Resoluci

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Resolución de Sistemas de Ecuaciones No Lineales

• En esta clase, trataremos la resolución mixta
  simbólica y numérica de sistemas de ecuaciones no
  lineales acopladas.
• El método de rasgadura brinda también una
  solución eficiente para el tratamiento de
  sistemas de ecuaciones no lineales.
• La iteración numérica de los sistemas de
  ecuaciones no lineales puede limitarse a las
  variables de rasgadura.

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Contenido

• Sistemas de ecuaciones no lineales
• Iteración de Newton
• Iteración de Newton con rasgadura
• Iteración de Newton de sistemas de ecuaciones
  lineales

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Sistemas de Ecuaciones No Lineales Ejemplo I
4
Sistemas de Ecuaciones No Lineales Ejemplo II
Vista esquemática
Vista topológica
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Sistemas de Ecuaciones No Lineales Ejemplo III
q
?p
q Caudal
?p Caída de presión
? ?p sign(q) q2 / k2
6
Sistemas de Ecuaciones No Lineales Ejemplo IV
7
Sistemas de Ecuaciones No Lineales Ejemplo V
?
8
Iteración de Newton I
f(x) 0
x ? ? n f ? ? n
Sistema de ecuaciones no lineales
x 0
Vector inicial
x i1 x i - Dx i
Dx ? ? n
Fórmula de iteración
Dx i H(x i )-1 f(x i )
H ? ? n ? n
Incremento
Matriz Hessiana
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Iteración de Newton Ejemplo I
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Iteración de Newton II
Cálculo del incremento
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Iteración de Newton con Rasgadura I
p2 100 p0 1 fS (q1 ,p1 ,p2 ) 0 fI (q2 ,p0
,p1 ) 0 fII (q3 ,p0 ,p1 ) 0 q1 - q2 - q3 0
?
?
Elección
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Iteración de Newton con Rasgadura II
?
13
Iteración de Newton con Rasgadura III
14
Iteración de Newton Ejemplo II
15
Iteración de Newton Ejemplo III
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Iteración de Newton en Sistemas Lineales
Ax b
Sistema lineal
? f(x) Ax b 0
? H(x) ?f(x)/ ? x A
? ADx Ax b
? Dx x A-1b
? x 1 x 0 (x 0 A-1b) A-1b
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Conclusiones

• El método de rasgadura es igualmente apto para el
  uso con sistemas lineales y no lineales.
• La iteración de Newton en un sistema de
  ecuaciones no lineales conduce internamente a la
  resolución de un sistema de ecuaciones lineales.
  La matriz Hessiana de este sistema de ecuaciones
  lineales sólo necesita ser determinada para las
  variables de rasgadura.
• La iteración de Newton puede también utilizarse
  muy eficientemente para la resolución de sistemas
  lineales en muchas variables ya que converge en
  un sólo paso (con el cálculo correcto de la
  matriz H(x)).
• En la práctica, la matriz H(x) generalmente se
  aproxima de manera numérica en lugar de
  calcularse analíticamente.
• De todas maneras, las técnicas de manipulación
  simbólica de fórmulas pueden usarse para obtener
  expresiones simbólicas de los elementos de la
  matriz Hessiana.