Procesos de Nacimiento y Muerte

1
Procesos de Nacimiento y Muerte
Estado estacionario
2
Procesos de Nacimiento y Muerte

• Los PNM son un caso especial de una cadena de
  Markov en donde
• El estado es un número entero mayor o igual a
  cero (el número de estados puede ser finito o
  infinito). Por este motivo, para identificar un
  estado basta usar un número entero.
• Las únicas transiciones que existen, son desde el
  estado Ek a los estados Ek1 o Ek-1, si estos
  estados existen.

3
Análisis Estacionario
Recordando Para un proceso de nacimiento y
muerte se cumple se cumple
Donde Q, en forma matricial, es igual a
Este sistema de ecuaciones se denomina ecuaciones
de balance global.
4
Procesos de Nacimiento y MuerteEstado
Estacionario

• En estado estacionario, la EBG se reduce a

5
Procesos de Nacimiento y MuerteEstado
Estacionario

• Luego

6
Procesos de Nacimiento y MuerteEstado
Estacionario

• La ecuación 5 se puede visualizar de la forma

Flujo saliente Flujo entrante
7
Procesos de Nacimiento y MuerteEstado
Estacionario
8
Procesos de Nacimiento y MuerteEstado
Estacionario
9
Procesos de Nacimiento y MuerteEstado
Estacionario

• Reordenando
• Sea gk la siguiente expresión

10
Procesos de Nacimiento y MuerteEstado
Estacionario

• Reconociendo gk en la EBG 6)
• Luego

11
Procesos de Nacimiento y MuerteEstado
Estacionario

• Además, la segunda parte de la ecuación 5
  establece que
• Lo que implica que

l1
?-10
l0
m
m
m 0
1
0
2
12
Ecuación de Balance Local (EBL)

• La ecuación anterior corresponde a una Ecuación
  de Balance Local (EBL), es decir

?
?
?
13
Procesos de Nacimiento y MuerteEstado
Estacionario

• Luego según EBL

?
?
?
k-1
k
k
?
?
?
k
k1
k1
14
Procesos de Nacimiento y MuerteEstado
Estacionario

• Resolver el conjunto de ecuaciones de balance
  local es más fácil que resolver el conjunto de
  EBG, debido a que en cada ecuación intervienen
  menos variables.
• Las EBG son siempre válidas. Las EBL no siempre
  son válidas, en el caso de los PNM se demostró su
  validez. Ej encontrar un caso en donde n se
  cumplen las EBL
• Entonces, se cumple que
• Para k 0 , k 1

15
Procesos de Nacimiento y MuerteEstado
Estacionario

• Por inducción se obtiene

• De esta ecuación se aprecia que dado un valor
  para se pueden obtener los demás ,

16
Procesos de Nacimiento y MuerteEstado
Estacionario

• La ecuación 9), usando ?0 1, permite encntrar
  valores de ?k, , kgt0, no normalizados, es decir,
  que no corresponden a probabilidades, ya que su
  suma no es igual a 1.
• Sin embargo, en la solución normalizada los
  valores de ?k, kgt0, mantienen la misma proporción
  entre sí que la existentes en los valores no
  normalizados.

• Condición de normalización

17
Procesos de Nacimiento y MuerteEstado
Estacionario

• Luego reemplazando la condición de normalización
  en la ecuación obtenida para pk se obtiene

• Esta ecuación permite obtener p0, en función de
  datos y parámetros conocidos del PNM. Nótese que
  para que las probabilidades de la ecuación 9
  tengan sentido, p0 debe ser un valor
  estrictamente mayor que 0.

18
Procesos de Nacimiento y MuerteEstado
Estacionario

• Observando la ecuación 10), se ve que para tener
  p0gt0, se debe cumplir que
• se puede ver que esta sumatoria converge sólo si
  existe k0, tal que (?k/µk)lt1 para kgt k0 ,ya que
  en ese caso S1 está acotada por

19
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
20
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte

• Caso M/M/1
• Distribución de nacimientos Exp (?k)
• Distribución de muertes Exp (?k)
• Nº de Servidores 1
• Capacidad de carga ?
• Población ?

21
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte

• Caso M/M/1

El modelo es el siguiente Para que el sistema
sea ergódico
22
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Caso M/M/1
l
l
l

0
1
2
3
m
m
m

• Diagrama de transición de estados para M/M/1

23
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Caso M/M/1

• En general, la solución de pk y p0 viene dada por
  la expresión

24
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte

• Solución caso M/M/1

Para este sistema en particular, la solución es
algebraicamente sencilla, es decir La
obtención de pk es inmediata.
25
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte

• Solución caso M/M/1

Respecto de p0, reemplazando en --
26
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte

• Solución caso M/M/1

• Se define ?, la utilización, como
• Reescribir p0 y pk en función de ?

27
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/1 Número medio de clientes

• Una medida importante en un sistema de filas es
  el número medio de clientes en el sistema, el
  cual, para el caso de la M/M/1, está dado por la
  relación

28
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/1

• Número medio de clientes

29
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/1

• El tiempo medio de permanencia en el sistema
  (T) corresponde a otra medida característico del
  sistema de especial interés para el usuario.

30
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/1

• Para este tipo de sistema otra medida de
  importancia es la probabilidad de que hayan más
  de k usuarios en el sistema, es decir

31
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/1

• Evaluando para este caso en particular, se
  obtiene

32
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte

• Caso M/M/
• Tenemos
• Distribución de nacimientos Exp (?k)
• Distribución de muertes Exp (?k)
• Nº de Servidores
• Capacidad de carga ?
• Población ?

33
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte

• Caso M/M/

El modelo es el siguiente Para que el sistema
sea ergódico
34
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Caso M/M/
l
l
l
l
l
l


k-2
k-1
k
k1
0
1
2
3
m
3m
2m
(k1)m
km
(k-1)m

• Diagrama de transición de estados para M/M/

35
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte

• Solución caso M/M/

Para este sistema en particular, la solución de
pk está dada por la siguiente expresión resolv
iendo la productoria se obtiene
36
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte

• Solución caso M/M/

Respecto de p0 se tiene Por definición de
la exponencial
37
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte

• Solución caso M/M/

• Reemplazando p0 en la expresión de pk, se llega
  a una expresión estructuralmente idéntica a la
  distribución de Poisson, lo que facilitará la
  obtención de otras medidas

38
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/ Número medio de clientes

• Una medida importante en un sistema de filas es
  el número medio de clientes en el sistema, el
  cual, para el caso de la M/M/, está dado por el
  valor medio de la Poisson

39
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/

• El tiempo medio de permanencia en el sistema
  (T) corresponde a otra medida característica del
  sistema de especial interés para el usuario y
  aplicando la ley de Little...

40
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte

• Caso M/M/m
• Tenemos
• Distribución de nacimientos Exp (?k)
• Distribución de muertes Exp (?k)
• Nº de Servidores m
• Capacidad de carga ?
• Población ?

41
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte

• Caso M/M/m
• ?k ?
• ?k min k? , m?

Para que el sistema sea ergódico
42
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Caso M/M/m
l
l
l
l
l
l


m-2
m-1
m
m1
0
1
2
3
m
3m
2m
mm
mm
(m-1)m

• Diagrama de transición de estados para M/M/m

43
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte

• Solución caso M/M/m

El plan es resolver en 2 partes Resolveremos
para 0 ? k lt m y k ? m
44
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte

• Solución caso M/M/m con 0 ? k ? m

• En este caso, la productoria queda así
• Lo que implica que

45
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte

• Solución caso M/M/m con k ? m

• Para este caso, la productoria queda
• Y el resultado es

46
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte

• Solución caso M/M/m

Si consideramos nuevamente la utilización, pero
con número de servidoresm, se obtiene lo
siguiente
47
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte

• Solución caso M/M/m

Resolviendo Para resolver más fácilmente lo
haremos por términos Sea Sabemos que
48
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte

• Solución caso M/M/m

Así ?k (para k lt m) queda dado por
49
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/m
Así ?k (para k gt m) queda dado por
50
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte

• Solución caso M/M/m

Una forma más compacta de escribir esta expresión
es la siguiente
51
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/m

• pk para m1

52
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/m

• pk para m3

53
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/m

• pk para m10

54
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/m Número medio de clientes

• Tomando rl/mm, se tiene

55
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/m

• Número medio de clientes

56
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/m
Número medio de clientes
57
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/m

• El tiempo medio de permanencia en el sistema
  (T) corresponde a otra medida característica del
  sistema de especial interés para el usuario.

58
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/m

• En este tipo de sistema otra medida importante es
  la probabilidad de que al llegar un usuario deba
  unirse a la fila, es decir, la probabilidad de
  que hayan más de m usuarios en el sistema. Esto
  está dado por

59
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/m

• Reemplazando y resolviendo...

60
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte

• Caso M/M/1/K
• Tenemos
• Distribución de nacimientos Exp (?k)
• Distribución de muertes Exp (?k)
• Nº de Servidores 1
• Capacidad del sistema K
• Población ?

61
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Caso M/M/1/K

• El modelo de este sistema, se realiza en base al
  modelo M/M/1, descontinuando los arribos cuando
  el sistema está lleno.
• Por las características del sistema, siempre es
  ergódico.

62
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Caso M/M/1/K

• Diagrama de transición de estados para M/M/1/K

l
l
l
m
m
m
63
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/1/K

• Mientras se esté dentro de la capacidad, se
  comportará como una M/M/1, pero para capacidades
  mayores no será posible, En expresiones es

64
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/1/K

• Ahora es necesario obtener p0

65
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/1/K

• Resolviendo

66
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/1/K

• Finalmente

67
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/1/K Número medio de clientes

• Tomando rl/m, se tiene

68
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/1/K Número medio de clientes
69
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/1/K Número medio de clientes

• Se puede verificar que si , se obtiene
  el número medio de clientes correspondiente a la
  M/M/1.

70
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/1/K

• Mediante la Ley de Little, se obtiene el tiempo
  medio de permanencia en el sistema

71
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte

• Caso M/M/m/m
• Tenemos
• Distribución de nacimientos Exp (?k)
• Distribución de muertes Exp (?k)
• Nº de Servidores m
• Capacidad de l sistema m
• Población ?

72
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Caso M/M/m/m

• El modelo de este sistema, se realiza en base al
  modelo M/M/m, descontinuando los arribos cuando
  el sistema está lleno.
• Por las características del sistema, siempre es
  ergódico.

73
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Caso M/M/m/m

• Diagrama de transición de estados para M/M/m/m

l
l
l
m
2m
mm
74
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/m/m

• Mientras se esté dentro de la capacidad, se
  comporta como una M/M/m, pero no puede estar en
  un estado mayor a m. Matemáticamente

75
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/m/m

• Ahora p0

76
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/m/m

• Finalmente

77
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/m/m

• Importante es en este tipo de sistema la
  probabilidad de que los m servidores estén
  ocupados, es decir, la probabilidad de pérdida de
  un cliente. Es llamada la fórmula de pérdida de
  Erlang (Erlang Loss Formula) y analíticamente es

78
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte

• Caso M/M/1//H
• Tenemos
• Distribución de nacimientos Exp (?k)
• Distribución de muertes Exp (?k)
• Nº de Servidores 1
• Capacidad del sistema ?
• Población H

79
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte

• Caso M/M/1//H

80
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Caso M/M/1//H
l
Hl
(H-1)l
m
m
m

• Diagrama de transición de estados para M/M/1//H

81
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte

• Solución caso M/M/1//H

El plan es resolver en 2 partes Resolveremos
para 0 ? k ? H y k gt H, Se sabe que pk para
k gt H es cero
82
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte

• Solución caso M/M/1//H con 0 ? k ? H

83
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte

• Solución caso M/M/1//H con k gt H

84
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte

• Solución caso M/M/1//H

85
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte

• Solución caso M/M/1//H

Reemplazando, pk queda dado por
86
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/1//H

• pk para H50 y r0.8

87
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/1//H

• pk para H50 y r0.8

88
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/1//H

• pk para H50 y r0.8

89
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/1//H

• Una medida importante en un sistema de filas es
  el número medio de clientes en el sistema, para
  el caso de la M/M/1/H, está dado por la relación

90
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/1//H

• Número medio de clientes

91
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/1//H

• El tiempo medio de permanencia en el sistema
  (T) corresponde a otra medida característica del
  sistema de especial interés para el usuario.

92
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte

• Caso M/M/m/K/H
• Distribución de nacimientos Exp (?k)
• Distribución de muertes Exp (?k)
• Nº de Servidores m
• Capacidad del sistema K
• Población H

93
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Caso M/M/m/K/H

• El tamaño del buffer es menor que el tamaño de la
  población y mayor que el nº de servidores, es
  decir
• Si un cliente llega al sistema cuando ya hay K en
  el sistema, éste se pierde.

94
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Caso M/M/m/K/H

• Por lo tanto se pueden definir los parámetros
  como sigue

95
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Al haber k usuarios en el sistema, la tasa de
llegada solo es producida por los usuarios que no
se encuentran en el sistema, es decir H-k
Caso M/M/m/K/H
Al haber k usuarios en el sistema, los cuales
pueden ser atendidos cada uno por un servidor, la
tasa de salida total es producida por los
usuarios que encuentran en el sistema.
Al haber k usuarios en el sistema, de los cuales
solo m pueden ser atendidos simultáneamente, la
tasa de salida total es la suma de las tasas de
atención de los m servidores
96
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Caso M/M/m/K/H
H?
(H-1)?
(H-m2)?
(H-m1)?
(H-m)?
(H-K1)?

2
0
1
m-2
m-1
m
m1
k-1
k

µ
(m-1)µ
mµ
mµ
mµ
2µ
97
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Solución caso M/M/m/K/H

• Para resolver el sistema, se consideran dos
  regiones

98
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Ejemplo caso M/M/m

• Sistema de Servidores
• La tasa media de arribos es de 0,8 cliente/s.
• La tasa media de atenciones es de 1,0 cliente/s.
• Se desea una probabilidad mayor que 0,44 de tener
  todos los servidores desocupados.

99
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Ejemplo caso M/M/m

• Por lo tanto la utilización será mr0.8
• La condición a satisfacer es

Para m 1 tenemos p0 0,2 Para m 2 tenemos p0
0,42857143 Para m 3 tenemos p0 0,44715447
100
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Ejemplo caso M/M/m

• De donde se obtiene un m de al menos 3 para que
  el sistema cumpla con las necesidades impuestas.

101
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Ejemplo caso M/M/1/K

• DIMENSIONAMIENTO DE UN BUFFER
• Se tienen paquetes con distribución de tamaño
  exponencial de largo promedio de 1200 bits.
• La línea posee una capacidad de 2400 bps
• Los arribos tienen una tasa media de 1
  paquete/segundo.
• Se desea tener una probabilidad de bloqueo de a
  lo más 0.001.

102
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Ejemplo caso M/M/1/K
Tasa media l1
Tasa media m
S1
Exp(l)
Buffer capacidad K-1
103
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Ejemplo caso M/M/1/K

• Tasa media de servicio
• 2400 bps / 1200 bits 2
• Por lo tanto la utilización es r0.5
• La condición a satisfacer es

104
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Ejemplo caso M/M/1/K

• De donde se obtiene un k de al menos 9 para que
  el sistema no diverja.
• Qué pasa si se aumenta la capacidad a 15?
• Según la relación anterior, se obtiene una
  probabilidad de bloqueo

105
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Ejemplo caso M/M/1/K
106
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Ejemplo caso M/M/1/K
107
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Ejemplo caso M/M/1/K

• Se observa que la probabilidad de bloqueo decrece
  exponencialmente conforme aumenta la capacidad
  del sistema.
• En particular, se ve que pB es 1 para k0, no hay
  espacio en el sistema, por lo que no se reciben
  paquetes.

108
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Ejemplo caso M/M/1//H

• Dimensionamiento de población de un Servidor
• Cuál es la máxima población a la cual se puede
  asignar a un mismo servidor de manera que durante
  más del 20 del tiempo en promedio no este
  atendiendo a ningún usuario? .
• Datos
• La tasa media de arribos es de 4 cliente/s.
• La tasa media de atenciones es de 20 cliente/s.

109
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Ejemplo caso M/M/1//H

• Por lo tanto se requiere que p0 gt 0.2

110
Ejemplos de procesos de Nacimiento y Muerte
Ejemplo caso M/M/1//H

• De donde se obtiene un H menor o igual que 5 se
  logra que el sistema cumpla con la restricción
  impuesta.

111
Análisis Transitorio M/M/1
t?t
t

• Se tiene que, por Teorema de Probabilidades
  Totales

y
112
Análisis Transitorio
Además
113
Análisis Transitorio
Donde,

• Es la Ecuación de Balance Global en estado
  transiente, para todo estado k?0.

• Es la Ecuación de Balance Global en estado
  transiente, para el estado k0.

114
Análisis Transitorio
Y donde,
Es la relación de conservación de probabilidades.
115
Análisis Transitorio
Recordando que, para una Cadena de Markov
cualquiera

• Se cumple que

Donde, para un PNM se tiene que
Lo cual coincide con la solución anterior.
116
Análisis Transitorio de M/M/1

• Ejemplo Una fila M/M/1

• Es un PNM con
• tasa de arribo l
• tasa de salida m
• N(t) es el número de clientes en el sistema
• N(0)i

117
Análisis Transitorio de M/M/1
Para obtener la distribución de la probabilidad
en el periodo transiente se tiene que resolver el
sistema de ecuaciones

• Es decir se busca un expresión del tipo
• Pk(t)f(k,t)

118
Análisis Transitorio de M/M/1

• Para obtener esta expresión se usan las
  transformadas z y s. La transformada z se usara
  porque los estados son discretos y la
  transformada s porque el parámetro del tiempo es
  continuo.
• Entonces se parte con la definición de la
  transformada z

Ahora si se multiplica la k é-sima ecuación
diferencial por zk y luego se suman todas la
ecuaciones de k1 hasta infinito, se obtiene lo
siguiente
119
Análisis Transitorio de M/M/1
Usando la propiedad de la derivada nos permite
remover la derivada de la suma obteniendo lo
siguiente
Esta parte se parece a la definición de P(z,t)
pero le falta el termino P0(t). Por esto se suma
y resta P0(t) a esta expresión.
120
Análisis Transitorio de M/M/1
Continuando con la transformación
También se suma y resta P0(t) a esta otra
expresión para obtener la transformada z.
121
Análisis Transitorio de M/M/1
Continuando con la transformación
Esta expresión tiene todos los términos de la
definición pero está multiplicada con un z
adicional. Por esto, se transforma a ?P(z,t)z.
122
Análisis Transitorio de M/M/1
Continuando con la transformación
A esta expresión le falta un factor de z y los
termino P0(t) y P1(t) para obtener la
transformada z. (P(z,t) P0(t)-P1(t)) m/z.
123
Análisis Transitorio de M/M/1
Por lo tanto la expresión final resulta
Ahora ocupando la ecuación de borde
Se pueden eliminar algunos términos . . .
124
Análisis Transitorio de M/M/1
Por lo tanto la expresión resulta
Arreglando esta expresión se llega a
(1)
Para poder resolver esta ecuación diferencial
parcial se usa la transformada de Laplace . . .
125
Análisis Transitorio de M/M/1
Def. de la transformada de Laplace
Aplicando la trasformada de Laplace a la ecuación
(1) y usando la propiedad de la derivada
126
Análisis Transitorio de M/M/1
Se obtiene la siguiente ecuación . . .
Despejando P(z,s) . . .
127
Análisis Transitorio de M/M/1
Ahora qué pasa con las condiciones iniciales .
. .
Pk(0) es la condición inicial de la M/M/1 la cual
indica el nivel de llenado de la fila en t0.
Dado que este nivel de llenado i es conocido
128
Análisis Transitorio de M/M/1
Esto implica que . . .
Incorporando esto en la expresión de P(z,s) da
(2)
129
Análisis Transitorio de M/M/1
Por lo tanto ya está casi listo para encontrar
Pk(t). Lo que falta es encontrar la función
desconocida P0(s) y aplicar las transformadas
inversas z y s para obtener Pk(t). Dado que este
es un análisis bastante largo y mecánico se
omite. Pero el concepto general a seguir para
encontrar P0(s) es encontrar los ceros del
denominador de la ecuación (2) y dado que la
fracción tiene que converger en la región z?1
para todo Re(s) ? 0 el numerador también tiene
que ser cero para estos valores de z.
130
Análisis Transitorio de M/M/1
La distribución de la probabilidad en función del
tiempo es
Donde
y
k?-1
131
Métodos de Cálculo de M/M/1

• Probabilidad que ocurra el evento N(t)n
  n0,1,2... es
• (año 1953)

Siendo Ik(x) la función modificada de Bessel de
orden k
132
Métodos de Cálculo de M/M/1

• Obtener N(t) o el valor medio de N(t) significa
  calcular una sumatoria infinita de funciones de
  Bessel......
• Se hace evidente utilizar métodos alternativos
• Métodos
• aproximación por M/M/1 con estados finitos
• Función Q (Función Circular de Cobertura)
• Transformada discreta de Fourier (FFT)

133
Métodos de Cálculo de M/M/1

• Aproximación por M/M/1 con estados finitos

• La idea es calcular los valores buscados para una
  fila M/M/1 con estados finitos y luego hacer
  tender la cantidad de estados a infinito (o
  suficientemente grandes)
• Se ha comprobado que la diferencia entre los 2
  modelos arrojan valores muy cercanos
• La expresión resultante consta de expresiones
  trigonométricas, donde el límite resulta una suma
  de Reimann aproximándose a una integral
• Por ende, resulta equivalente a una integración
  numérica de una integral...

134
Métodos de Cálculo de M/M/1

• Aproximación por M/M/1 con estados finitos

• El largo medio de la fila (número en el sistema)
  en
• el tiempo t
• partiendo del estado i
• con r lt 1 rl/m

con
135
Métodos de Cálculo de M/M/1

• Aproximación por M/M/1 con estados finitos

• La funcion m(t,i) es relativamente estable y los
  integrandos poseen buen comportamiento
• Para el caso de i0 se logra un error absoluto de
  10-7 para rlt0.85
• Existen otras expresiones para m(t,i) que no usan
  funciones trigonométricas, sin embargo, ésta es
  mejor para obtener cálculos numéricos por el
  rango de integración y los integrandos se
  comportan uniformemente.

136
Métodos de Cálculo de M/M/1

• Función Q (Función Circular de Cobertura)

• Una manera de evitar la sumatoria infinita de
  Bessel es ocupar la Función Q, muy utilizada en
  análisis de cobertura de radares y teoría de
  comunicaciones....

• La Función de Cobertura Circular es 1 -
  Q(a,b)
• La Función Generalizada de Q se utiliza en este
  caso

137
Métodos de Cálculo de M/M/1

• Función Q (Función Circular de Cobertura)

• Si a(2mt)1/2 y b(2lt)1/2, entonces

• Entonces

138
Métodos de Cálculo de M/M/1

• Función Q (Función Circular de Cobertura)

• Recordando (1) (Fc. con Bessel)

• Mezclando (8) con (1). se obtiene

139
Métodos de Cálculo de M/M/1

• Función Q (Función Circular de Cobertura)

• En 2 se realizaron pruebas computacionales para
  comparar las ecuaciones de Pn(t) (Bessel v/s Q) y
  se obtuvo que la ecuación (9) (Fc Q) es 7 veces
  más rápida con la misma presición.
• Se calcularon 120 valores de Pn(t) con 5
  decimales de presición, variando t desde 0.1 a
  12.0 con pasos de 0.1.

140
Métodos de Cálculo de M/M/1

• Transformada discreta de Fourier (FFT)

• En 3 se discute que el cálculo de Pn(t) usando
  la Función Q presenta problemas para los valores
  de t que son relativamente grandes comparados con
  1/l o 1/m, lo cual es muy importante en equipos
  de comunicaciones store-and-forward
• Los problemas radican en la representación
  numérica de algunos términos (overflow y
  underflow) y por ende es mejor calcular los
  términos directamente en vez de multiplicar los
  terminos individualmente
• Para esto se ocupa la transformada discreta
  inversa de Fourier para calcular una aproximación
  de la secuencia

tal que el elemento k-ésimo sea
141
Métodos de Cálculo de M/M/1

• Transformada discreta de Fourier (FFT)

• La serie puede ser truncada a los (2M1) términos
  tal que cuando t es evaluado en 2pn/N
  n0,1,....,N-1 , la serie puede ser convertida en
  una relación de Transformada Discreta de Fourier

142
Métodos de Cálculo de M/M/1

• Transformada discreta de Fourier (FFT)

• Aún persisten algunos problemas con los términos
  exponenciales dado que pueden valores muy grandes
  para los computadores. Esto puede ser solucionado
  al escalar cada lado de la ecuación por el valor
  e-(lm)t

• Así, el primer término exponencial de la derecha
  nunca es positivo
• El cálculo de Pn(t) es estable, sin overflow ni
  underflow
• Se han calculado con valores de t1000 o 10000 (l
  1.0, m desde 0.1 a 0.9), 4 decimales de
  precisión, M255
• Aunque se requiere una ejecución de FFT para cada
  t, esto permite calcular Pn(t) para todo n
  relevante.

143
Métodos de Cálculo de M/M/1

• Bibliografía

• 1J.Abate, W.Whitt Calculating Time-Dependent
  Performance Measures for the M/M/1 Queue. IEEE
  Trans. Commun. Vol 37 No 10, October 1989
• En 1 existen punteros a otros papers donde se
  muestran las otras medidas relevantes de la
  M/M/1.
• 2 Jones, Cavin, Johnston An efficient
  computation procedure for evaluation of M/M/1
  transient state occupancy probabilities IEEE
  Trans. Commun. Vol COM-28 pp. 2019-2020. 1980
• 3 M. Ackroyd M/M/1 Transient State Occupancy
  Probabilities Via the Discrete Fourier
  Transform. IEEE Trans. Commun. Col COM-30, No 3,
  March 1982.

144
Procesos de Nacimiento y Muerte

• Existencia de probabilidades estacionarias
• La probabilidad de estar en el estado k en estado
  estacionario puede definirse como
• Gráficamente

Tiempo esperado que el sistema permanece en
estado k
Tiempo esperado de retorno al estado k
145
Procesos de Nacimiento y Muerte

• Podemos ver que si queremos que existan
  probabilidades estacionarias, será necesario que
  los estados del sistema tengan tiempo esperado de
  retorno finito. Es decir que exista la
  probabilidad de retornar al estado k, y que el
  tiempo de retorno esperado sea finito (estados
  recurrentes positivos)
• En forma intuitiva podemos decir que la condición
  para que esto ocurra (se vuelva) es que la tasa
  de transición desde el estado k al estado k1 sea
  menor a la de transición de k1 a k, a partir de
  algún estado k0

?
k
?
?
gt
k
k1
?
k1
146
Procesos de Nacimiento y MuerteEstado
Estacionario

• Resolviendo para k0

l1
?-1
l0
m
m
m 0
1
0
2
147
Procesos de Nacimiento y MuerteEstado
Estacionario

• Resolviendo para k1

• Se puede ver que para cada k se cumplirá que