Title: Programacin Cnica Departamento de Matemticas Universidad de Castilla la Mancha Junio 19 del 2003
1Programación CónicaDepartamento de
MatemáticasUniversidad de Castilla la
ManchaJunio 19 del 2003
- René J. Meziat
- Departamento de Matemáticas
- Universidad de los Andes - Bogotá
2Elementos Básicos
- Matriz de m filas por n columnas
- Sistema de Desigualdades Lineales Homogéneo
(Cono Poliédrico) - Cono Positivamente Generado por las filas de la
matriz A - P y V son Conos Convexos Cerrados en Rn
3Dualidad en Conos
- Polar de un Cono
- Resultado Básico
4Lema de Farkas
5Teorema del Alternativo I
6Teorema del Alternativo II
7Teorema del Alternativo III
8Corolario
9Otras Consecuencias del Lema de Farkas
- Condiciones de Kuhn-Tucker en programas bajo
restricciones no lineales en forma de
desigualdades - Dualidad en Programación Convexa
10Dualidad en Programación Lineal
11Observaciones Básicas
- Geometría cónica subyacente al problema
- Gap de Dualidad
12Resultado Auxiliar (Lema de Farkas)
13Resultado 1 para Dualidad en Programación Lineal
14Resultado 2 Relaciones de Complementariedad
15Elementos de Programación Cónica
- Equivalencia entre conos convexos y relaciones de
orden en espacios lineales con producto interior - Relación de orden lineal compatible con la
topología y las operaciones del espacio lineal
subyacente
16Propiedades del Orden
- Reflexiva
- Anti-simétrica
- Transitiva
- Homogénea
- Aditiva
- Continuidad
17Relación entre Conos y Ordenes
18Ejemplos de Conos
- Octantes Positivos en Espacios Euclideanos
- Conos de Lorentz
- Conos de Matrices Semidefinidas Positivas
19Resultados sobre Conos
- Producto cartesiano de conos cerrados convexos
pointed produce un nuevo cono cerrado convexo
pointed en el correspondiente espacio. - Los conos descritos son auto-duales
- El dual de un cono convexo cerrado pointed con
interior no vacío, es un cono convexo cerrado
pointed con interior no vacío. - El doble dual de un cono convexo cerrado coincide
con el cono original
20Programación Cónica General
21Propiedades Básicas
- Estructura Cónica Subyacente
- Cotas para soluciones factibles
22Forma Explícita de un Programa Cónico
23observaciones
24Resultados de Dualidad en Programación Cónica
25Ejemplos de Programas Cónicos
- Problema Min-Max de Steiner
- Problema de Steiner Ponderado
26Forma General de la Dualidad en Programación
Cónica
27Optimización Global de Polinomios Bidimensionales
28Teoría de Momentos
29Relajación Semidefinida
30comentarios
- El término constante en el polinomio es
descartado desde un comienzo, este parámetro no
afecta el problema de optimización global - Supondremos que el polinomio no negativo
- puede expresarse como una suma finita de
cuadrados de polinomios de grado hasta n
31Dualidad en Programación Semi-definida
32solución
- Tomamos los coeficientes en la expresión
- como una solución factible para el problema (D)
cuyo valor bajo la función admisible de (D)
coincide con m
33solución
- Puesto que cada solución factible para (D)
proporciona una cota inferior para (P) tenemos
que m es una cota inferios para la Relajación
Semidefinida del problema de Optimización Global
34Envolturas Convexas
35requisitos
36Trabajo a seguir
- Métodos de Punto Interior
- Explotar la dualidad de la programación
semidefinida en problemas variacionales no
convexos - envolturas convexas modelos discretos