Cours analyse spectrale

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Cours analyse spectrale

• ESPEO 4ème année
• Philippe Ravier 2000-2001

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Précautions dusage

• Conditionnement du signal
• Test déchantillonnage
• Tests de stationnarité
• Centrage du signal
• Conditionnement de la dsp
• Zero padding
• Lissage
• Choix des échelles

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Effet du zero padding 3 sinusoïdes sur 16 points
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Spectre sans lissage
Spectre avec fort lisage
Effet dun trop fort lissage
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Classification des méthodes dAS

• Méthodes non paramétriques
• Fourier (périodogramme/corrélogramme)
• Minimum de variance (capon, MV)
• Décomposition en valeurs singulières (MUSIC,
  vecteurs propres)
• Maximum dentropie (MEM)
• Méthodes paramétriques
• Signal vu comme la filtrée dun bruit blanc par
  un modèle paramétrique AR, MA ou ARMA
• Signal vu comme une somme de sinusoïdes bruitées
  (Prony, Prony modifié, Pisarenko)

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Méthodes type  Fourier  rappel

• Cas continu sur une durée T Filtrage
  Quadration Intégration

xF(t)
xF(t)2
Fn0
2
x(t)
F(n)
n
-n0
n0
Phase de F(n)
n
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Antagonisme biais-variance, Erreur Quadratique
Moyenne
EQM Var biais2
Problème le biais dépend de la forme de la dsp
! -gt En pratique on ne peut déterminer
précisément la largeur de filtre optimale
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• Cas discret - Périodogramme moyenné

Densité spectrale de puissance Sx(m)EX(m)2
où X(m)TFDf(n)x(n) On lestime par
Overlap 50 Moyennage sur L tranches
f(n)
x(n)
L tranches
X1(m)
X2(m)
XL(m)

• Biais diminue si T augmente
• Var diminue en moyennant sur L grand

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• Cas discret - Corrélogramme

Densité spectrale de puiss. Sx(m)TFDRx(k) où
Rx(k)Ex(n)x(n-k) On lestime par
avec kltN et n-kn-k modulo 2N
Lestimation est correcte en moyenne (non
biaisée) si Rx(k) est estimée sur une
durée Supérieure au temps de corrélation. La
variance relative croit pour les retards forts.
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Estimateur de Capon (ou du minimum de variance)
Principe chercher les coefficients dun filtre
RIF qui sélectionne une fréquence f0 et
rejette les autres composantes du spectre.
y(n)xT(n).a
x(n)

• On veut y(n)1 pour x(n)e(f0)

RIF
p1 coeff a(n)

• On minimise la variance de sortie du filtre
  rEy(n)2

Matrice dautocrrélation Toeplitz
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Pb de minimisation sous contrainte minimiser r
sous la contrainte eH(f0).a1
Multiplicateur de Lagrange l, on cherche le
minr-l.contrainte
On trouve a en fonction de l quon remet dans la
contrainte doù l et aMV Résultat
et
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Estimateur spectral MV pour 1/2Tltflt1/2T

• Inconvénients
• pas une vraie psd BB PMV(f)Tr BB/(p1)
• estimation de Rp

• En pratique, on veut faire des FFT
• estimation AR des ai (Yule Walker)
• FFT sur une corrélation pondérée des ai estimés

Lien avec estimateur AR (hypothèse ak(0)1)
Moyennage sur linverse des spectres AR jusquà
lordre p Spectre MV moins bien résolu que AR
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Méthodes SVD
On suppose connaître le nombre de raies (param.
de la méthode) Adaptées pour les signaux bandes
étroites avec du BB
Autocorrélation de M sinusoïdes s noyées dans du
bruit w Rp SpWp où
et
Principe décomposition de Rp en vecteurs
propres signal et bruit
valeurs propres
l1
l2
l3
lp
l4
l
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On omet les lk du bruit
Vecteurs propres bruit
vecteurs propres signal
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• Estimateur EV (EigenValue Decomposition)

• Estimateur MUSIC (Multiple Signal Classification)

Pics très pointus en ffi Très bonne
résolution fréquentielle
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Méthodes Maximum dEntropie
Principe on cherche la dsp qui maximise
lentropie spectrale Il ny a pas de solution
analytique, on procède numériquement par
itérations
Caractéristiques

• excellent lissage de la dsp bonne séparation
  signal/bruit
• applicable pour estimer le spectre dénergie de
  signaux non stationnaires
• possibilité dintroduire un modèle (forme des
  raies, variance du bruit)
• mais délicat à implanter (instabilité numérique)

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Méthodes AR, MA ou ARMA
AR
MA
ARMA
Fourier (Périod., Corrél.)
o

o
o

o

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Interventions de lutilisateur

• Nature du filtre AR, MA ou ARMA ? Selon
  lallure du spectre

• Ordre du modèle

- Ordre trop bas lissage faible variance,
fort biais
- Ordre trop élevé fluctuations forte
variance, faible biais
Ces 2 paramètres sont liés un AR(p) est
équivalent à un MA( ) Bien choisir le modèle,
cest économiser des coefficients
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Principe on cherche les coeff. dun filtre dont
la sortie est le signal et lentrée un BB
Pré-requis
H(z)
équation aux différences
TZ
fonction de transfert
doù
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Autre pré-requis
dsp à la sortie dun filtre
Exemple du filtre AR
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Comment fait-on pour estimer les ap et bq ?
on dispose des échantillons sn et on cherche le
filtre blanchisseur A(f) de s
en
sn
ên
BB
BB
prédiction linéaire (LP)
erreur de prédiction ou  innovation 
on estime sn à partir des éch. aux instants
antérieurs
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Équations de Yule-Walker
Critère pour trouver les ap on minimise lEQM
de lerreur de prédiction
éq de Yule Walker
Écriture sous forme matricielle
coefficients du filtre blanchisseur
Pb inversion de la matrice R
algorithme rapide dinversion
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Algorithme de Levinson
Récurrence sur lordre p
Initialisation
Récurrence
On calcule les coeff du filtre de longueur p1 à
partir des coeff du filtre de longueur p
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coefficients de corrélation partielle (PARCOR)
Interprétation si on introduit les échantillons
de prédiction progressive et rétrograde
Prédiction rétrograde
n-p-1
n-p
n-p1
n-2
n-1
n
Prédiction progressive
alors le coefficient PARCOR est la covariance
normalisée des résidus de prédiction progressif
et rétrograde
Intérêt correspondent aux coefficients dune
structure de filtre en treillis pour le filtre
blanchisseur
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Exemple sur signal test
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Extensions de cette méthode

• Méthode de Burg (pour estimation spectrale AR)

Minimisation des erreurs de prédiction forward
(progressive) et backward (rétrograde) avec la
récurrence de Levinson

• Méthode de la covariance (pour estimation
  spectrale AR)

Minimisation de lerreur de prédiction forward

• Méthode de la covariance modifiée (pour
  estimation spectrale AR)

Minimisation des erreurs de prédiction forward et
backward
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Exemple sur signal test (1) - Burg
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Exemple sur signal test (2) - Covariance
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Exemple sur signal test (3) Covariance modifiée
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Estimateur de Prony

• Prony déterministe

Principe xn est la somme de K sinusoïdes
amorties
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Comparaisons

• Le périodogramme préselectionne
• un ensemble harmonique de fréquences
• La méthode de Prony estime
• les fréquences à partir des données

• AR et ARMA correspondance avec un
• modèle aléatoire
• Prony correspondance avec un modèle
• exponentiel déterministe

En pratique, on utilise une variation de la
méthode de covariance AR pour estimer les ai.
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• Prony aléatoire

Principe on minimise lEQM entre et
son modèle déterministe somme de
sinusoïdes amorties
- Problème Non Linéaire difficile - Pas de
solution analytique - Algos très lourds et effet
du bruit néfaste
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Idem en pratique
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(No Transcript)
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Signal test