Automate Cellulaire

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Automate Cellulaire

• A.C et complexité
• 2D A.C Conways Game of Life
• 1D A.C Automate Cellulaire de Wolfram

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Automate Cellulaire

• Simulation informatique qui émule les lois de la
  nature
• Cellules "agents" répondant à des stimuli selon
  des règles simples, mais collectives
• 2-d Game of Life (Conway 1970)
• 1-d Automate Cellulaire (Wolfram 1980)

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Automate Cellulaire et Complexité

• Avant 1980, on pensait que les équations
  mathématiques étaient le meilleur moyen de
  modéliser la nature
• En 1980, Stephen Wolfram proposa des modèles
  basés directement sur de simples programmes
  informatique
• Même si les règles sont très simples, le
  comportement peut être très complexe et imiter
  les phénomènes naturels

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Conway's Game of Life a cellular automaton

• Le Jeu de la Vie montre comment un automate
  cellulaire simple, gouverné par des règles de
  transition simples peut exhiber des "propriétés
  émergentes"
• Un haut degré de complexité semble être plus que
  la simple somme de ses composants
• On est tenté de faire un parallèle avec la vie
  réelle, ou les particules obéissant aux lois de
  la physique ont, au cours de l'évolution, permis
  l'émergence d'un monde complexe

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Conway's Game of Life un automate cellulaire

• Inventé par le mathématicien Conway 1970
• Les "individus vivent" sur une grille
  rectangulaire (2D)
• Un case est vide ou occupée (automate à 2 états)
• Une case a 8 voisins
• Voisinage de Moore

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Conway's Game of Life 2 ou 3 voisines pour
survivre, 3 pour naître

• A chaque génération l'état de chaque case à la
  génération suivante est fonction de son état et
  de celui des 8 cellules qui l'entourent
• n états, v voisins
• nn(v1) 22(81) 2512 règles
• Naissance
• Si 3 voisins sont vivants, naissance dans un site
  vide
• Décès
• Isolation moins de 2 voisins vivants (0 ou 1)
• Sur-population plus de 3 voisins vivants
  (4,5,6,7 ou 8)

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Conway's Game of LifeUn exemple à la main
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Conway's Game of LifeUn exemple à la main
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Conway's Game of LifeUn exemple à la main
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Conway's Game of LifeUn exemple à la main
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Conway's Game of LifeUn exemple à la main
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Conway's Game of LifeUn oscillateur et
d'autres exemples ...
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Eco-système Proie / Prédateur 

• Comportement des loups
• Reproduction 2 loups adultes côte à côte
• Nourriture le loup mange un mouton, s'il y en a
  un à côté de lui
• Le loup choisit la nourriture avant la
  reproduction
• Comportement des moutons
• Reproduction 2 moutons adultes côte à côte
• Nourriture Le mouton mange de l'herbe, s'il y
  en a à côté de lui
• Le mouton choisit la reproduction en priorité
• Mort d'un animal
• Atteint la limite d'âge
• Dépasse la durée maximal de jeûne

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Un Calculateur Universel

• On peut créer des courants de glisseurs et les
  faire interagir entre eux pour obtenir des portes
  logiques et,ou, non, comme dans un circuit
  électronique
• Les éléments de base pour construire un
  ordinateur universel (cest-à-dire capable de
  calculer toute fonction calculable) sont donc
  présents
• Il est donc possible de faire calculer les
  nombres premiers à une configuration, ou les
  coefficients du binôme ou tout ce quun
  ordinateur sait calculer

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Un Calculateur Universel

• Un automate qui permet de construire des circuit
  composé de "fils" dans lesquels se propagent des
  signaux composés chacun d'un électron et de sa
  trace
• 4 états vide , fil , électron , trace
• Règles de transitions
• Une cellule vide reste vide
• Un électron devient trace
• Une trace devient fil
• Un fil devient un électron si le nombre
  d'électrons parmi les huit cellules voisines est
  1ou 2, sinon le fil reste un fil

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Un peu d'électronique ...
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Porte logique OU
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Porte logique XOR
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Où Est L'intérêt ?

• Permet, à partir de règles simples, de faire
  émerger des phénomènes complexes
• Cet automate cellulaire en 2D est considéré comme
  une référence par les chercheurs s'intéressant à
  la vie artificielle
• il montre que des règles très simples peuvent
  permettre de mettre en évidences des
  fonctionnements non triviaux
• pouvant simuler la richesse et la diversité de la
  vie
• même si personne ne prétendra que le Jeu de la
  Vie est aussi riche que la vie

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1-D Cellular Automata

• Le Jeu de la Vie est encore trop compliqué pour
  être étudié de façon approfondie
• Stephen Wolfram introduit un AC plus simple
  (1982)
• Automate Cellulaire de dimension 1
• 1 dimension spatiale
• 2 états possibles par cellule
• Voisinage de rayon 1 (état dépend de son propre
  état et de celui de ses deux voisins)
• 28 256 Règles de transitions
• règle 22 00010110
• 111 110 101 100 011 010 001 000
• 0 0 0 1 0 1 1 0

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Avantage de lautomate cellulaire 1-D

• Dynamique visible sur une image 2-D
• 256 règles de transition seulement
• On peut examiner la dynamique pour toutes les
  règles
• K états r rayon du voisinage
• automates kk(2r1)
• Un tel système peut-il engendrer des
  comportements complexes ?
• Le réponse est  oui . Les règles conduisent à
  un état
• statique
• périodique
• chaotique
• intermédiaire, un état "complexe", létat de la
  vie biologique

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Règle 4 (0000100)010 donne 1, sinon 0

• Règle très simple
• Configuration limite
• contient des 1 isolés
• Obtenue en 1 cycle

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Règle 110 (01101110) 001,010,011,101,110 donne
1 sinon 0

• Une des plus complexes
• Membre de la Classe 4 de Wolfram
• Nombreux glisseurs (gliders) qui se propagent
  périodiquement
• Entre lordre et le chaos

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Règle 30 (00011110) 001, 100, 010, 011 donne 1
sinon 0

• Génère des configurations avec un haut degré
  daléatoire
• Exploité en cryptographie

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Un automate cellulaire en action
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Propriétés

• Auto-organisation
• Émergence de formes (pattern)
• Même si létat initial est aléatoire, les règles
   forcent  lémergence
• Comportement  Life-like 
• Disparition (die)
• Stable
• Cyclique avec une période fixe
• Expansion à vitesse constante
• Expansion et contraction irrégulières

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Classification de Wolfram4 Classes de
Comportement

• Classification proposée par Stephen Wolfram
  (1984)
• Classe 1 état limite homogène (indépendant état
  initial)
• Classe 2 état limite périodique (effet local
  des modifications)
• Classe 4 complexe (capable de computation
  universelle)
• Classe 3 chaotique
• Existe-t-il un paramètre qui détermine
  lappartenance à chaque classe ?

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Classe 2 état limite périodique
Voisinage 6 Etats 3 Règle 111443344111
http//www.irdp.ch/math-eco/articles/automa7.htm

29
Classe 4 complexe (computation universelle)
Voisinage 3 Etats 4 Règle 0201313201
http//www.irdp.ch/math-eco/articles/automa7.htm

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Classe 3 chaos
Voisinage 3 Etats 5 Règle 012344444014
http//www.irdp.ch/math-eco/articles/automa7.htm

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On the Edge of Chaos

• Concept introduit par Christopher Langton
• Etat le plus  créatif  dun système dynamique
• Aller-retour permanent entre ordre et chaos
• Problème trouver un paramètre qui caractérise
  la transition entre lordre et le chaos
• Langton propose, pour un A.C
• Probabilité quune cellule devienne active à la
  génération suivante

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On the Edge of Chaos
l0.687500 Classe 3 motif chaotique
l0.671875 structure complexe puis motif
chaotique
l0.5 Classe 4 structure très complexe
http//www.utc.fr/webva/sitevia/voir.php3?id87
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Intérêts

• Montre que même si notre univers nous apparaît
  complexe, cela n'entraîne pas que ses lois le
  sont nécessairement
• Principe du rasoir d'Occam
• minimiser ce quon fait intervenir dans une
  explication
• exploration du minimum générant la complexité
• Travail scientifique aussi important que bien
  dautres qui ne sont pas toujours aussi amusantes
  et esthétiques!