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Controladores P, PI, PID En un lazo de control,
como el que se muestra en la figura 1, un
controlador automático compara el valor real de
la salida de la planta (C ) con la entrada de
referencia (R ), determina la diferencia y
produce una señal de control que reducirá esta
desviación.
Controlador Proporcional (P) Este es el más
simple de los controladores. La acción de control
proporcional relaciona la salida del controlador
u(t) con la señal de error e(t) mediante una
ganancia ajustable, la cual puede calcularse para
satisfacer ciertas condiciones de diseño. La
ecuación que define su funcionamiento es la
siguiente u(t)Kc?e(t)bias (1) Al
transformarla por el método de Laplace se tiene
la siguiente función de transferencia para el
controlador GcKc (2)
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Controlador Proporcional Integral (PI) La acción
de control de un PI se describe mediante la
siguiente ecuación Como se puede ver, este
controlador tiene dos parámetros ajustables la
constante proporcional (Kc) y el tiempo integral
(ti). Mientras esté presente el término del error
el controlador se mantiene cambiando su
respuesta, porque va integrando el error para
minimizarlo. En la medida que la constante de
tiempo integral tome valores menores, la acción
integral se acentúa. Al transformar la ec (3) por
el método de Laplace se obtiene la siguiente
función de transferencia para el controlador
Donde se puede aprecia que el controlador PI
añade al sistema un polo en el origen y un cero
sobre el eje real. El polo en el origen aumenta
el tipo del sistema y por lo tanto mejora
drásticamente el error. Sin embargo, este
controlador tiende desmejorar la respuesta
transitorio.
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Controlador Proporcional Derivativo (PD) La
acción de control de un PD se describe mediante
la siguiente ecuación Como se puede ver, este
controlador tiene dos parámetros ajustables la
constante proporcional (Kc) y la rapidez de
derivación (td). La acción derivativa tiene como
propósito anticipar hacia dónde va el proceso
mediante la observación de la velocidad de cambio
del error. Al transformar la ec (5) por el método
de Laplace se obtiene la siguiente función de
transferencia para el controlador
El controlador PD añade al sistema un cero sobre
el eje real, lo cual mejora la respuesta
transitoria. Sin embargo, no afecta la respuesta
permanente porque no cambia el tipo del sistema.
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Controlador Proporcional Integral Derivativo
(PID) El controlador PID presenta una salida
compuesta por una parte proporcional al error,
otra a la integral del error y otra a la
variación del error. Tiene tres parámetros
ajustables la constante proporcional (Kc), el
tiempo integral (ti). y el tiempo derivativo
(td). La ecuación que define su funcionamiento es
la siguiente Al transformarla por el método de
Laplace se tiene la siguiente función de
transferencia para el controlador Desde este
punto de vista, el controlador agrega un polo en
el origen, el cual aumenta el tipo del sistema y
por lo tanto afecta directamente la precisión.
Además, añade dos ceros sobre el eje real (reales
o complejos conjugados) los cuales mejora la
parte transitoria de la respuesta.
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A continuación se muestra el efecto de los
distintos controladores estudiados sobre un
sistema cuya función de transferencia a lazo
abierto es
En primer lugar se muestra el LGR del sistema con
un controlador proporcional
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Se estudiaron tres posibilidades con este
controlador
La ubicación de los polos dominantes deseados se
puede verificar en los gráficos del LGR, la
respuesta del sistema para cada uno de los casos
se presenta a continuación
Respuesta del sistema controlado con
controladores P
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De la misma forma se estudió el efecto de la
adición de un controlador PI y un controlador PD
sobre el LGR del sistema y sobre la respuesta. En
primer lugar se muestra el efecto de un PI con
Gc0.18(s8)/s, donde la ubicación del cero se
estableció por ensayo y error, la ganancia se
calculó para que el polo dominante fuera s-0.5
(respuesta más rápida)
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A continuación se muestra el efecto de un PD con
Gc16.5(s8), donde la ubicación del cero se
estableció por ensayo y error, la ganancia se
calculó para que el polo dominante fuera s-11.8
(respuesta más rápida)
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• Métodos de entonación de PIDs
• Métodos de Ziegler-Nichols El objetivo de estos
  métodos es obtener un PID que garantice que la
  relación entre el segundo y el primer pico
  positivos de la respuesta del sistema controlado
  sea menor a 0.25, por ello se les llama reglas de
  entonación del Quarter Decay Ratio
• 1er Método de Ziegler-Nichols (Kcr y Pcr)
• Para aplicar este método se debe hallar la
  ganancia crítica y el periodo crítico del sistema
  a lazo cerrado, ya sea de forma experimental o
  utilizando el LGR o el criterio de Routh.
• Los parámetros del controlador en función de la
  ganancia crítica (Kcr) y el periodo crítico (Pcr)
  se calculan según se muestra en la tabla 1.

Tabla 1. Parámetros Ziegler-Nichols I
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• 2do Método de Ziegler-Nichols
• Se basa e la aproximación de la curva de
  respuesta del sistema de control a lazo abierto a
  un sistema de primer orden con retardo, tal como
  se muestra en la figura 2, donde el modelo del
  sistema sería de la forma

Figura 2
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Para obtener la curva se debe suministrar al
sistema de control una perturbación de tipo
escalón entre el controlador y el actuador. El
lazo debe estar desconectado para que se
identifique el modelo de la planta a lazo abierto
incluyendo el medidor y el actuador. Otra forma
de leer el parámetro T consiste en ubicar en la
curva el tiempo correspondiente al 63.2 del
valor final, tal como se muestra en la figura 3.
Figura 3
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Los parámetros del controlador en función de la
aproximación a la respuesta de un sistema de 1er
orden con retardo se calculan según se muestra en
la tabla 2.
Tabla 2. Parámetros Ziegler-Nichols II