Plan dchantillonnage optimal sur chanes multipostes par mthodes particulaires

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Plan déchantillonnage optimalsur chaînes
multipostes par méthodes particulaires

• Billy Amzal
• ENGREF INERIS CEREMADE
• en collaboration avec
• Eric Parent (ENGREF) et Philippe Girard (Nestlé)

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Contrôle de qualité par attribut
Échantillon à tester

• On prélève un échantillon sur un lot produit
• En fonction du nombre de défectueux trouvés, on
  prend une décision

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Optimisation en contexte Bayésien

• Cadre général
• d décision / plan déchantillonnage
• ? paramètre inconnu ? loi a priori p(?)
• y ?, d données observables ? p(y d,?)
• u(d,?,y) utilité/critère de loptimisation ( gt0
  )
• But trouver d qui maximise lutilité moyenne U

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Cas des chaînes monopostes
? proportion de défectueux
POSTE 1
Échantillon de taille n on trouve y défectueux

• Calculs explicits possibles, avec
• Loi a priori Beta sur ?
• Modèle binômial
• Décision du type rejet du lot quand Y/n gt s et
  acceptation sinon (on optimise d (n,s))
• Utilité linéaire en ?

cf Parent Girard, 1995 et 1996
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Cas des chaînes multipostes
?i proportion de défectueux au poste i
Chaîne de production industrielle en agro
alimentaire

• Si ?ni 100 échantillons sont autorisés, à
  quel(s) poste(s) faut-il les répartir ? Comment
  optimiser les décisions ?

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Choix pratiques pour lexemple

• Méthode doptimisation stochastique indépendante
  de la forme du modèle, des coûts, des lois a
  priori, des règles de décisions

• Modèle binomial

• Relation de mélange de type alimentaire

coef de pollution de lenvironnement de travail
coef de mélange, lt1
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Règle de décision

• Choisir un comportement de décision réaliste face
  aux données de léchantillonnage
• Règle de décision
• si pour un poste i, yi / ni gt si, on rejette la
  production
• sinon, on accepte
• On optimise, à coût fixé, p/r à d (ni , si)

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Coûts et utilité

• Coûts
• si rejet
• si acceptation
• Utilité opposé du coût

Coût de léch -antillonnage
Perte dimage
Coût de léch -antillonnage
Coût total
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La transformation de Müller

• On interprète U comme une distribution sur
  lespace des décisions (à 1 cste près)
• Mais U est incalculable !
• Transformer la maximisation en un problème de
  simulation de
• La marginale de h en d ? U
• on sait calculer h à une cste près ? les méthodes
  MCMC sappliquent !

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Version particulaire

• On ne simule non plus 1 chaîne MCMC mais N
  chaînes en parallèle, en sélectionnant les plus
  proches des modes et en éliminant les autres
  (type SIR)
• Recuit simulé on simule non plus h mais
• de marginale en d ? UJ, ? on simule plus
  près du mode

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Détermination de loptimum
U
U5
U20

• On dispose dun échantillon de UJ
• On trace les histogrammes des décisions d
  simulées, et on en prend le mode

d1, ,dN ?11,, ?NJ y11,,yNJ
Échantillon de hJ
Échantillon de UJ
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Exemples de résultats
Histogrammes des d simulées
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Exemples de résultats (2)
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conclusion

• On remplace un problème très difficile
  d optimisation par un problème plus facile de
  simulation
• Grande flexibilité pour intégrer les contraintes,
  la complexité du réel, lexpertise, etc
• Etude théorique difficile, nombreux réglages en
  pratique, pas de solution explicite