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ALGEBRA COMPUTACIONAL

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... curvas planas sin componentes comunes dadas en forma param trica se puede ... Cuando las dos curvas son dadas por sus ecuaciones impl citas f(x,y) y g(x,y) se ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: ALGEBRA COMPUTACIONAL


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ALGEBRA COMPUTACIONAL
  • INTEGRANTES
  • ALVARO BUSTOS
  • DAFNE IBAÑEZ
  • RICARDO REYES

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DISEÑO Y MODELACION ASISTIDA POR COMPUTADOR
  • Las utilidades de los sistemas de CAD/CAM como
    medio para aumentar la eficacia del proceso de
    diseño hoy en día no tienen competencia. Ventajas
    como
  • - reducción de tiempo,
  • - mejoras de calidad y
  • - reducción de costos
  • son a menudo citadas como los mayores beneficios
    del resultado de la introducción de software
    especializado para el CAD/CAM

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DISEÑO Y MODELACION ASISTIDA POR COMPUTADOR
  • Desde un punto de vista matemático casi todos los
    problemas de DAC/MAC están relacionados con la
    manipulación de objetos geométricos.
  • Estas entidades geométricas usualmente se
    presentan a través de polinomios implícitos o en
    forma paramétrica.

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DISEÑO Y MODELACION ASISTIDA POR COMPUTADOR
  • Hay cuatro clases de problemas principales
    considerados donde el Algebra Computacional y el
    DGAC son ocupados en forma conjunta
  • Preguntas de implicitación (o eliminación de
    variable).
  • Intersección de curvas y superficies
    paramétricas.
  • DGAC con la aritmética exacta.
  • El guiado algebraico de trazas de curvas y
    superficies implícitamente definidas.

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INTERSECCION DE DOS CURVAS PLANAS
  • La intersección de dos curvas planas sin
    componentes comunes dadas en forma paramétrica se
    puede determinar calculando la ecuación implícita
    de la primera curva y sustituyendo la
    parametrización en la segunda. Luego el problema
    queda reducido a la resolución de una ecuación
    polinomial de una variable.
  • Cuando las dos curvas son dadas por sus
    ecuaciones implícitas f(x,y) y g(x,y) se puede
    determinar usando un argumento similar al
    anterior.

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INTERSECCION DE UNA SUPERFICIE RACIONAL Y UNA
CURVA RACIONAL
  • Si la ecuación implícita de la superficie esta
    disponible, el problema se reduce al calculo de
    las raíces reales de un polinomio de una
    variable.
  • Este polinomio es obtenido de la sustitución de
    la parametrización de la curva en la ecuación
    implícita de la superficie.
  • Si la ecuación implícita de la superficie no está
    disponible, entonces igualando ambas
    parametrizaciones el problema se reduce a
    resolver un sistema polinomial de 3 ecuaciones y
    3 incógnitas.

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INTERSECCION DE UNA SUPERFICIE RACIONAL Y UNA
CURVA RACIONAL
  • Al usar Algebra Computacional, la única técnica
    usada actualmente esta basada en resultados
    multivariante y principalmente en la formulación
    de Dixons para eliminar dos de las incógnitas
    del sistema.

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INTERSECCION DE DOS SUPERFICIES RACIONALES
  • Esta se reduce al trazado de una curva algebraica
    plana implícitamente definida más un proceso de
    sustitución si la ecuación implícita de una de
    las superficies se encuentra disponible.
  • Si ninguna ecuación implícita se encuentra
    disponible, entonces, se tiene que resolver un
    sistema polinomial de 3 ecuaciones y 4
    incógnitas.
  • Si las dos superficies se presentan por su
    ecuación implícita, entonces el problema se
    reduce a resolver un sistema de 2 ecuaciones y 3
    incógnitas.

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DGAC CON LA ARITMETICA EXACTA
  • Se asume que todos los objetos de entrada son
    conocidos exactamente y su representación
    involucra solo números racionales o números
    algebraicos exactos.
  • En este caso todos los problemas se reducen a la
    resolución de un sistema polinomial de ecuaciones
    o a la eliminación de una o varias variables.
  • Para este tipo de problemas se utilizan las bases
    de Grobner.

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PROGRAMACION CIENTIFICA
  • Nuestro objetivo es ver la importancia de la
    tecnología con respecto a la matemática.
  • Ver la importancia de ciertas calculadoras que
    nos facilita en un segundo . una solución del
    problema planteado.
  • A continuación daremos una introducción al tema.

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INTRODUCCION
  • Al pasar los años vemos que la tecnología avanza
    entregándonos nuevas cosas que a la vez son de
    gran utilidad.
  • Mientras que las calculadoras introdujeron más
    el cálculo numérico en la aula, los sistema de
    álgebra computacional permite el uso de cálculo
    más simbólico.
  • El uso de Álgebra computacional en la aulas
    aumentan en todo el mundo, lentamente esto pasos
    son Institualizados.

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INTRODUCCION
  • Hay algo que esta claro, que las calculadoras
    Científicas portátiles han cambiado el plan de
    estudio de Matemática en la escuela secundaria y
    universitaria alrededor del mundo durante estos
    años.
  • Muchos temas eran tratados con PAPEL LAPIZ que
    han sido suprimidas.

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INTRODUCCION
  • Hoy en día, hay que notar que en menos tiempo es
    gastado, en ciertos temas. (Ejemplos)
  • A continuación daremos algunos ejemplos en que
    ocuparemos la calculadora Científica.

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EJEMPLO 1 POLINOMIO
  • Sea
  • Un polinomio de grado 3.
  • Uno puede intuir que puede tener 3 soluciones
    Reales ó puede pasar que tenga 1 solución real y
    las otras dos complejas.
  • Entonces los posibles candidatos son

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EJEMPLO 1 POLINOMIO
  • Uno podría decir x -1 es una raíz del
    polinomio?
  • Yo a simple vista no puedo asegurar que aquel
    valor es el correcto.
  • Para saber si estamos en lo correcto, no hay más
    que realizar la llamada División Sintética (Papel
    y lápiz).
  • Para uno eso es algo tedioso.
  • Hoy en día teniendo en cuenta la tecnología
    podemos utilizar ciertas calculadoras que nos
    facilita obtener la o las soluciones del problema
    planteado.
  • Las raíces del polinomio obtenido por la
    calculadora científica son 1, 2, -3, lo cual
    satisfacen
  • A continuación veremos la gráfica que nos
    quedaría con la calculadora científica.

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Ejemplo 1 Polinomio
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EJEMPLO 2 INTEGRAL DEFINIDA
  • Hoy en día tenemos calculadoras avanzadas, el
    cual nos facilita tiempo para obtener soluciones
    y más aún una respuesta correcta.
  • También se puede realizar el ejercicio con papel
    y lápiz, pero nadie nos garantiza que el
    ejercicio esté bueno en el caso que sea un
    experto en integrales.

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EJEMPLO 3 ECUACION DIFERENCIAL
  • Cómo poder saber el conjunto solución de
  • ?
  • Las calculadoras nos facilitan en esto con gran
    ayuda pues graficar una ecuación diferencial
    (En general).
  • También se puede hacer con papel y lápiz pero es
    complicado, más aún cuando la ecuación es media
    extraña.

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EJEMPLO 3, RESOLUCION
  • En efecto, tenemos
  • Tenemos
  • Más aún,
  • Por comodidad, donde

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Ejemplo 3
  • Por comodidad

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LA EXPERIENCIA HOLANDESA
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LA EXPERIENCIA HOLANDESA
  • El álgebra computacional ha sido un tema de
    discusión en Holanda desde hace algunos años
    hasta ahora.
  • En la enseñanza secundaria superior (equivalente
    a nuestra enseñanza media) no existe plan de
    estudios alguno que determine cuánto se debe
    enseñar sobre este tema.

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LA EXPERIENCIA HOLANDESA
  • El primer proyecto sobre álgebra computacional en
    la enseñanza secundaria comenzó en 1990 y duró 2
    años. La idea principal de este proyecto era
    desarrollar unidades cortas de instrucción para
    probarlas en escuelas piloto. Pero no dio los
    resultados esperados, gracias a la carencia de
    equipamiento de las escuelas y a la dificultad de
    los alumnos en el manejo del computador.
  • Hacia el final de este proyecto, un grupo de
    profesores decidió seguir el trabajo. Se
    autodenominaron CAVO y existieron como grupo
    hasta 1998. Era una plataforma animada e
    importante para el desarrollo remoto y la
    discusión. Mientras este grupo trabajaba,
    irrumpió en la escena la calculadora gráfica,
    atrayendo enorme atención.

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LA EXPERIENCIA HOLANDESA
  • La aparición de la calculadora gráfica gatilló la
    discusión sobre si la tecnología debía ser o no
    usada en la enseñanza secundaria. Se decidió que
    la puesta en práctica de la calculadora gráfica
    sería el primer paso.
  • Las autoridades apoyaron un proyecto de
    investigación en 1992 sobre esta cuestión. Este
    proyecto fue realizado por el Freudenthal
    Institute y más tarde se convirtió en parte
    integrante de un proyecto más grande llamado
    Profi. Los resultados de éste incluyeron los
    textos de estudiantes que integraron el empleo de
    la calculadora gráfica, y los exámenes
    experimentales que requieren la disponibilidad de
    un dispositivo graficador hecho a mano.

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LA EXPERIENCIA HOLANDESA
  • Algunos educadores y profesores, sin embargo, se
    opusieron a la puesta en práctica de la
    calculadora gráfica. Sus argumentos eran que el
    álgebra computacional es una herramienta
    matemática mucho más sofisticada, y que una
    calculadora gráfica es sólo un paso temporal
    hacia atrás comparado con las posibilidades que
    los PCs ofrecen. Sin embargo, en 1996 se reveló
    que los PCs casi nunca fueron usados en las
    clases de matemáticas, aunque ellos estuvieran
    disponibles en las escuelas.
  • Esto sirvió para reforzar la idea de que la
    verdadera puesta en práctica de tecnología
    requiere que el estudiante tenga el acceso
    directo al dispositivo. El limitado poder
    matemático de la calculadora gráfica no es una
    desventaja importante esto permite a educadores
    e investigadores tener el tiempo suficiente para,
    con cuidado, integrar un instrumento gráfico y
    numérico sin necesidad enfrentarse con el álgebra
    de ordenador mientras tanto.

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LA EXPERIENCIA HOLANDESA
  • La opción de la calculadora gráfica puede ser una
    preferencia temporal de verdad. Hoy, el álgebra
    computacional está también disponible en un
    formato hecho a mano. Un primer experimento
    piloto que usa la calculadora TI-92 reveló que
    los estudiantes apreciaron esta máquina como una
    calculadora algebraica, pero no tanto como una
    herramienta geométrica dinámica.
  • Cuando la Asociación Holandesa de Profesores de
    Matemáticas se dio cuenta del impacto posible de
    las calculadoras simbólicas sobre la educación
    matemática secundaria, fue formado un Consejo
    Consultivo sobre el Álgebra de Ordenador y la
    Calculadora Simbólica

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LA EXPERIENCIA HOLANDESA
  • En Mayo de 1998 este Consejo concluyó que
  • El álgebra computacional debería ser puesta en
    práctica en la educación secundaria superior
  • La investigación fue necesaria para encontrar
    respuestas a las preguntas pedagógicas y de
    curriculum que surjan por esto
  • Como una plataforma de álgebra computacional, el
    PC sería preferido a la calculadora simbólica, al
    menos a largo plazo.

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LA EXPERIENCIA HOLANDESA
  • En el otoño de 1998, el Freudenthal Institute
    condujo un estudio exploratorio de casos que usan
    la calculadora simbólica. Esta máquina resultó
    ser bastante útil en tareas de investigación. El
    empleo sofisticado de variables y parámetros, sin
    embargo, no siempre era claro para los
    estudiantes. Además, algunos estudiantes estaban
    poco dispuestos a usar el álgebra computacional
    para el uso de técnicas que ellos aún no habían
    dominado a mano.

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LA EXPERIENCIA HOLANDESA
  • Actualmente, muchas preguntas de investigación
    acerca del papel del álgebra computacional en la
    enseñanza secundaria están todavía sin contestar.
    Ninguna decisión sobre su puesta en práctica en
    Holanda ha sido tomada hasta ahora.
  • En los próximos años se espera que ocurran 3
    acontecimientos

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LA EXPERIENCIA HOLANDESA
  • En primer lugar, los profesores, las juntas de
    examinación y los autores de libros de texto se
    acostumbrarán a la calculadora gráfica y
    aprovecharán las posibilidades pedagógicas que
    estos dispositivos ofrecen.
  • En segundo lugar, la investigación será realizada
    sobre el papel del álgebra computacional en el
    estudio de las matemáticas y, más expresamente,
    en el estudio de conceptos algebraicos. Tal
    estudio fue comenzado recientemente por el
    Freudenthal Institute.

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LA EXPERIENCIA HOLANDESA
  • En tercer lugar, la investigación será realizada
    sobre las posibilidades del álgebra computacional
    como una herramienta de tecnología de amplia
    gama. Un proyecto que se enfoca en el empleo de
    un ambiente de álgebra computacional en
    combinación con un editor de textos (para
    escribir informes matemáticos) y un Catálogo de
    Internet ha sido comenzado en Algemeen
    Pedagogisch Studiecentrum, un instituto para la
    mejora de la educación matemática.
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