S

1
Un extraño paseo de lamano de MöbiusMario
Fioravanti
Klein
Gauss
Euler
Möbius
2
Referencias
Barr, Stephen, Experiments in Topology, Dover,
New York, 1964. Blanco, Miguel Ruiz, Andrés
Corchete, Abilio, Taller de Matemáticas, Junta de
Extremadura, Consejería de Educación y Juventud,
Mérida, 1998. Polthier, Konrad, Imaging maths -
Inside the Klein bottle, Plus Magazine 26, 2003,
http//plus.maths.org/issue26/features/mathart/ind
ex.htmlkleinBottle_anim Weeks, Jeffrey, The
shape of space, Marcel Dekker, New York,
1985. Rodríguez, J., Un paseo por la topología en
la red, http//www.ual.es/jlrodri/Topgen2/introdu
ccion.html The MacTutor History of Mathematics
Archive, http//www-history.mcs.st-and.ac.uk/hist
ory/index.html
3
Temas de esta charla

• Topología Möbius Listing
• Experimentos con cintas y cruces de Möbius
  (trabajo del público)
• Otras superficies curiosas Klein
• Geometría curvatura Gauss
• Coloreando mapas
• Los puentes de Königsberg (Grafos) Euler
• Libros para pasar un rato agradable

4
Un paseo por la Tierra
Si partimos de un lugar de la Tierra y avanzamos
sin desviarnos, al cabo de un tiempo volveremos
al punto de partida.
5
Si dos personas parten en direcciones
perpendicula-res y van dejando en su camino una
marca de hilo, una de color azul y la otra de
color rojo, comprueban que en algún momento sus
caminos se han cruzado.
6
Si la Tierra no fuera una esfera, podría ocurrir
que las dos personas que parten en direcciones
perpendiculares vuelven al punto de partida, pero
sus caminos no se cruzan?
Podría ocurrir que una persona camina sin
desviarse y retorna al punto de partida, pero
cabeza abajo?
7
Topología
La topología es una rama fundamental de las
Matemáticas que estudia las propiedades de un
objeto que se conservan por deformación o
estiramiento.
La redondez de una circunferencia no es una
propiedad topológica.

8
geometría cualitativa tiene agujeros?
tiene borde? está formada por varias
componentes?
no tiene borde
tiene borde
no tiene borde, tiene un agujero
9
tiene tres agujeros
Topológicamente un cubo es equivalente a una
esfera


Y una taza es equivalente a un donut
10
Podría ocurrir que una persona camina sin
desviarse y retorna al punto de partida, pero
cabeza abajo?
August F. Möbius (1790-1868)
Superficies de una sola cara (o no orientables)
Astrónomo y matemático. Alumno de Gauss.
Johann B. Listing (1808-1882)
11
La cinta de Möbius
M. C. Escher (1898-1972) http//www.mcescher.com/

Una obra de teatro estrenada en París, en mayo de
2007
12
Experimentos con bandas de Möbius
1. Con una tira de papel construimos un
cilindro. Cuántas caras tiene? Cuántos
bordes tiene?
2. Con una tira de papel construimos una cinta de
Möbius. Cuántas caras tiene? Cuántos
bordes tiene?
3. Cortamos el cilindro por la línea central.
Cuántas superficies se obtienen? Con cuántas
caras y bordes?
13
más experimentos con bandas de Möbius
4. Cortamos la banda de Möbius por la línea
central. Cuántas superficies se obtienen? Con
cuántas caras y bordes?
5. Usamos una tira de papel con dos líneas de
puntos y construimos una cinta de Möbius.
Cortamos por las líneas. Qué se obtiene?
Hemos obtenido alguna banda de Möbius?
14
Experimentos con cruces de Möbius
1. Con una cruz (con una línea en el medio)
unimos las aspas opuestas formando dos cilindros.
Qué características topológicas tiene la nueva
superficie? Si cortamos por la línea central,
qué se obtiene?
2. Con otra cruz similar, unimos los dos pares de
aspas opuestas formando bandas de Möbius.
Qué características topológicas tiene la nueva
superficie? Si cortamos por la línea central,
qué se obtiene? Compara el resultado con el
de otros asistentes.
15
más cruces
3. Usamos ahora la cruz que tiene un par de aspas
divididas en tres partes. Unimos el par de aspas
con una sola línea formando un cilindro y el par
de aspas con dos líneas formando una banda de
Möbius. Cortamos por las líneas, empezando por la
banda de Möbius. Qué se obtiene?
16
Lo imposible, posible
El folio sorprendente Con un folio y tijeras (sin
usar pegamento) construye de una sola pieza la
superficie que se muestra en el dibujo
El cilindro con asa Podrías ahora construir esta
figura (esta vez tienes que pegar dos bordes).
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Representaciones planas
El cilindro
A
A
B
B
La cinta de Möbius
B
A
A
B
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Otras superficies
El toro
A
A
A
A
A
A
La botella de Klein
A
A
19
Felix Klein (1849-1925)
La botella de Klein

• Nació el 25-4-1849 (52 22 432)
• Teoría de funciones
• Geometrías no-euclideanas
• Relación entre geometría y álgebra

A
A
A
A
20
Cortando una botella de Klein
21
Más sobre la topología del toro
El toro no tiene borde, tiene dos caras y tiene
un agujero.
Si una superficie no tiene agujeros y dibujamos
una circunferencia se divide en dos partes o
componentes conexas. Si comenzamos a trazar otra
circunferencia que cruza la primera tendremos que
volver a cruzar la primera circunferencia.
Si la superficie tiene un agujero, podemos
dibujar una circunferencia que no la divide en
dos componentes conexas. Podemos trazar otra
circunferencia que corta a la primera solo en un
punto.
Si viviésemos sobre la superficie de un toro
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Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
El príncipe de los matemáticos.
Niño prodigio Sumar los números del 1 al 100.
1 2 3 . . . 99 100 . MiSuma
100 99 98 . . . 2 1 . MiSuma
101 101 101 . . . 101 101 . 2 x MiSuma
. . .
2 x MiSuma 100 x 101
MiSuma (100 x 101) / 2 10100 / 2 5050
1001000 2 500500
Cuánto vale la suma de los números del 1 al 1000?
23
Gauss

• Teoría de números
• Astronomía
• Física
• Probabilidades y Estadística
• Geometría
• Geometría diferencial

Construcción de polígonos regulares con regla y
compás el polígono regular de 17 lados (19
años)
Teoría de curvas y superficies la curvatura.
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Curvatura
mucha curvatura
menos curvatura
poca curvatura
curvatura cero
La curvatura varía de un punto a otro en la
curva
Una circunferencia de radio r tiene curvatura
1/r
menos curvatura
más curvatura
25
Curvatura de una superficie
Curvatura de Gauss Es el producto de la
curvatura seccional más grande y la más pequeña.
26
Curvatura de Gauss
Las curvaturas seccionales tienen distinto signo,
según hacia donde se orientan.
27
Curvatura de Gauss
Curvatura negativa Las curvaturas más grande y
más pequeña son de distinto signo.
Curvatura nula La curvatura más pequeña vale
cero.
Curvatura positiva Las curvaturas más grande y
más pequeña son positivas.
28
Coloreando mapas
Möbius propuso en 1840 este problema
Había una vez un rey que tenía cinco hijos. En
su testamento pidió que a su muerte su reino se
dividiera en cinco regiones, de modo tal que cada
región tuviera frontera en común con las otras
cuatro.
Se pueden satisfacer los términos del testamento?
Un problema más difícil
Cuántos colores hacen falta para colorear un
mapa, de modo que dos regiones limítrofes tengan
distinto color? Las regiones que se cortan en un
punto no se consideran limítrofes.
Para colorear un tablero de ajedrez bastan dos
colores.
29
Podría colorear este mapa con solo tres colores?
Este mapa está coloreado con cuatro colores.
30
Teorema de los cuatro colores Cualquier mapa
dibujado sobre un plano o sobre una esfera se
puede colorear con cuatro colores
Planteado en 1853 por Francis Guthrie. Primera
demostración en 1976 de Appel y Haken.
31
El grafo dual
Un vértice por cada región, una arista si las
regiones son limítrofes.
3
Asignar un color (o un número) a cada vértice, de
modo que los vértices contiguos tengan distinto
color (distinto número).
4
1
2
2
1
3
4
32
(No Transcript)
33
Y si el mapa estuviera en una cinta de Möbius?
Seis colores son suficientes para colorear un
mapa en una cinta de Möbius.
Y en un toro?
34
Leonhard Euler (1707-1783)
Geometría, cálculo, teoría de números, ecuaciones
diferenciales, mecánica, hidrodinámica,
electromagnetismo, astronomía ... El matemático
más prolífico de todos los tiempos 500 entre
libros y artículos (800 páginas por año). Obras
completas 73 volúmenes?
35
Los puentes de Königsberg
Capital de Prusia Oriental. En 1945 pasa a
llamarse Kaliningrado
36
El problema de los puentes es equivalente al
recorrido de un grafo.
Cuáles son los grafos que se pueden recorrer sin
pasar dos veces por la misma arista?
37
Se puede recorrer este grafo, sin pasar dos
veces por la misma arista?
38
Un grafo se puede recorrer sin pasar dos veces
por la misma arista si no tiene vértices impares
(número de aristas en ese vértice) o solo tiene
dos. Si todos los vértices son pares, al
completar el reco-rrido se vuelve al mismo
vértice de partida. Si tiene dos vértices
impares, uno de ellos será el comienzo del
recorrido y el otro el final.
3
3
3
4
2
4
3
3
3
4
39
3
3
5
3
No se pueden recorrer los siete puentes sin pasar
dos veces por el mismo.
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Lectura
1884
Un cuadrado describe la vida en un mundo de dos
dimensiones, narra su dialogo con el Rey de
Linealandia y su impresionante visita a
Espaciolandia.
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Planilandia
Imaginad una vasta hoja de papel en la que
líneas rectas, triángulos, cuadrados, pentágonos,
hexágonos y otras figuras, en vez de permanecer
fijas en sus lugares, se moviesen libremente, en
o sobre la superficie, pero sin la capacidad de
elevarse por encima ni de hundirse por debajo de
ella, de una forma muy parecida a las sombras
(aunque unas sombras duras y de bordes luminosos)
y tendríais entonces una noción bastante correcta
de mi patria y de mis compatriotas.
Mi visión de Linealandia
42
Lectura
El teorema del loro Denis Guedj Editorial
Anagrama, Barcelona. 537 páginas, 2000.
Un librero parisino en silla de ruedas, recibe
una carta de un amigo al que no ve desde hace
años, que le anuncia el envío de su completa
biblioteca de libros de matemáticas desde Manaos,
Brasil. Por otro lado, uno de los hijos de su
compañera lleva a casa un loro de una especie
exótica muy apreciada que ha rescatado de manos
de unos matones. Curiosamente ambos sucesos
estarán íntimamente relacionados....
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Lectura
Matemática... estás ahí?Sobre números,
personajes, problemas y curiosidades Adrián
Paenza Siglo Veintiuno Editores
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• Cómo se construye una clave indescifrable?
• Cuántas pelotas de fútbol entran en la cancha
  de River?
• De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar
  diez canciones en un CD?
• Qué opinan los matemáticos de las vacas?
• Estas son algunas nuevas preguntas para
• dar la bienvenida a nuevos lectores y
• seguir entusiasmando a los miles que
• ya descubrieron en el universo de la
• matemática un fascinante medio
• para aprender a pensar.

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Hay que llevar agua, electricidad y gas a las
tres casas, sin que se crucen las tuberías.
Es posible?
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Otros nombres importantes en el desarrollo de la
topología
Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Georg
Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) Marie
Ennemond Camille Jordan (1838-1922) Georg
Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) Henri
Poincaré (1854-1912) Felix Hausdorff (1868-1942)
y más ...
Gauss
Jordan
Cantor
Poincaré
Hausdorff
Riemann
47
Keizo Ushio
John Robinson
ICM 2006 - Madrid