Analizador de la transformada de Haar desde un punto de vista topolgico

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Analizador de la transformada de Haar desde un
punto de vista topológico

• Procesamiento de Imágenes digitales
• Curso 2002/2003

J. Roberto Moreno Guerra Fco. Javier Rojas
Guerrero José Luis Salas Espina Ricardo Toro Llano
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Índice
1. Introducción.
2. Nuestro trabajo.
3. La transformada de Haar.
4. Propiedades de la transformada de Haar.
5. Conclusiones e investigación.
6. Bibliografía y documentación.
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1. Introducción.

• Usaremos para nuestro estudio imágenes
• Binarias.
• De dimensión 8x8.

• El analizador no admite imágenes en escala de
  grises.

• Nuestra investigación se centra en el análisis
• de transformadas de líneas rectas.

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1. Introducción.

• Gracias a las propiedades de las transformadas, y
  en particular de las transformadas
  bidimensionales se pueden conseguir mejoras,
  restauraciones, compresiones, codificaciones y
  descripción de imágenes.
• Usos de la transformada de Haar
• Compresión de datos de señales no estacionarias.
• Extracción de aristas.
• Compresión de imágenes.

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2. Nuestro trabajo.

• Diseño de un analizador de imágenes usando la
  transformada de Haar en Matlab.
• Usar dicho analizador en
• Compresión de imágenes.
• Comportamiento topológico de las imágenes frente
  al ruído.

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3. La transformada de Haar.

• Propiedades
• Lineal.
• Real.
• Muy rápida (de orden O(N) ).
• Se basa en una clase de matrices que cumplen
• Son ortogonales (traspuesta inversa).
• Sus valores son 0 ó potencias de dos.

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3.- La transformada de Haar.

• Distribución de píxeles

Píxeles más significativos (los de mayor valor)
Píxeles menos significativos (los de valor más
pequeño)
T
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3. La transformada de Haar.

• Linealidad
• ? Se basa en sumas, restas y divisiones.
• ? Supongamos dos números a y b vecinos.
• ? Transformada que sustituye a y b por su media
  (m) y su diferencia (d)
• ? Idea Si a y b están cercanos almacenar su
  diferencia es más eficiente.

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3. La transformada de Haar.

• Linealidad
• ? Con este método no perdemos información,
  podemos recuperar a y b así
• ? Podemos realizar este procedimiento
  invirtiendo una matriz 2x2 (en este caso).
• ? Esta es la idea que utiliza la transformada
  de Haar.

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3. La transformada de Haar.

• Algoritmo.
• ? Paso 1

? Calcular las medias para cada pareja
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3. La transformada de Haar.

• Algoritmo.
• ? Paso 1

Vector original
Vector que llevamos calculado
? Calcular las diferencias
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3. La transformada de Haar.

• Algoritmo.
• ? Paso 2

Media

Diferencias
Permanece igual!!
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3. La transformada de Haar.

• Algoritmo.
• ? Paso 3

Media

Diferencia
Permanece igual!!
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3. La transformada de Haar.

• ? Todas estas transformaciones sucesivas
  aplicadas a un vector se pueden ver de forma
  matricial

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3. La transformada de Haar.

• ? Todas estas transformaciones sucesivas
  aplicadas a un vector se pueden ver de forma
  matricial

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3. La transformada de Haar.

• ? Todas estas transformaciones sucesivas
  aplicadas a un vector se pueden ver de forma
  matricial

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3. La transformada de Haar.
Matriz de Haar
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3. La transformada de Haar.

• Luego, las transformaciones se pueden realizar
  aplicando las fórmulas
• Esta es la llamada transformada rápida de Haar.
• Es de orden O(N log N).

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3. La transformada de Haar.

• Ejemplo

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3. La transformada de Haar.

• ? Ejemplo
• ? Aplicar el algoritmo anterior por filas a la
  matriz M

M
H1
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3. La transformada de Haar.

• ? Ejemplo
• ? Aplicar el algoritmo anterior por columnas a
  la matriz H1

H1
N
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3. La transformada de Haar.

• Ejemplo
• ? De esta forma obtenemos la nueva matriz N que
  representa a la imagen

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4. Propiedades de la transformada de Haar.

• Aplicaciones
• Compresión de imágenes.
• Extracción de aristas.

• Con un algoritmo rápido esta transformada puede
  ser más eficiente en cuanto a la compresión de
  datos.

• Esta transformada no ha recibido últimamente
  demasiada atención, debido a las mejoras que se
  consiguen con otras transformadas, aunque éstas
  sean más complejas.

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5. Conclusiones e investigación.

• Número de iteraciones del algoritmo.
• Compresión de imágenes.
• ? Comportamiento topológico frente al ruído.

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5. Conclusiones e investigación.

• Número de iteraciones
• ? Para una imagen de 8x8 el número máximo de
  iteraciones es 3.

n1
n2
n3
n4
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5. Conclusiones e investigación.

• Número de iteraciones
• ? Ejemplo para n4 iteraciones.

Imagen original
Imagen codificada
Imagen obtenida
No se recupera la imagen original!!
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5. Conclusiones e investigación.

• Compresión
• ? Obtenemos la nueva imagen N mediante el
  algoritmo de medias y diferencias visto a partir
  de la matriz original M.
• ? Eliminamos información innecesaria de la
  matriz N.
• ? Se reconstruye la imagen original M.

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5. Conclusiones e investigación.

• Compresión

Elegir una d tal que los valores de la matriz N
que sean menores que dicha d toman
automáticamente el valor 0.

• Ejemplo

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5. Conclusiones e investigación.

• ? Compresión - ejemplo

Elegimos d 0
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5. Conclusiones e investigación.

• ? Compresión - ejemplo
• ? Se obtiene la imagen original a partir de la
  matriz N

Comprimida al 6
Se mantiene la topología!!
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5. Conclusiones e investigación.

• Compresión - ejemplo
• ? Si aumentamos el número de iteraciones

n2
Imagen original
11
n4
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No conserva la topología!!!
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5. Conclusiones e investigación.

• ? Comportamiento topológico frente al ruído.
• ? Si no hay pérdida de información, la imagen se
  recupera en su totatidad junto con el ruido que
  ya tuviese.

? Ejemplo con pérdida de información
Ruido
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5. Conclusiones e investigación.

• ? Comportamiento topológico frente al ruído.

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Con 1 iteración
Imagen original
Imagen transformada
Imagen obtenida
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5. Conclusiones e investigación.

• ? Comportamiento topológico frente al ruído.

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Con 3 iteraciones
Imagen original
Imagen obtenida
Imagen transformada
A más iteraciones, menos se conserva la topología
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5. Conclusiones e investigación. (Resumen)

• Para imágenes 8x8 sólo es posible aplicar 3
  iteraciones.
• Comprimiendo una imagen, la topología se mantiene
  hasta la iteración 2.
• Para imágenes con ruido y sin pérdida de
  información, la topología se mantiene hasta la
  iteración 3.
• Para imágenes con ruido y con pérdida de
  información, la topología se conserva sólo con 1
  iteración.

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6. Bibliografía y documentación.

• ?Gonzalez, R.C. y Woods, R.E. Procesamiento de
  Imágenes Digitales. Addison-Wesley, 1992.
• http//www.iro.umontreal.ca/pigeon/science/ondele
  ttes/Haar/Haar.html
• http//amath.colorado.edu/courses/4720/2000Spr/Lab
  s/Haar/haar.html
• http//ikpe1101.ikp.kfa-juelich.de/briefbook_data_
  analysis/node113.html
• http//www.owlnet.rice.edu/elec539/Projects99/NSJ
  S/project1/
• http//perso.wanadoo.fr/polyvalens/clemens/transfo
  rms/