CSI 4506: Introduction

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CSI 4506 Introduction à lintelligence
artificielle

• Représentation et logique II

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Partie II

• Le calcul avec prédicats, PC

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Plan du Cours

• Survol
• Syntaxe
• Sémantique
• Traduction de phrases de langage naturel en
  Logique
• Lois déquivalence
• Preuve de théorèmes automatisé
• Conversion en forme clausale
• Unification
• Résolution par réfutation

• Stratégies de contrôle pour méthodes de
  résolution
• Breadth-First
• Set-of-Support
• Linear-Input Form
• Extraire des réponses de la résolution par
  réfutation

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Survol (1)

• Un prédicat est utilisé pour décrire les
  propriétés et les relations dobjets arbitraires
• Exemples block17 et table45 sont un bloc
  particulier et une table particulière
• red(block17) Le prédicat red indique que
  block17 a la propriété dêtre rouge.
• on(block17, table45) le prédicat on indique
  que block17 et table45 sont dans une relation
  telle que le block17 est sur la table45.

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Survol (2)

• Une assertion quantifiée est une assertion qui
  sapplique a une classe dobjets.
• ? ? Quantificateur Universel
• ? ? Quantificateur Existentiel
• Exemples
• ?x on(x, table45) ? red(x)
• ? x on(x, table45) ? red(x)

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Syntaxe pour PC (1)

• Objets termes
• Les termes sont construits a partir de fonctions
  (f,g,), constantes (A, B,C) et variables
  (x,y,z,)
• wffs sont construits a partir de termes,
  prédicats et quantificateurs.
• Entités de base
• Pour tout entier ngt0, un ensemble de prédicats
  darrite n
• Pour tout entier ngt0, un ensemble de fonctions
  darrite n
• Un ensemble de termes constants
• Un ensemble de termes variables

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Syntaxe pour PC (2)

• Tous les termes
• Les constantes et les variables sont des termes
• F(t1, t2,tn) est un terme si f est une fonction
  darrite n et les tis sont des termes
• Tous les wffs
• ltp(t1, t2, tn) est une assertion atomique si p
  est un prédicat darrite n et les tis sont des
  termesgt
• Les assertions atomiques
• A1 ? A2, ? An ou les Ais sont des wffs
• A1 ? A2, ? An ou les Ais sont des wffs
• ? A ou A est une wff
• A ? B et A ? B ou A et B sont des wffs
• ?x1, xn A ou A est une wff
• ?x1, xn A ou A est une wff

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Définitions

• La portée dun quantificateur dans une formule
  est la portion de la formule a laquelle le
  quantificateur sapplique
• Une variable est libre si elle nest pas dans la
  portée dun quantificateur.
• Une wff est fermée si elle ne contient pas de
  variable libre
• Un terme ou un wff sur terre (ground term) ne
  contiennent pas de variable du tout
• (Voir exemples en classe)

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Sémantique pour PC (1)

• Entailment Si un wff a la valeur T(rue) sous
  toutes les interprétations dans lesquelles chacun
  des wffs dun ensemble ? a la valeur T, alors on
  dit que ? entaille w logiquement et que w dérive
  logiquement de ? et que w est une conséquence
  logique de ?.
• Notation ? w
• (Voir exemple en classe)

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Sémantique pour PC (2)

• I est un modèle dune wff ? ( I ?) sous les
  conditions suivantes
• I p(t1,, tn) ssi ltM1(t1),M1(tn)gt ? M2(p)
• I (?1 ? ?2) ssi I ?1 et I ?2
• I (?1 ? ?2) ssi I ?1 ou I ?2
• I ? ? ssi I ? ?
• M1 assigne des valeurs du domaine, D, aux termes,
  tis, et M2 assigne a tout symbole de prédicat
  darrite n un ensemble de n-tuples.
• Linterprétation de formules quantifiée se fait
  en substituant les variables quantifiées par les
  éléments du domaines
• (Voir Exemple en Classe)

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Traduction de phrases en langage naturel en
logique

• All purple mushrooms are poisonous
• No purple mushroom is poisonous
• All mushrooms are either purple or poisonous
• All mushrooms are either purple or poisonous but
  not both
• All purple mushrooms except one are poisonous
• (Voir les traductions en Classe)

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Lois déquivalence en PC

• Même Lois que pour P
• ?x A ? ? (?x ?A)
• ? x A ? ? (? x ?A)
• (Voir exemple en classe)

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Preuve de théorème automatisée en PC (1)

• Il y a trois étapes pour la preuve de théorème
  automatisé en PC
• La conversion des formules en forme clausale
• Lunification
• La résolution par réfutation
• Nous allons discuter de chacune de ces étapes
  séparément

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Preuve de théorème automatisée en PC (2)

• Conversion en forme clausale Algorithme en 9
  étapes
• 1. Éliminer les symboles dimplication
• 2. Réduire les portées des symboles de négation
• 3. Standardiser les variables de manière à ce que
  chaque quantificateur ne sattache quà une seule
  variable
• 4. Éliminer les quantificateurs existentiels en
  utilisant une fonction Skolem. Note Importante
  Si le quantificateur existentiel de y est a
  lintérieur de la portée dun quantificateur
  universel sur x, il faut permettre la possibilité
  que lexistence de y dépend de la valeur de x.

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Preuve de théorème automatisée en PC (3)

• Conversion en forme clausale Algorithme en 9
  étapes
• 5. Conversion en format Prenex i.e., tous les
  quantificateurs universels doivent aller au début
  de la wff et la portée de chaque quantificateur
  doit sappliquer à la wff toute entière.
• 6. Mettre la matrice en CNF (Forme Normale
  Conjonctive) (en utilisant la loi de
  distributivité de manière répétée)
• 7. Laisser tomber les quantificateurs universels
  (juste pour clarifier les expressions. En fait,
  ils sont toujours la)
• 8. Éliminer les symboles ?, en coupant les
  expressions
• 9. Renommer les variables pour avoir des noms
  différents dune clause à lautre.

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Preuve de théorème automatisée en PC (4)

• Unification
• Lorsque lon prouve des théorèmes qui incluent
  des formules quantifiées, il est souvent
  nécessaire de créer une correspondance entre des
  sous expressions
• Exemple Afin dappliquer une combinaison du
  Modus Ponens et de las Spécialisation/Instanciatio
  n universelle (voir diapo suivante) à la base de
  données
  
• lt W1(A) (?x) W1(x) ? W2(x) gt
• Il est nécessaire de trouver la substitution A
  pour x qui rend W1(x) et W1(A) identiques. Ce
  processus sappelle lUnification

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Preuve de théorème automatisée en PC (5)

• Unification
• Linstanciation Universelle est une règle
  dinférence qui nous permet de substituer
  nimporte quel terme a toute apparition de
  variable quantifiée
• 1. (?x) A
• 2. A dans lequel toutes les apparitions de x
  dans A ont été remplacées par un terme
  quelconque, t
• UI x ?
  t, 1
• Une instance de substitution dune expression est
  obtenue en substituant des variables par des
  termes dans cette expression.

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Preuve de théorème automatisée en PC (6)

• Unification
• Les substitutions doivent être telles que
• Chaque apparition de variable est substitue par
  le même terme.
• Aucune variable ne peut être remplacée par un
  terme qui la contient
• Notation pour les substitutions
• terme substitue/variable a remplacer
• Voir les exemples en Classe

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Preuve de théorème automatisée en PC (7)

• Unification
• Définition Si une substitution s est appliquée à
  tous les membres dun ensemble Ei
  dexpressions, on dénote lensemble des instances
  de substitutions par Eis. On dit que lensemble
  Ei dexpressions est unifiable sil existe une
  substitution s telle que E1sE2sE3s Dans un tel
  cas, on dit que s est un unificateur de Ei
• Définition LUnificateur le plus général (mgu)
  est lunificateur le plus simple.
• (Voir exemples en classe)

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Preuve de théorème automatisée en PC (8)

• Unification
• Définition Soit p et q des expressions
  représentant des arbres. La première différence
  entre p et q correspond aux première
  sous-expressions qui différent lors de recherches
  DF faites en parallèle dans les deux arbres.
• Lalgorithme dunification est donne p. 71 de
  Manuel de cours. Avant de lappliquer, on
  transforme les deux expressions en arbres
• (Voir exemple en Classe)

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Preuve de théorème automatisée en PC (9)

• Résolution réfutation
• 1. On prend le négatif du but
• 2. On utilise les règles dinférence de
  résolution et dunification de manière répétitive
  jusqua ce que lon arrive a une tautologie ?
  Succès!
• (Voir exemple en classe)

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Stratégies de contrôle pour les méthodes de
résolution par réfutation (1)

• Nous allons étudier trois stratégies de contrôle
• Stratégie Breadth-First (BF) ? Complète mais très
  inefficace
• Stratégie du Set-of-Support ? Complète et plus
  efficace que la stratégie BF
• Stratégie Linear Input Form ? Incomplète mais
  simple et efficace

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Stratégies de contrôle pour les méthodes de
résolution par réfutation(2)

• Stratégie Breadth First
• Toutes les résolutions de premier niveau sont,
  tout dabord, calculées Ensuite, on calcule
  toutes les résolutions de second niveau, puis
  celle de troisième niveau, etc
• ? Complète mais très inefficace!!!!!
• (Voir exemple en Classe)

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Stratégies de contrôle pour les méthodes de
résolution par réfutation(3)

• Stratégie Set-of-support
• Au moins lun des parents de chaque résolution
  est sélectionné dans lensemble des clauses
  résultant de la négation du but où de leurs
  descendants. Cet ensemble sappelle lensemble de
  support (Set-of-Support)
• ? Complète et plus efficace que stratégie BF
• (Voir exemple en Classe)

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Stratégies de contrôle pour les méthodes de
résolution par réfutation(4)

• Stratégie Linear-Input Form
• Chaque résolution à au moins un parent
  appartenant à lensemble de départ.
• ? Incomplète mais simple et efficace
• (Voir exemple en Classe)

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Extraire des réponses de la résolution par
réfutation (1)

• Méthode Pn veut convertir un arbre de réfutation
  (dont la racine a la valeur NIL) en un arbre de
  preuve contenant une assertion à la racine qui
  peut être utilisée comme réponse.
• Exemple
• 1. Pour tout x et y, si x est le parent de y et y
  le parent de z alors x est le grand-parent de z
• 2. Tout le monde a un parent
• Question Existe-t-il des individus x et y tels
  que x est le grand-parent de y?

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Extraire des réponses de la résolution par
réfutation(2)

• Méthode de résolution
• 1. Convertir le texte en texte logique
• 2. Convertir le texte logique en format clausal
• 3. Construire larbre de résolution par
  réfutation
• 4. Rajouter le but à sa négation et modifier
  larbre de réfutation
• (Voir solution de lexemple en classe)