que lalgorithme A2 pour des données de grande
  taille  

22
Complexité

• Il sagit de caractériser le comportement dun
  algorithme sur lensemble Dn des données de
  taille n
• En général, la complexité dépend de la taille n
  des données
• Pour chaque exemple, nous chercherons si cette
  complexité dépend aussi de la donnée d elle-même,
  d ? Dn
• La vitesse de croissance est un indicateur de la
  complexité du problème

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Définitions, notations des mesures de complexité

• coûtA (d) complexité de lalgorithme A sur la
  donnée d d ? Dn
• Complexité au meilleur des cas coût minA (n)
  min coûtA (d), d ? Dn
• Complexité au pire des cas coût maxA (n) max
  coûtA (d), d ? Dn
• Complexité moyenne coût moyA (n) ? coûtA (d)
  proba(d)
• d ? Dn

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Comparaison des complexités

• Si deux algorithmes différents effectuent le même
  travail, il est nécessaire de pouvoir comparer
  leur complexité
• Il faut alors connaître la rapidité de croissance
  des fonctions qui mesurent la complexité lorsque
  la taille des données croît (pour une petite
  taille, lalgorithme est peu important)
• On rechercher lordre de grandeur asymptotique
  (limite lorsque n devient infini)1 ? log2n ? n
  ? n log2n ? n2 ? n3 ? 2n.

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Conclusion

• Plus la taille des données est grande, plus les
  écarts en temps se creusent
• Les algorithmes utilisables pour les données de
  grande taille sont ceux qui sexécutent en un
  temps
• constant
• logarithmique (recherche dichotomique)
• linéaire (recherche séquentielle)
• n log n (bons algorithmes de tri)
• Les algorithmes qui prennent untemps polynomial
  ne sont utilisable que pour des données de très
  petite taille
• Les progrès technologiques ne permettront jamais
  quune telle complexité soit acceptable
• Une étude plus complète de la complexité est au
  programme des prochains semestres

26
Application

• Définissons la complexité des algorithmes
  précédents de recherche dun élément dans un
  vecteur
• 1er cas vecteur trié
• 2ème cas vecteur non trié

27
Évaluation de la complexité1er cas vecteur trié

• Lopération significative est ici la comparaison
  de lélément x à un élément de V
• Le nombre de comparaisons dépend de n mais aussi
  de la donnée elle-même
• meilleur des cas si x gt Vn, on ne fait
  quune seule comparaison
• pire des cas si x Vn ou si Vn-1ltxlt
  Vnon fait alors ?? comparaisons (? au début,
  ? dans la boucle et ? en sortie de boucle)
• Il faut alors calculer la complexité moyenne

28
Complexité moyenne de la recherche séquentielle
dans un vecteur trié

• Hypothèses
• Soit q Prx ? V, V est de longueur n
• Si x ? V, Prx Vi indépendante de i ?
  Prx Vi1/n
• Si x ? V, la probabilité pour que x soit dans un
  intervalle donné ne dépend pas de lintervalle,
  cette probabilité vaut donc (1/(n1))
• Notations
• Soit Dn,0 lensemble des V où x napparaît pas
• Soit Dn,i lensemble des V où x apparaît au rang
  i

29

• Pr(Dn,0) 1- q
• pour i gt 0, Pr(Dn,i) q/n
• coût moy(n)
• Si x ? V il y a 3 tests si x V1, 4 tests si
  x V2, (n2) tests si x Vn
• Si x ? V il y 1 test si xgtVn, 3 tests si
  xltV1 ., n2 tests si Vn-1lt x lt
  Vn
• Si x ? V, coût moy(n) (1/n)
• Si x ? V, coût moy(n)

30

• Daprès les hypothèses et la formule des
  probabilités conditionnellescoût moy(n) q
  (n5)/2 (1-q)(n2)/2
• Application
• Si q ½, le coût moyen est (2n7)/4, on dit que
  la complexité est de lordre de n/2

31
Évaluation de la complexité2ème cas vecteur
non trié

• 2ème cas V non trié
• meilleur des cas ? comparaisons si lélément
  cherché est le premier du vecteur
• pire des cas ? comparaisons si x ? V
• en moyenne ? ? comparaisons si x ? V, en
  supposant les places équiprobables

32
Présentation dun algorithme

• Proposer une situation générale
• une partie du travail est déjà réalisée
• quelles propriétés sont supposées satisfaites ?
• spécifier avec précision les paramètres
• Sous la situation générale, quand a-t-on fini ?
• Progresser vers la solution
• Conditions initiales satisfaisant la situation
  générale

33
Recherche dichotomique

• Si le vecteur est trié, la recherche séquentielle
  se fait n/2 comparaisons en moyenne On peut
  considérablement diminuer cette complexité
• Méthode dichotomique
• comparer lélément x à une valeur située au
  milieu du vecteur
• si cette valeur diffère de x, continuer la
  recherche sur le demi-vecteur susceptible de
  contenir x
• Nous verrons une écriture récursive plus tard

34
Explication de lalgorithme
Partages successifs sur un vecteur trié -
situation générale 1 inf
med sup
n
V1..inf-1 lt x à explorer x lt
Vsup1..n 1 ? inf ? sup ? n

• 2 cas possibles
• inf sup, cest fini, résultat donné par Vinf
  x
• inf lt sup, on pose med (supinf)/2, 2 cas
• x ? Vmed, on pose sup ? med
• x gt Vmed, on pose inf ? med1
• conditions initiales

elles doivent satisfaire la situation générale
inf 1 et sup n
35
Écriture itérative

• Nous allons écrire une fonction dichoiter
  dichoiter (x, V, n) - où x ? E
• - V est un vecteur déléments de E
• - n est la dimension de V
• - qui rend 0 si x nappartient pas au vecteur
• - qui rend lindice du vecteur où se
  trouve, sinon

36
Fonction dichoiter ( x, V, n) inf ? 1 sup
? n res ? 0
TANTQUE inf ? sup FAIRE med ? (inf sup) DIV 2
SI x Vmed on a fini, il faut sortir de la
boucle ALORS res ? med sup ? inf - 1
SINON SI x lt Vmed ALORS sup ? med - 1
SINON inf ? med 1
resultat ? res
Remarquer comment lon force la sortie de boucle
si lon trouve lélément x
37
Évaluation de la complexité

• Il y a une comparaison de x à Vmed pour chaque
  sous-vecteur examiné
• 1ère comparaison pour un vecteur de taille n
• 2ème ... ... ... ... n/2
• ième ... ... ... ... ? et on sarrête
  quand
• n/2k-1 2, soit k ?
• complexité remarquable au plus log2 n
  comparaisons au lieu de n
• exemple n 9000 donne k ?

38
Algorithmes de tri dun vecteur
39
Tri par sélection algorithme

• On donne lalgorithme
• situation générale
• V1 .. i contient les i plus petits éléments
  triés de V
• ces éléments ont été remplacés dans V par max(V)
• cest fini si i n
• sinon, on cherche min(V) que lon place en
  Vi1 dans V on remplace min(V) par
  max(V) i ? i1 on retrouve la situation
  générale
• initialisation i 0
• exemple V 12 16 -3 6 9 10

40

• Déclarations, environnement les mêmes que pour
  le tri dichotomiqueLalgorithme va utiliser 2
  fonctions
• place de lélément minimum indmin(V, n) rend
  lindice du minimumngt0, on obtient indmin
  m, m appartenant à 1 .. n, Vm ? Vi,
  pour tout i dans 1 .. n
• valeur du plus grand élément de V maximum (V, n)
  rend un élément de Engt0, on obtient maximum
  M, M dans V1 .. n, M ? Vi pour tout i
  dans 1 .. n

41
PROCEDURE triselc(V, V, n) max ? maximum(V, n)
i ? 1 TANTQUE i lt n FAIRE debut pmin ?
indmin(V,n) Vprimi ? Vpmin Vpmin
? max i ? i 1 fin fintantque Vprim
n ? max
42
fonction indmin(V, n) rend un indice m ? 1 i ?
2 TANTQUE i ? n FAIRE SI Vm gt Vi
ALORS debut m ? i i ? i 1 fin indmin ? m
43
fonction maximum(V, n) rend un élément de E maxi
? V1 i ? 2 TANTQUE i ? n FAIRE SI maxi
lt Vi ALORS debut maxi ? Vi fin i ?
i 1 finfaire maximum ? maxi
44
Complexité du tri par sélection

• maximum
• comparaisons à une variable indicée ?
• affectations à une variable indicée
• cas favorable ? cas défavorable ?
• indmin
• comparaisons à une variable indicée ?
• triselec ? comparaisons
• maximum appelée 1 fois ? affectation (favorable)
• indmin appelée (n-1) fois ? affectations
  (défavorable)

affectations du corps de triselec
45
Tri par bulles (bubble sort)

• Algorithme
• on parcourt le vecteur à partir de la gauche
• chaque fois que lon rencontre 2 éléments
  consécutifs non ordonnés, on les permute
• en fin de parcours, le plus grand élément se
  trouve donc à droite
• situation générale initiale

n
i
Vi1 .. n trié
V1 .. i non traité, V1 .. i ? Vi1
46
Tri par bulles (suite)

• On soccupe maintenant du sous-vecteur gauche de
  1 à i
• situation locale initiale
• 2 cas
• si j i, cest finilaction i ? i-1 redonne la
  situation générale initiale
• si j lt i, 2 cas
• Vj ? Vj1 j ? j1
• Vj gt Vj1, on permute on retrouve la
  situation locale

1 j i
V1..j traité, V1..j ? Vj
Vj1..i non traité
47
PROCEDURE tri_bulle(V n) i ? n TANTQUE i gt 1
FAIRE j ? 1 TANTQUE j lt i
FAIRE SI Vj gt Vj1 ALORS
permuter (V, j, j1) j ? j1
i ? i - 1 on peut optimiser cet
algorithme, faisons le tourner sur V (1 2 3
6 5 4)
On voit que si lon ne permute pas dans la boucle
jlti alors cest fini et il est inutile de
décrémenter i
48
PROCEDURE tri_bullopt(V, n) on va utiliser une
variable booléenne i ? n atonpermute ? true
TANTQUE atonpermute FAIRE debut j ? 1
atonpermute ? faux TANTQUE j lt
i FAIRE SI Vj gt Vj1
ALORS atonpermute ? vrai permut(V, j,
j1) j ? j1
i ? i - 1 fin
49
Complexité tri_bulle

• Choisissons la comparaison pour mesurer la
  complexité
• On passe n-1 fois dans la boucle sur i
• On passe i - 1 fois dans la boucle sur j, qui
  dépend de i
• Il y a une comparaison dans cette dernière boucle
  donc

?
50
Complexité

• Tri bulles
• comparaisons ?
• affectations cas favorable ? cas
  défavorable ?
• Tri bulles optimum
• cas défavorable même complexité que tri bulles
• cas favorable lorsque le vecteur est déjà trié,
  un seul parcours de V donc ?
  comparaisons ? affectation

51
Tri par comptage

• Principe déterminer pour chaque élément de V,
  le nombre déléments qui lui sont inférieurs ou
  égaux
• Pour trouver indi (1 ? i ?n-1 )donnant la place
  de Vi dans le vecteur trié, on compare Vi à
  tous les éléments de Vi1 .. n
• Soit Vk tel que k ?i 1 .. n, 2 cas
  possibles
• Vk ? Vi incrémenter ind i de 1
• Vk gt Vi incrémenter ind k de 1

52
Exemple
53
tri_comptage (V, n, Vtrie) POUR i allant de 1
A n FAIRE indi ? 1 initialisation POUR i
allant de 1 A n-1 FAIRE POUR k allant de i1 A
n FAIRE SI Vk lt Vi ALORS indi ?
indi1 SINON indk ? indk1 POUR i
allant de 1 A n FAIRE ? ? Vi On pourrait
très bien ne pas construire Vtrie puisquon
lobtient à partir de V et du tableau ind
54
Complexité du tri par comptage

• ? affectations pour la première boucle sur i
• ? passages dans la deuxième boucle sur i
• dans la boucle sur i, k prend ? valeurs
• une comparaison dans chaque passage dans la
  boucle sur k donc ? comparaisons
• Cherchons le nombre daffectations

55
Algorithme du drapeau
1 b i r n
bleu blanc Vi .. r non traité
rouge V1 .. b-1 Vb .. i - 1
Vr1 .. n
1 ? b ? i ? r1 r ? n
Deux cas possibles

• i r1 doù Vr1..r non traité (vecteur vide),
  cest fini

• i ? r, 3 cas possibles pour Vi

• -Vi blanc
• Vi bleu
• Vi rouge

i ? i1
permut(V, b, i) i ? i1 b ? b1
permut(V, r, i) r ? r-1
56
PROCEDURE drapeau (V, n) i ? 1 b ? 1 r ? n
TANTQUE i ? r FAIRE SI blanc(Vi) ALORS i ?
i 1 SINON SI bleu(Vi) ALORS permut(V,
b, i) i ? i 1 b ? b
1 SINON permut(V, r, i) r ?
r - 1
Le nombre de permutations nest pas optimal, on
peut améliorer lalgorithme
57
PROCEDURE drapeau (V, n) i ? 1 b ? 1 r ? n
TANTQUE i ? r FAIRE SI blanc(Vi) ALORS i ?
i 1 SINON SI bleu(Vi) ALORS permut(V,
b, i) i ? i 1 b ? b 1 SINON
Vi est rouge TANTQUE (rouge(Vi) ET
rgti) FAIRE r ? r 1 permut(V, r, i)
r ? r 1
58
Récursivité
59
Récursivité

• Une définition récursive dun mot contient ce
  mot. Exemple ascendantUn ascendant dune
  personne est - soit son père - soit sa
  mère - soit un ascendant de son père ou de sa
  mère
• la mère de mon père est un ascendant de mon père,
  cest donc mon ascendant...
• Petit Larousse  ascendant parent dont on
  descend  !

60
Récursivité

• Objet défini récursivement lorsqu'il y a
  référence à l'objet lui même dans sa définition
• Pour décrire l'algorithme sur une donnée d, on
  utilise l'algorithme lui même sur un
  sous-ensemble de d ou sur une donnée plus petite
• Règles
• ne pas ré-appliquer l'algorithme sur des
  données plus longues - existence d'un test de
  terminaison

61
Exemple factorielle n !

• fact (n) n (n - 1) (n - 2) 3 2 1
• cas général fact (n) n fact (n - 1)
• cas particulier fact (1) 1 ou fact (0) 1
• Cette définition ne nous donne pas une méthode de
  calcul elle nous dit qu'on peut le faire
• Les langages de programmation autorisent en
  général la récursivité les actions nécessaires
  au calcul seront effectuées automatiquement par
  le système

62
Version récursive de n !

• Fonction factrec (n) SI n ? 1 ALORS factrec
  ? 1 SINON factrec ? n factrec (n-1)
• Comment se déroule le calcul de y ? factrec (4) ?

63
Factrec(4)

• activation 1 factrec(4)
• activation 2 4 factrec(3)
• activation 3 3 factrec(2)
• activation 4 2 factrec(1) 1
• La gestion de la mémoire se fait par pile

64
Version itérative de n !

• Cest plus compliqué
• Fonction factiter (n) f ? 1 POUR i ? 2 A n
  FAIRE f ? f i factiter ? f
• On vérifie que ça marche pour n 0 et n 1

65
Solution itérative ou récursive ?

• cela dépend de l'application,
• du coût en temps d'exécution et en place mémoire
• exemple 1 factorielle, équivalence des
  solutions itérative et récursive
• exemple 2 nombres de Fibonacci,fibo N ? N
  fibo (0) 1, fibo (1) 1 fibo (n)
  fibo(n - 1) fibo(n - 2)

66
nombres de Fibonacci version récursive

• Fonction fibrec (n) SI (n 0) OU (n
  1) ALORS fibrec ? 1 SINON fibrec ? fibrec(n -
  1) fibrec(n - 2)
• Cette méthode nécessite 2 appels récursifs
  (fonction dyadique)
• Le résultat est assez rapide pour n 5 mais
  beaucoup plus long pour n 30
• Regardons ce que fait le programme pour n 5

67
Complexité de la fonction fibrec

• Construisons larbre binaire des appels
• Le bloc F(3), qui représente presque la moitié
  des calculs, est appelé deux fois
• Les appels sont gérés dans une pile
• Cherchons combien dappels F(1) ou F(0) sont
  effectués.
• Le nombre F(n) croît exponentiellement avec n
  Cest lentier le plus proche de où

68
nombres de Fibonacci version itérative

• Cette fonction a une complexité faible comparée à
  celle de la fonction récursive mais son écriture
  nest pas immédiate, elle demande réflexion
• Fonction fiboiter (n) a ? 1
• b ? 1 POUR k ? 1 A n - 1 FAIRE b ? a b
  a ? b - a fiboiter ? b

69
Exemples dalgorithmes récursifs

• Recherche par dichotomie dun élément x dans un
  vecteur trié V de dimension n
• Nous avons déjà vu une version itérative et nous
  avons calculé la complexité qui est nettement
  meilleure que celle de la recherche séquentielle
  dans un vecteur trié

70

• La fonction va rendre une valeur booléenne
• Fonction rech (x, inf, sup, V) SI sup - inf gt
  1 ALORS med ?(supinf) DIV 2 SI x gt
  tabmed ALORS rech ? rech(x, med1,
  sup) SINON rech ? rech(x, inf, med)
  SINON rech ?((x ? tabinf) OU (x ? tabsup))

71
Tri rapide

• Basé sur le principe diviser pour régner cest
  un exemple de tri par dichotomie, effectué sur
  place
• le vecteur Vinf .. sup est à trier (inf lt sup)
• on segmente le vecteur en deux sous-vecteurs tels
  que tous les éléments du premier soient
  inférieurs à tous ceux du second
• segmentation se fait à partir dune valeur pivot,
  ici celle du premier élément

place du pivot
inf
sup
gt
??
Vinf .. place?1 ? Vplace lt
Vplace 1 .. sup
72

• La frontière entre les 2 sous-vecteurs donne la
  place définitive du pivot
• On recommence sur les 2 sous-vecteurs obtenus en
  prenant toujours le 1er élément comme pivot
• La segmentation et le placement du pivot ne
  nécessitent quun seul parcours du vecteur, ces
  opérations sont réalisées grâce à la

73

• PROCEDURE placer (V, inf, sup, place) rend
  lindice place où a été placé le pivot
  Vinfinf lt sup ?
• place ? j
• Vinf .. j?1 ? Vj lt Vj1 .. sup

74
Algorithme

• Deux marqueurs gauche et droit partent des
  extrémités du vecteur et vont lun vers lautre
• gauche part de inf et sarrête lorsquil atteint
  un élément dont la valeur est gt à celle du
  pivot
• droit part de sup et sarrête lorsquil atteint
  un élément dont la valeur est ? à celle du pivot
• on échange alors ces deux éléments
• on continue à faire progresser les marqueurs, à
  faire les échanges jusquà ce que les marqueurs
  se croisent
• quand les marqueurs se croisent, on échange les
  valeurs du pivot et de droit

75
Exemple
non
10 21 2 12 4 7 19
on ajoute une sentinelle en Vsup 1 dont la
valeur est supérieure à toutes celles du vecteur
à traiter
76

• tri_rapide (V, inf, sup) Vinf .. sup
  quelconque, rend Vinf .. sup triéSI
  infltsupALORS placer (V, inf, sup,
  place) tri_rapide (V, inf, place-1) tri_rapide
  (V, place1, sup)
• on voit la nécessité dintroduire une sentinelle
  à la position n1 (pour un vecteur de longueur n)
  
• écrire la procédure placer qui rend lindice
  place où a été placé le pivot

77

• placer(V, inf, sup, place)g ? inf1d ?
  supTANTQUE g ? d TANTQUE Vg?Vinf g ? g1
  TANTQUE VdgtVinf d ? d-1 SI
  gltd ALORS permuter(Vg, Vd) g ? g1 d ?
  d-1permuter(Vinf, Vd)place ? d

78
Evaluation de la complexité

• procédure placer
• pour n éléments dans la liste, la procédure
  compare le pivot aux n?1 autres éléments.
  Certaines comparaisons sont faites 2 fois lorsque
  les marqueurs g et d se croisent, on a alors n1
  comparaisons au lieu de n?1
• le nombre déchanges dans le cas défavorable est
  ?n/2? (cest-à-dire 3 ?n/2? affectations).
  Ceci se produit lorsque le pivot vient au milieu
  et que tous les éléments qui lui sont supérieurs
  se trouvent en début de vecteur
• procédure tri_rapide
• on donne larbre binaire des appels de la
  procédure pour lexemple précédent

79
tr(1,7)
tr(5,7)
non
tr(1,3)
tr(6,7)
tr(3,3)
tr(1,1)
tr(5,4)
tr(8,7)
tr(6,6)
Chaque appel de trirapide provoque celui de
placer sur des vecteurs de taille ? n ? 2
sous-vecteurs ont en tout au maximum n ? 1
éléments ? 4 n ? 3 ... ?
p n ? (p ? 1) ... Par
sous-vecteur, on fait au plus 1 comparaison de
plus que le nombre déléments - arbre
équilibré ? n log2(n) comparaisons - arbre
dégénéré ? ? n2 comparaisons
80
Application récursivité Tours de Hanoï

• Soient n plateaux de taille croissante (1 à n) et
  3 tiges A (arrivée) D (départ) X (auxilliaire)
• Au départ les plateaux sont empilés sur D par
  taille croissante, le plus grand en bas
• On veut placer ces plateaux, dans le même ordre,
  sur la tige A
• On ne déplace quun plateau à la fois
• On ne peut poser un plateau que sur un plateau de
  taille supérieure

81

• Soit Han (p, D, A) la procédure consistant à
  déplacer les p premiers plateaux de la tige D à
  la tige A
• On raisonne par récurrence si lon sait faire
  Han(p-1, D, A) alors on a gagné. En effet, il
  suffit deffectuer
• Han(p-1, D, X)
• Por(p, D, A) qui porte le plateau p de la tige D
  à la tige A
• Han(p-1, X, A)
• cas facile 1 seul plateau

82

• Programme tours_hanoi
• les tiges sont numérotées 0, 1 et 2
• Procédure porte (p, dep, arr)déplace le plateau
  p de la tige dep à la tige arr il y a un seul
  mouvement
• Procédure han(p, dep, arr) cette procédure
  déplace p plateaux de la tige dep à la tige arr
  SI p 1 ALORS porte (1, dep, arr) SINON han
  (p - 1, dep, 3 - arr - dep) porte (p,
  dep, arr) han (p - 1, 3 - arr - dep,
  arr)
• Par exemple, ce programme appliqué sur 15
  plateaux de la tige 0 (départ) à la tige 1
  (arrivée) serait appelé par han(15, 0, 1)
    

83
Complexité de la procédure de Hanoï

• La procédure récursive nous dit combien de
  déplacements seront nécessaires pour un jeu de p
  plateaux, soit fp ce nombre
• si p 1 alors fp 1
• sinon il faut fp-1 déplacements pour chaque
  procédure han 1 déplacement
  .... ... ... porte
• donc fp 2 fp-1 1 avec f1 1
• fp 1 ?

84
Complexité Hanoï suite...

• Pour déplacer p plateaux il faut donc ?
  mouvements
• Temps de calcul double quand on ajoute une pièce
• Inutile dessayer han(50,0,1), il faudrait 1015
  coups.
• à raison d1 coup/seconde, il faudrait 317 000
  siècles
• à raison de 1 coup/ms il faudrait 317 siècles
• Exemple de récursivité non terminale (2 appels
  récursifs différents)

85

• Calculer le polynôme P(x) an an-1 x
  an-2 x2 .. a0 xn
• données
• degré du polynôme
• valeur du réel x
• ensemble de coefficients réels ai
• signature R ? R n1 ? R (x, (a0 , a1 , ...
  an )) ? P(x)
• algorithme calcul de xi que lon multiplie par
  ai

86
Algorithme de Horner
P(x) an an-1 x an-2 x2 an-3 x3 . a0
xn an x (an-1 an-2 x an-3 x2 . a0
xn-1) an x (an-1 x (an-2 an-3 x .
a0 xn-2)) ... an x (an-1
x (an-2 x (an-3 . x (a1 a0
x))) Algorithme calculs successifs de
polynômes du premier degré q0 a0 q1 q0 x
a1 q2 q1 x a2 qn P(x) .

n?1
87
Version itérative
Fonction horner_it(n, x, a) a est un
tableau de réels de longueur n (entier), x est un
réel, le résultat est réel p ? a0 POUR i
allant de 1 à n FAIRE p ? p ? x ai
FINFAIRE horner_it ? p
88
Version récursive
Fonction horner_rec(n,x, a) a est un tableau
de réels de longueur n (entier), x est un réel,
le résultat est réel SI n 0 ALORS horner_rec
? an SINON horner_rec ? ?
89
Jeu du baguenaudier

• Une plaque contient N cases numérotées de 1 à N
• Chaque case contient initialement un pion
• On veut enlever les pions en respectant les
  règles
• il y a au plus un pion par case
• sur la case 1 on peut à tout moment
• poser un pion (sil ny en a pas)
• enlever un pion (sil y en a)
• sur la case j, 1 lt j ? N on peut
• poser ou enlever un pion sil y a un pion sur la
  case j?1 et aucun sur les cases précédentes

90
Jeu du baguenaudier suite ...

• Écrire 2 procédures récursives
• VIDER (n) qui vide les n premières cases
  lorsquelles sont pleines
• REMPLIR (n) qui remplit les n premières cases
  lorsquelles sont vides

91
TYPES ABSTRAITS
92
Types abstraits

• Pour définir un algorithme compliqué, la
  conception se fait par raffinements successifs
• La 1ère version est souvent indépendante du
  langage donc indépendante d'une implantation
  particulière En particulier, la représentation
  des données n'est pas fixée (on ne sait pas s'il
  faut représenter les données par un tableau, un
  fichier, un pointeur...)
• Les données sont considérées de manière
  abstraite, on raisonne sur des propriétés
  formalisées, c'est ce que l'on appelle les types
  abstraits de données

93
Notations

• Comment décrire les données, les opérations que
  l'on peut leur appliquer ainsi que leurs
  propriétés ?
• Pour définir un type abstrait il faut donner
• la signature du type
• nom du domaine
• autres types abstraits nécessaires
• définition de certaines opérations
• les propriétés du type qui s'expriment au moyen
  de fonctions de base
• Nous cherchons alors les structures de données
  les mieux adaptées. Elles dépendent du langage

94
Un exemple simple les booléens

• nom du domaine B
• valeurs du domaine vrai, faux
• le type est fini
• fonctions de base (ici, opérateurs logique)
• non B ? B
• et B ? B ? B
• ou B ? B ? B les propriétés de ces
  fonctions de base sont données par les tables de
  vérité

95
Un autre exemple les entiers naturels

• nom du domaine N
• valeurs du domaine en quantité infiniment
  dénombrable (il existe un processus
  dénumération)
• fonctions de base
• la (fonction) constante zéro (ou 0)
• suc N ? N suc(suc(suc(zéro))) ?
• autres fonctions de base
• préd N - zéro ? N
• égal_zéro N ? B
• add N ? N ? N

96
Propriétés données par récurrence

• ?x? N, ? y? N
• pred(suc(x)) ?
• egal_zero(0) ?
• egal_zero(suc(x)) ?
• add(x, 0) ?
• add(x, suc(y)) succ(add(x, y))
• add(x, y) ? SI egal_zero(y) ALORS x SINON
  suc(add(x, pred(y)))

97
Structures séquentielles

• Correspondent à des types qui existent dans
  presque tous les langages de programmation
• les listes linéaires sont la forme la plus
  commune dorganisation des données (traitement
  séquentiel)
• la liste est généralement dynamique on peut
  ajouter ou supprimer des éléments
• piles et files
• listes

98
Piles et Files
Domaine F FIFO (first in first out)
Domaine P LIFO (last in first out)
constante pilevide ? P empiler E ? P ?
P dépiler P pilevide ? P sommet P
pilevide ? est_vide P ? vrai, faux
constante filevide ? F enfiler E ? F ?
F défiler F filevide ? F premier F
filevide ? E est_vide F ? vrai, faux
99
Propriétés caractéristiques des piles

• ? e?E, ? p? P
• dépiler (empiler (e, p)) ?
• sommet (empiler (e, p)) ?
• est_vide (pilevide) ?
• est_vide (empiler (e, p)) ?(ces propriétés
  sont nécessaires et suffisantes)

100
Propriétés caractéristiques des files

• ?e?E, ? f? F
• est_vide (f) gt premier (enfiler (e, f)) ?
• est_vide (f) gt défiler (enfiler (e, f)) ?
• non est_vide (f) gt premier (enfiler (e, f)) ?
• non est_vide (f) gt défiler(enfiler (e, f)) ?
  
• est_vide (filevide) ?est_vide (enfiler (e,
  f)) ?(ces propriétés sont nécessaires et
  suffisantes)

101
Les listes ou les suites

• Il sagit cette fois dune suite déléments
  (éventuellement vide) où les éléments sont
  repérés par leur rang
• Lordre dans la liste est fondamental (ce nest
  pas un ordre sur les éléments eux-mêmes)
• Exemples HORTENSIA est une suite de caractères,
  elle doit être distinguée de HATERIONS qui est
  une suite contenant les mêmes caractères dans un
  autre ordre, de même que THONAIRES, ANTIHEROS,
  AEHINORST...

102
Suites

• E nom du domaine du type des éléments
  considérés
• Lensemble des suites finies est notée E
• Il est muni
• dune opération interne associative et non
  commutative la concaténation qui permet de
  construire de nouvelles suites finies par
  juxtaposition(concaténation à droite,
  concaténation à gauche)
• dun élément neutre à droite et à gauche pour
  cette opération qui est la suite vide
• Selon les types abstraits que lon veut définir
  on utilise différents jeux de fonctions de base
• Les autres types utilisés sont celui des éléments
  de E ainsi que le type booléen

103
Quelques fonctions de base sur les suites
premier saufpremier
saufdernier dernier
saufpremierdernier
début médian fin
104
Fonctions de base communes
premier saufpremier

• ? E

vide ? E ? vrai, faux
105
Premier jeu de fonctions

• premier E - e ? E
• saufpremier E- e ? E
• concg E E ? E
• Propriétés ?x? E, ?l? E
• vide ?
• vide ?(e)
• vide ?(concg(x, l))
• premier(concg(x, l))
• saufpremier(concg(x, l))

106
Deuxième jeu de fonctions

• dernier E - e ? E
• saufdernier E- e ? E
• concd E E ? E
• Propriétés ?x? E, ?l? E
• vide ?(e)
• vide ?(concd(l, x))
• dernier(concg(l, x))
• saufdernier(concg(l, x))

107
Troisième jeu de fonctions

• premier, saufprem et concd
• Propriétés ?x? E, ?l? E
• vide ?(l) ? premier(concd(l, x))
• non vide ?(l) ? premier(concd(l, x))
• vide ?(l) ? saufprem(concg(l, x))
• non vide ?(l) ? saufprem(concg(l, x))

108
Quatrième jeu de fonctions

• Dernier, saufdern, concg
• Propriétés ?x? E, ?l? E
• vide ?(l) ? dernier(concd(x, l))
• non vide ?(l) ? dernier(concd(x, l))
• vide ?(l) ? saufdern(concg(x, l))
• non vide ?(l) ? saufdern(concg(x, l))

109
Quelques analogies

• Analogie entre les fonctions et propriétés
• du type PILE et celles des jeux 1 et 2
• du type FILE et celles des jeux 3 et 4
• Exemple de mise en correspondance

P E
pilevide ? P e ? E
empiler E?P ? P cong E ?E ? E
dépiler P pvide ? P saufprem E e
? E
sommet P pvide ? E premier E e ? E
110
Exercice

• Trouver le plus long facteur gauche commun à deux
  suites peut être définbi par la fonction
  plfg E?E ? E
• Donnons une définition algorithmique par
  récurrence

111
Solution algorithmique récursive

• plfg(s1, s2) ? SI vide?(s1) ou vide?(s2) ALORS
  e
• SINON SI premier(s1) premier(s2) ALORS
  cong(premier(s1), plfg(sfprem(s1),
  sfprem(s2))) SINON e

112
Quelques définitions liées à une relation dordre
113

• Nous avons déjà défini les relations dordre
  strict, large, partiel et total
• Soit E une partie dun ensemble ordonné (E, ?)
• x ? E est un majorant de E si ?y ? E, y ? x
• Un élément y ? E qui na aucun majorant est dit
  élément maximal
• Maj(E) est lensemble des majorants de E
• On déduit que Maj(E) ? E a au plus un élément
• Si Maj(E) ? E nest pas vide, son unique
  élément est appelé maximum
• On définit de manière similaire un minorant, un
  élément minimal, le minimum et Min(E)

114
Quelque définitions

• On appelle borne supérieure x dune partie E le
  plus petit des majorants (?y ? E, y ?
  x) et (?z ? E, ((?y ? E, y ? z) ? x ? z
  ))
• On appelle borne inférieure x dune partie E le
  plus grand des minorants

115
Exemples

• N a un élément minimum mais na pas de maximum
• Soit N ordonné par la relation de divisibilité.
  Pour deux entiers quelconques,
• la borne inférieure existe toujours, cest le
  PGCD
• La borne supérieure existe toujours, cest le
  PPCM
• Les bornes sup et inf nexistent pas toujours
• c d a, b na ni borne inf
  ni borne sup a b

116
Diagramme de Hasse

• Soit une relation R , on construit son diagramme
  de Hasse en reliant par une flèche les éléments a
  et b si aR b et sil nexiste pas c tel que aR c
  et cR b
• Dans un ensemble ordonné, un élément x minore un
  élément y si lon peut passer de x à y en suivant
  les flèches du diagramme de Hasse
• Un élément x dun ensemble ordonné est maximal
  sil na pas de majorant autre que lui même

117
Exemples de diagrammes de Hasse

• 1 2 3 4 5 6Le diagramme de Hasse dun ensemble
  totalement ordonné est une chaîne
• 4 5 On lit 1 lt 2, 1 lt 5, 1 lt 4, 6 lt 3 2
  6 lt 2, 3 lt 5 etc. 1 3 Mais 1 et 3 ne sont
  pas 6 comparables, 6 et 1 non
  plus. Ces six éléments nont pas de maximum
  mais 4 et 5 sont des éléments maximaux

118
Ensembles bien fondés

• Constituent le cadre dans lequel on peut
  appliquer un raisonnement par récurrence
• Définitions
• une relation dordre sur un ensemble E est bien
  fondée sil ny a pas de suite infinie
  strictement décroissante déléments de E
• un bon ordre est un ordre total bien fondé
• Lordre naturel est un bon ordre sur N, pas sur Z
• Proposition Un ensemble ordonné (E,?) est bien
  fondé si et seulement si toute partie non vide de
  E admet au moins un élément minimal

119
Principe dinduction sur les ordres bien fondés

• Théorème Soit ? un ordre bien fondé sur E et P
  une proposition dépendant dun élément x ? E. Si
  la propriété suivante (I) est vérifiée (I) ?
  x ? E, ((? y ? x, P(y)) ? P(x))Alors ? x ? E,
  P(x)
• Démonstration Soit X x ? E/ P(x) fausse.
  Si X nest pas vide, il admet un élément minimal
  a (ordre bien fondé). Donc ? y lt a, y ? X donc
  P(y) est vraie. En utilisant (I) on en déduit que
  P(a) est vraie contradiction avec a ? X. Donc
  X est vide càd que ? x ? E, P(x) est vraie

120
Récursion et induction

• Les définitions inductives et celles par
  récurrence consistent à construire des objets
  finis à partir dautres selon des règles
• Les définitions récursives interviennent en
  informatique dans les structures de données, dans
  les programmes récursifs, les langages
  fonctionnels, les preuves de programmes
• Les démonstrations par récurrence permettent de
  raisonner sur les objets construits de cette façon

121
Premier principe dinduction sur N

• Théorème Soit P(n) un prédicat dépendant de
  lentier n. Si les deux conditions suivantes
  sont satisfaites (B) P(0) est vrai (I) ?n?
  N, P(n) ? P(n1)Alors ? n? N, P(n) est vrai
• (B) sappelle la base de la récurrence
• (I) sappelle lhypothèse dinduction

122
Démonstration

• Soit X k ? N / P(k) est faux Si X non vide,
  il admet un plus petit élément n
• Daprès (B), la base, n ? 0. Donc n-1 est un
  entier et P(n-1) est vrai.
• Par (I), hypothèse dinduction, on obtient que
  que P(n) est vrai ce qui est contradictoire. Donc
  X est vide.

123
Une autre forme de ce premier principe

• Soit n0 un entier positif ou nul, Si (Bn0)
  P(n0) est vrai et (In0) ?n? n0, ( P(n) ?
  P(n1)Alors ?n? n0, P(n) est vrai
• Exemple calcul de la somme des n premiers
  entiers

124
Deuxième principe dinduction

• Théorème Soit P(n) un prédicat dépendant de
  lentier n. Si la propriété suivante est
  satisfaite (I) ?n? N, ((?k lt n, P(k)) ?
  P(n)Alors ? n? N, P(n) est vrai
• Démonstration déjà vue pour le principe
  dinduction sur les ordres bien fondés
• Létape de base est cachée dans (I)
• Sur N? les deux principes sont équivalents

125
Un exemple de raisonnement par induction

• Tout entier n ? 2 est décomposable en un produit
  de nombres premiers
• Soit P(n) la propriété  n est décomposable en un
  produit de facteurs premiers 
• On vérifie (I) à partir de n ? 2. Supposons que
  ? k? 2, , n-1, P(k) est vrai. Deux cas sont
  possibles
• n est premier, donc P(n)
• n nest pas premier. On écrit n ab où a et b
  sont deux entiers compris entre 2 et n-1. P(a) et
  P(b) sont vraies par hypothèse dinduction donc
  n est décomposable en P(a)P(b)

126
Définitions inductives

• Très fréquentes en informatique pour définir les
  structures de données
• La définition dun ensemble X peut être de la
  forme
• (B) certains éléments de X sont donnés
  explicitement
• (I) les autres éléments sont définis à partir
  déléments appartenant déjà à lensemble X
• Exemple la partie X de N définie par
• (B) lélément ?0 X
• (I) n ? X ? n1 ? X nest autre que N tout
  entier

127
Autres exemples de définition inductive

• Monoïde libre A, engendré par un alphabet fini A
  (voir TD)
• Soit A ( , ). Lensemble D? A des mots bien
  parenthèsés défini par(B) ? ? D(I) si x et y
  sont dans D alors (x) et xy sont aussi
  dans D est appelé langage de Dyck
• voir comment se construit ce langage

128
Exemple important les arbres

• Lensemble AB des arbres binaires étiquetés sur
  lalphabet S est la partie de (S ? ?, (, ), ,
  ) définie inductivement par (B) ? ? AB
  (cest larbre vide)(I) G,D ? AB ?? r ? S , lt
  r, G, Dgt ? AB(cest larbre de racine r, de
  fils gauche G et de fils droit D)

129
Représentation graphique darbres binaires

• lta,?,?gt a
• lta,ltb,?,?gt,ltc,?,?gtgt
  a b cPour simplifier, on peut aussi
  convenir de représenter larbre lta,?,?gt par a.
  Larbre précédent sécrit alors lta,b,cgt
• lta, ?,ltb, c, ?gtgt
• lta, lta, b, cgt,d gt

130
Ne pas confondre le sommet et son étiquette

• Il se peut quun arbre ne soit pas étiqueté
• On peut le représenter linéairement en écrivant
  r pour la racine
• Ainsi, larbre étiqueté du dernier exemple lta,
  lta, b, cgt,d gt a pour structure ltr, ltr, r,
  rgt,r gt ou encoreltr,ltr,ltr,?,?gt,ltr,?,?gtgt,ltr,?,? gtgt
  

131
Arbres

• Un arbre est un ensemble de nuds organisé de
  façon hiérarchique à partir dun nud distingué
  la racine
• Cest une structure fondamentale en informatique
  répertoires des fichiers, compilation,
  expressions arithmétiques et logiques
• Une propriété intrinsèque est la récursivité dans
  les définitions, la structure et les algorithmes
  qui traitent les arbres

132
Arbres binaires

• Une racine
• Chaque nud peut avoir 0, 1 ou 2 branchesarbre
  de racine A

133
Arbres binaires (exemples)

• arbre généalogique ascendant
• tournoiLuc Marc Paul Jules Simon Louis
  Arthur Jean Luc Jules
  Louis Arthur Luc
  Arthur
  Luc

134
Les arbres généraux

• Une racine
• De chaque nud part un nombre quelconque de
  branches
• exemple arbre généalogique descendant

A
H
B
C
L
I
D
G
J
K
F
M
N
O
P
E
135
Vocabulaire

• on utilise  père    fils   frère A est
  le père de BC est le frère de BG est le fils de
  C
• Remarque dans un arbre, un nud na quun seul
  père
• Un nud sans fils est une  feuille  ou un
   sommet pendant 
• Une branche est le chemin qui joint un nud à la
  racineex la branche ACG

136

• Un arbre binaire est soit vide ?, soit défini par
  sa racine r, son sous-arbre gauche G et son
  sous-arbre droit D, (G et D sont eux-mêmes des
  arbres binaires disjoints)
• notation A lt r, G , D gt
• Le type arbre binaire est noté AB
• On peut écrire cette définition récursive sous la
  forme AB ? lt r, AB, AB gtun arbre binaire
  est soit vide, soit composé dune racine et de
  deux sous-arbres binaires

137
Quelques fonctions définies sur les arbres
binaires

• le type abstrait  arbre binaire  est défini
  avec AB lensemble des arbres binaires et S
  lensemble des nuds auxquels on peut associer
  des éléments E (arbre étiqueté)
• arbrevide (constante) ? AB
• racine AB - arbrevide ?? S
• G, D AB - arbrevide ?? AB
• contenu S ?? E
• (létiquette est ici le contenu du sommet)
• ltr, ltr, ?, ?gt, ? gt diffère de ltr, ?, ltr, ?, ? gtgt

138
Définitions

• Arbre filiformeformé de nuds qui n'ont qu'un
  seul fils, soit droit, soit gauche
• Arbre completchaque niveau est complètement
  rempli, le nombre de nuds est donc
• Arbre parfaitarbre binaire dont tous les niveaux
  sont complètement remplis sauf peut-être le
  dernier mais alors, les feuilles du dernier
  niveau sont regroupées à gauche
• Arbre localement completArbre binaire non vide
  tel que tous les nuds qui ne sont pas des
  feuilles ont 2 fils
• Peigne gauchearbre binaire localement complet
  tel que tout fils droit est une feuille

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Mesures sur les arbres

• Ces mesures sont utiles pour évaluer la
  complexité des algorithmes sur les arbres
• taille AB ? N est le nombre de
  sommets taille(Ø) 0 taille(lto, G, Dgt)
  1taille(G)taille(D)
• hauteur S ? N est le nom