Title: Analizador de la transformada de Haar desde un punto de vista topolgico
1Analizador de la transformada de Haar desde un
punto de vista topológico
- Procesamiento de Imágenes digitales
- Curso 2002/2003
J. Roberto Moreno Guerra Fco. Javier Rojas
Guerrero José Luis Salas Espina Ricardo Toro Llano
2Índice
1. Introducción.
2. Nuestro trabajo.
3. La transformada de Haar.
4. Propiedades de la transformada de Haar.
5. Conclusiones e investigación.
6. Bibliografía y documentación.
31. Introducción.
- Usaremos para nuestro estudio imágenes
- Binarias.
- De dimensión 8x8.
- El analizador no admite imágenes en escala de
grises.
- Nuestra investigación se centra en el análisis
- de transformadas de líneas rectas.
41. Introducción.
- Gracias a las propiedades de las transformadas, y
en particular de las transformadas
bidimensionales se pueden conseguir mejoras,
restauraciones, compresiones, codificaciones y
descripción de imágenes. - Usos de la transformada de Haar
- Compresión de datos de señales no estacionarias.
- Extracción de aristas.
- Compresión de imágenes.
52. Nuestro trabajo.
- Diseño de un analizador de imágenes usando la
transformada de Haar en Matlab. - Usar dicho analizador en
- Compresión de imágenes.
- Comportamiento topológico de las imágenes frente
al ruído.
63. La transformada de Haar.
- Propiedades
- Lineal.
- Real.
- Muy rápida (de orden O(N) ).
- Se basa en una clase de matrices que cumplen
- Son ortogonales (traspuesta inversa).
- Sus valores son 0 ó potencias de dos.
73.- La transformada de Haar.
Píxeles más significativos (los de mayor valor)
Píxeles menos significativos (los de valor más
pequeño)
T
83. La transformada de Haar.
- Linealidad
- ? Se basa en sumas, restas y divisiones.
- ? Supongamos dos números a y b vecinos.
- ? Transformada que sustituye a y b por su media
(m) y su diferencia (d) -
- ? Idea Si a y b están cercanos almacenar su
diferencia es más eficiente.
93. La transformada de Haar.
- Linealidad
- ? Con este método no perdemos información,
podemos recuperar a y b así -
- ? Podemos realizar este procedimiento
invirtiendo una matriz 2x2 (en este caso). - ? Esta es la idea que utiliza la transformada
de Haar.
103. La transformada de Haar.
? Calcular las medias para cada pareja
113. La transformada de Haar.
Vector original
Vector que llevamos calculado
? Calcular las diferencias
123. La transformada de Haar.
Media
Diferencias
Permanece igual!!
133. La transformada de Haar.
Media
Diferencia
Permanece igual!!
143. La transformada de Haar.
- ? Todas estas transformaciones sucesivas
aplicadas a un vector se pueden ver de forma
matricial
153. La transformada de Haar.
- ? Todas estas transformaciones sucesivas
aplicadas a un vector se pueden ver de forma
matricial
163. La transformada de Haar.
- ? Todas estas transformaciones sucesivas
aplicadas a un vector se pueden ver de forma
matricial
173. La transformada de Haar.
Matriz de Haar
183. La transformada de Haar.
- Luego, las transformaciones se pueden realizar
aplicando las fórmulas - Esta es la llamada transformada rápida de Haar.
- Es de orden O(N log N).
193. La transformada de Haar.
203. La transformada de Haar.
- ? Ejemplo
- ? Aplicar el algoritmo anterior por filas a la
matriz M
M
H1
213. La transformada de Haar.
- ? Ejemplo
- ? Aplicar el algoritmo anterior por columnas a
la matriz H1
H1
N
223. La transformada de Haar.
- Ejemplo
- ? De esta forma obtenemos la nueva matriz N que
representa a la imagen
234. Propiedades de la transformada de Haar.
- Aplicaciones
- Compresión de imágenes.
- Extracción de aristas.
- Con un algoritmo rápido esta transformada puede
ser más eficiente en cuanto a la compresión de
datos.
- Esta transformada no ha recibido últimamente
demasiada atención, debido a las mejoras que se
consiguen con otras transformadas, aunque éstas
sean más complejas.
245. Conclusiones e investigación.
- Número de iteraciones del algoritmo.
- Compresión de imágenes.
- ? Comportamiento topológico frente al ruído.
255. Conclusiones e investigación.
- Número de iteraciones
- ? Para una imagen de 8x8 el número máximo de
iteraciones es 3.
n1
n2
n3
n4
265. Conclusiones e investigación.
- Número de iteraciones
- ? Ejemplo para n4 iteraciones.
Imagen original
Imagen codificada
Imagen obtenida
No se recupera la imagen original!!
275. Conclusiones e investigación.
- Compresión
- ? Obtenemos la nueva imagen N mediante el
algoritmo de medias y diferencias visto a partir
de la matriz original M. - ? Eliminamos información innecesaria de la
matriz N. - ? Se reconstruye la imagen original M.
285. Conclusiones e investigación.
Elegir una d tal que los valores de la matriz N
que sean menores que dicha d toman
automáticamente el valor 0.
295. Conclusiones e investigación.
Elegimos d 0
305. Conclusiones e investigación.
- ? Compresión - ejemplo
- ? Se obtiene la imagen original a partir de la
matriz N
Comprimida al 6
Se mantiene la topología!!
315. Conclusiones e investigación.
- Compresión - ejemplo
- ? Si aumentamos el número de iteraciones
n2
Imagen original
11
n4
13
No conserva la topología!!!
325. Conclusiones e investigación.
- ? Comportamiento topológico frente al ruído.
- ? Si no hay pérdida de información, la imagen se
recupera en su totatidad junto con el ruido que
ya tuviese.
? Ejemplo con pérdida de información
Ruido
335. Conclusiones e investigación.
- ? Comportamiento topológico frente al ruído.
22
Con 1 iteración
Imagen original
Imagen transformada
Imagen obtenida
345. Conclusiones e investigación.
- ? Comportamiento topológico frente al ruído.
33
Con 3 iteraciones
Imagen original
Imagen obtenida
Imagen transformada
A más iteraciones, menos se conserva la topología
355. Conclusiones e investigación. (Resumen)
- Para imágenes 8x8 sólo es posible aplicar 3
iteraciones. - Comprimiendo una imagen, la topología se mantiene
hasta la iteración 2. - Para imágenes con ruido y sin pérdida de
información, la topología se mantiene hasta la
iteración 3. - Para imágenes con ruido y con pérdida de
información, la topología se conserva sólo con 1
iteración.
366. Bibliografía y documentación.
- ?Gonzalez, R.C. y Woods, R.E. Procesamiento de
Imágenes Digitales. Addison-Wesley, 1992. - http//www.iro.umontreal.ca/pigeon/science/ondele
ttes/Haar/Haar.html - http//amath.colorado.edu/courses/4720/2000Spr/Lab
s/Haar/haar.html - http//ikpe1101.ikp.kfa-juelich.de/briefbook_data_
analysis/node113.html - http//www.owlnet.rice.edu/elec539/Projects99/NSJ
S/project1/ - http//perso.wanadoo.fr/polyvalens/clemens/transfo
rms/