INTERPOLACIN LINEAL Tema 7'4 1 BCS

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INTERPOLACIÓNLINEALTema 7.4 1º BCS
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INTERPOLACIÓN

• Interpolación y Extrapolación.
• Ya hemos dicho que una función puede venir dada
  de varias formas
• Como enunciado tipo problema de álgebra.
• Como una ecuación que nos relaciona dos
  variables.
• Como una tabla de valores.
• Como una gráfica.
• Si nos la dan en forma de enunciado, algebrizamos
  el texto y obtenemos una ecuación, la cual es la
  fórmula de la función.
• Si nos la dan en forma de ecuación, podemos
  calcular cualquier dato que nos interese saber.
• Pero si nos la dan en forma de Tabla puede que
  el valor que queremos saber no se encuentre en
  dicha tabla. Tendremos entonces que INTERPOLAR o
  EXTRAPOLAR.

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• Ejemplo
• Sea la población de Palencia a lo largo de los
  últimos 16 años, dado en forma de tabla y en
  miles de habitantes.
• Año 1990 1992 1994 1996
  1998 2000 2002 2004
• Habitantes 71 72 73 74
  75 76 77 78
• Qué población tenía Palencia en 1995 ?
• Vemos que ese dato no existe. Existe en 1994 y en
  1996, pero no en 1995.
• Podemos suponer que en 1995 había (7576) / 2
  75,5 millones de habitantes.
• Eso es lo que se llama INTERPOLAR.
• Como el crecimiento de la población es lineal, el
  error cometido al calcular así el número de
  habitantes es nulo.
• Pero el crecimiento podría haber sido exponencial
  o cuadrático, en cuyo caso podría habernos dado
  un serio error.
• Habrá que distinguir pues la INTERPOLACIÓN LINEAL
  de la INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA principalmente,
  sin dejar de tener en cuenta, aunque no sea
  materia del Bachillerato, que existen otras
  interpolaciones, como exponenciales,
  logarítmicas, etc.

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EXTRAPOLACIÓN

• Qué población tenía Palencia en 1980 ?
• Qué población tendrá Palencia en 2010 ?
• Vemos que esos dato no existen en la tabla dada,
  ni tampoco son datos intermedios de otros
  conocidos. Quedan fuera.
• Podemos suponer que en 1980 había ( 69 - 1 -
  1 ) 67 millones de habitantes.
• Podemos suponer que habrá en 2010 ( 78 10 )
  88 millones de habitantes.
• Esto es lo que se llama EXTRAPOLAR.
• MUY IMPORTANTE
• Si en una Tabla de valores nos dan sólo dos pares
  de valores (x, y), aplicaremos la INTERPOLACIÓN
  LINEAL.
• Si en una Tabla de valores nos dan sólo tres
  pares de valores (x, y), aplicaremos la
  INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA, salvo que para iguales
  incrementos de x haya iguales incrementos de y.

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INTERPOLACIÓN LINEAL
17 13 9 5

• Sea la Tabla
• X Y
• 1 5
• 5 13
• Calculamos la pendiente
• m(13-5)/(5-1)
• 8/4 2
• Tomando el punto P(1,5) y la ecuación
  punto-pendiente
• y-yom.(x-xo)
• y-5 2.(x-1)
• y 2.x 25
• y2.x 3
• Que es la función de interpolación lineal.

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• Interpolamos para x3
• f(x) mxn
• f(x) 2.x 3
• f(3) 2.3 3 6 3 9

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EXTRAPOLACIÓN LINEAL
17 13 9 5

• Sea la Tabla
• X Y
• 1 5
• 5 13
• Calculamos la pendiente
• m(13-5)/(5-1)
• 8/4 2
• Tomando el otro punto P(5,13) y la ecuación
  punto-pendiente
• y-yom.(x-xo)
• y-13 2.(x-5)
• y 2.x 1013
• y2.x 3
• Que es la función de interpolación lineal.

0 1 3 5
7

• Extrapolamos para x7
• f(x) mxn
• f(x) 2.x 3
• f(7) 2.7 3 14 3 17

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Ejercicio completo 1

• Sea la Tabla
• Año Habitantes
• 2001 5000
• 2002 7000
• 2003 9000
• 2005 13000
• Tomando los tres primeros datos
• ?x 1 Cte
• ?y 2000 Cte
• Podemos hacer una interpolación lineal.

• ymx n
• Tomo dos de los tres primeros datos
• 7000 m.2002 n
• 5000 m.2001 n
• Resuelvo el sistema por Reducción
• m (7000-5000)/(2002-2001) 2000 ?
• De la primera ecuación del sistema
• n 7000-2000.2002 - 3997000
• (Nota Se podría haber hecho también por la
  ecuación punto-pendiente).
• f(x) 2000.x 3997000 sería la
• F. de Interpolación Lineal, que sirve tanto para
  interpolar como para extrapolar.

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Pero sería falsa si no cumpliese que para el año
2005 había 13000 habitantes. La función dada en
forma de tabla de valores no sería
lineal. Comprobamos 13000 2000.2005
3997000 13000 4010000 3997000 ? 13000
13000 Interpolamos para el año 2004, que es un
dato que no nos dan f(2004) 2000.2004
3997000 11000 Extrapolamos para hallar la
población en el año 2010 f(2010) 2000.2010
3997000 4020000 3997000 2.3000
habitantes. En la práctica, con problemas
reales, al extrapolar no conviene que el valor
de la variable independiente esté muy alejada de
los valores mínimos y máximos facilitados en la
Tabla pues el error podría ser muy alto si la
tendencia no se mantiene.
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Ejercicio completo 2

• Sea la Tabla
• Año Habitantes
• 2002 7000
• 2005 13000
• En la práctica podemos simplificar mucho las
  operaciones haciendo el siguiente cambio
• Año Habitantes
• 2 7000
• 5 13000

• Como sólo me dan dos pares de valores, realizo
  una interpolación lineal ymx n
• Calculo la pendiente
• m (13000-7000)/(5-2) 6000/3 2000
• Por la ecuación punto-pendiente
• y-yom.(x.xo)
• y-7000 2000.(x-2)
• y2000.x -40007000
• f(x) 2000.x 3000 sería la
• F. de Interpolación Lineal, que sirve tanto para
  interpolar como para extrapolar.
• f(2004)?f(4)2000.43000 11000 habitantes.
• F(2010)?f(10)2000.10300023000 habitantes.