Quelques rflexions sur l'enseignement de la gomtrie au collge Argumenter dmontrer Utilisation du des

1
Quelques réflexions sur l'enseignement de la
géométrie au collègeArgumenter démontrer
Utilisation du dessin

• Sylvie CoppéIUFM de Lyon

2
Évolution du contrat

• La plupart des objets géométriques sont
  construits dès lécole primaire
• Evolution du rapport institutionnel à la
  géométrie au cours du cycle de 6ème, 5ème et
  4èmene porte pas sur les objets mais de nombreux
  changements portent sur le contrat

3
Evolution porte sur

• Les types de tâches (reconnaître, construire,
  justifier, démontrer, décrire, etc)
• Lutilisation du dessin
• Les types dargumentation
• Les écrits

4
Programme du collège
Dualité
Géométrie pratique
Géométrie théorique

• - expérience, intuition
• construction, reconnaissance
• - dessin/objet matériel

• - raisonnement, déduction
• démonstration
• - dessin/outil-représentant

6ème
4ème
5ème
5
Cadre théorique dinterprétation

• Travaux de Houdement et Kuzniak sur le passage
  dune géométrie pratique à une géométrie
  théorique suite aux travaux de Gonseth
• Intuition
• Expérience
• Déduction

6
Comparaison des Géométries
7
Liens entre Intuition, Expérience, Déduction
nourrit
1)
Expérience
Intuition
structure
2)
 La déduction avance mais ne voit
pas. Lintuition voit mais navance pas. 
Évidence
renseignement issue de lintuition issu
de lexpérience
3)
Résultat dune expérience conclusion dun
raisonnement 
8
Exemple dévolution du contrat
Exercice
Prouver que (AH) et (d) sont parallèles. Justifier
la réponse.
9
Dessin/ figure

• Dessin trace matérielle sur une feuille
  représentant un objet géométrique
• Figure objet théorique
•  La figure géométrique est lobjet géométrique
  décrit par le texte qui la définit, une idée, une
  création de lesprit tandis que le dessin en est
  une représentation. (Parzysz 1988)

10
Statut du Dessin
11
Programmes

•  Les diverses activités de géométrie habitueront
  les élèves à expérimenter et à conjecturer, et
  permettront progressivement de s'entraîner à des
  justifications au moyen de courtes séquences
  déductives  (programme de 5ème)

12
Argumentation/démonstration(Duval)

• Continuité ?
• Oui car activités de raisonnement, de preuve.
  démonstration forme particulière de raisonnement
  convaincre l'autre en utilisant des arguments
• Rupture ?
• Oui sur le statut des arguments produits. Le
  statut des propositions ne dépend pas du contenu
  des propositions mais du statut théorique fixé.
  (hypothèse, théorème, définition, etc).

13
De lanalyse à la prescription

• Analyse proposée par Duval de la structure dun
  pas de déduction
• permet de comprendre comment le savoir fonctionne
  
• permet danalyser les productions des élèves
• Prescription sur la rédaction dune démonstration

14
Conséquences

• Travail sur la démonstration est devenu un
  travail sur une trace publique conforme à un
  schéma imposé
• Structure écrite figée des démonstrations
• On sait que
• Si .alors
• Conclusion
• Tâche de lélève suivre ce schéma et non plus
  chercher à résoudre des problèmes

15
Pour le professeur

• Évaluation porte trop sur la conformité à ce
  schéma et non sur le raisonnement de lélève.
• Faut-il citer les théorèmes en entier ou non ?
• Liste des propriétés
• Car ? Comme ?
• Problème du  on sait que 
• Aspect recherche de problème en retrait
• Rupture entre collège /lycée

16
Questions denseignement (1)

• Comment amener les élèves à passer dune
  géométrie pratique avec un contrat didactique
  basé sur lobservation, lutilisation des
  instruments, largumentation à partir du dessin à
  une géométrie théorique dont loutil essentiel
  est la démonstration ?
• Les professeurs sont-ils conscients de cette
  évolution du contrat ?

17
Questions denseignement (2)

• Quelles situations vont favoriser ce passage ?
• Quel travail est fait par les professeurs pour
  introduire la nécessité de démontrer ?
• Quels outils les professeurs ont -ils à leur
  disposition ?
• Comment signifier aux élèves le changement de
  contrat et comment leur faire accepter ?

18
Questions denseignement (3)

• Est-ce que le dessin est utilisé comme un outil
  par les élèves ? Et comment peut-il lêtre ?
• Est-ce quun travail est fait par les professeurs
  sur lutilisation du dessin ? En quelle classe ?
• Est ce que les professeurs sont conscients du
  statut et du rôle du dessin ?
• Rôle et statut des définitions et des théorèmes ?

19
Questions denseignement (4)

• Quelles exigences sur la démonstration
• à différents niveaux ?
• notamment sur la rédaction ?
• Quel usage et quelle distinction est fait des
  définitions et des propriétés ?
• Quelle distinction entre recherche et rédaction
  est montrée par les professeurs ?
• Quelle formation donner aux enseignants sur la
  démonstration ?

20
Des réponses Étude des manuels de 5ème

• Formulation des questions
•  Quelle règle du cours permet d'affirmer que
  .? 
•  Choisis parmi les propriétés du cours celle
  qui te permet de justifier que 

21
Mais .

• Toujours trop dexercices  fermés 
• Montrer que .
• Plutôt que des questions ouvertes
• Souvent les résultats sont trop évidents
• Confusion avec le  on sait que 

22
Exercice ouvert un exemple
Exercice
Parmi les deux rectangles EMDL et ENBK, quel est
celui qui a la plus grande aire ? Justifier la
réponse.
23
Entrée Tâches - Sortie
24
Classification des dessinsdessin singulier

• 1- Dessins respectant la description faite et les
  mesures d'angles, de longueur ou les rapports de
  longueur ainsi que les codages et indications
• 2 -Dessins faits à la règle respectant le
  parallélisme ou l'orthogonalité, les rapports de
  longueur mais pas les mesures de longueur ou
  d'angle

25
Classification des dessinsclasse de dessins

• 3 -Dessin faits à la règle sans aucune mesure
  indiquée et sans aucune indication (souvent à
  compléter)
• 4 -Dessins faits à la règle avec indication de
  parallélisme ou perpendicularité ou sur
  quadrillage ou sur papier pointé sans aucune
  mesure

26
Classification des dessins

• 5- Dessins à main levée les traits sont
  volontairement non droits pour accentuer l'aspect
  dessin sans instruments
• 6 -Dessins explicitement désignés comme faux ces
  dessins, tracés à la règle, ne respectent aucune
  indication et aucune dimension.

27
Conclusions

• En entrée, variation dun manuel à lautre et
  parfois dans un même manuel
• Soit toujours de type 1 soit 2
• Soit variable dans le manuel
• En sortie variation dans un même manuel
• Quelquefois on demande de type 1, ou 2 ou 5, cela
  dépend de lexercice

28
Conclusions (suite)

• Pour le dessin outil, cest -à-dire qui sert à
  largumentation
• Soit dessin particulier avec les mesures données,
  propriété générale demandée
• Soit figure décrite générale, propriété à
  démontrer générale, dessin à main levée demandé.
• Soit pas demandé explicitement, laissé à la
  charge de lélève.

29
Dessin faux
30
Dessin à main levée

• Intérêt pour lélève il peut reporter les
  données de lénoncé sans se soucier de
  lexactitude du tracé.
• Moins long à tracer, pas dinstruments
• Aide à la conjecture, permet de se représenter la
  situation

31
Dessin à main levée intérêt pour le professeur

• Lélève ne peut effectuer de contrôle perceptif
  simple ou instrumenté on pense que cela devrait
  le forcer à passer au raisonnement déductif.
• MAIS souvent cest cet aspect qui est privilégié
  et non laspect aide à la démonstration

32
En guise de conclusion

• Redonner une place au dessin à main levée en tant
  quoutil de recherche et de conjecture
• Ouvrir les questions des problèmes
• Favoriser la résolution de problèmes géométriques
  et les phases de recherche plutôt que les
  exigences de rédaction

33
Conclusion (suite)

• Mettre en place des activités qui permettent de
  travailler sur le statut des propositions ou sur
  le codage des dessins à côté des activités de
  démonstration
• Laisser se construire lapprentissage de la
  démonstration tout au long du collège
• Redonner une place à la démonstration en algèbre
  pour donner du sens à loutil algébrique