Title: Chapitre 11: Conception des systmes boucls reprsents sous forme de variables dtat
1Chapitre 11 Conception des systèmes bouclés
représentés sous forme de variables détat
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Contenu du chapitre
11.1. Introduction 11.2. Controlabilité 11.3.
Observabilité 11.4. Conception de systèmes
asservis à retour détat complet 11.5. Conception
dun observateur 11.6. Conception variable détat
avec MATLAB
6GEI630 Systèmes Asservis
R. Beguenane, UQAC, 2005/2006
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11.1. Introduction
Le domaine temporel exprimé en termes de
variables détat peut être utilisé pour concevoir
un schéma de compensation adéquat pour les
systèmes asservis.
Typiquement, nous sommes intéressés par contrôler
un système avec un signal de contrôle u(t) qui
est fonction de variables détat mesurables.
Ensuite on développe un contrôleur variable
détat qui opère à partir dinformations
mesurables. Ce type de système de compensation
est fort utile pour les systèmes doptimisation.
Cest ce quon verra dans ce présent chapitre.
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11.2. Contrôlabilité
Un système doit être complètement contrôlable et
complètement observable pour permettre une
flexibilité dans le placement de tout les pôles
du système asservi.
Un système est complètement contrôlable sil
existe un signal de contrôle u(t) qui permet le
transfert de létat initial x(t0) vers une
location désirée x(t), en un temps finie T Telle
que
Le système
est contrôlable si le déterminant de la Matrice
de contrôlabilité Pc est non nul.
4Exemple 1
Le déterminant
NOTE Donc le système est de rang n3 et ainsi
contrôlable.
5Exemple 2
Le déterminant
Le système est contrôlable.
611.3. Observabilité
Un système est complètement observable si et
seulement sil existe un temps fini T tel que la
valeur initiale de létat x(0) peut être
déterminé à partir de lhistoire y(t)
connaissant la commande u(t).
Le système
est observable si le déterminant de la matrice
dobservabilité Po est non nul.
Exemple 1
Le système est donc complètement observable.
7Exemple 2
Le système nest donc pas complètement
contrôlable ni complètement observable.
811.4. Conception de systèmes asservis à retour
détat complet
Déterminer la matrice de gain K est lobjectif de
la procédure de conception de systèmes asservis
à retour détat complet.
9Équation caractéristique
Si toutes les racines de léquation
caractéristique se trouvent à gauche du demi
plan, Le système bouclée est donc stable. En
dautres termes
À partir de létat initial x(t0)
Étant donné la paire (A,B), on peut toujours
déterminer K de sorte à placer les pôles du
système bouclé dans la moitié gauche du plan
complexe.
10Exemple conception dun système de 3ème ordre
Si
Si
Équation caractéristique
11Si nous cherchons une réponse rapide Avec un
dépassement faible
Pour z0.8 (dépassement faible) Et wn telle que
Ts1s (réponse rapide)
1211.5. Conception dun observateur
Observateur de Luenberger
L est la matrice de gain de lobservateur. Elle
est déterminé comme partie de la procédure de la
conception de lobservateur.
13La conception de lobservateur est de trouver un
observateur qui satisfait
Si le système est complètement stable, nous
pouvons toujours trouver la matrice L telle que
le signal erreur e(t) est asymptotiquement stable.
Si on tient compte de la dérivée du signal
erreur e(t)
Et sachant que
La procédure de conception de lobservateur
consiste à trouver le gain L pour satisfaire une
telle exigence.
14Exemple conception dun observateur dun système
de 2ème ordre
Le système est donc complètement observable
Supposant que lÉq. Caract. désirée est
On peut sélectionner z0.8 et wn10 pour que
Tslt0.5s.
15Ainsi lobservateur est donné par
1611.6. Conception variable détat avec MATLAB
Contrôle de la trajectoire dun satellite