Programacin Cnica Departamento de Matemticas Universidad de Castilla la Mancha Junio 19 del 2003 - PowerPoint PPT Presentation

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Programacin Cnica Departamento de Matemticas Universidad de Castilla la Mancha Junio 19 del 2003

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Matriz de m filas por n columnas. Sistema de Desigualdades Lineales Homog neo (Cono Poli drico) ... Teor a de Momentos. Relajaci n Semidefinida. comentarios ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: Programacin Cnica Departamento de Matemticas Universidad de Castilla la Mancha Junio 19 del 2003


1
Programación CónicaDepartamento de
MatemáticasUniversidad de Castilla la
ManchaJunio 19 del 2003
  • René J. Meziat
  • Departamento de Matemáticas
  • Universidad de los Andes - Bogotá

2
Elementos Básicos
  • Matriz de m filas por n columnas
  • Sistema de Desigualdades Lineales Homogéneo
    (Cono Poliédrico)
  • Cono Positivamente Generado por las filas de la
    matriz A
  • P y V son Conos Convexos Cerrados en Rn

3
Dualidad en Conos
  • Polar de un Cono
  • Resultado Básico

4
Lema de Farkas
5
Teorema del Alternativo I
6
Teorema del Alternativo II
7
Teorema del Alternativo III
8
Corolario
9
Otras Consecuencias del Lema de Farkas
  • Condiciones de Kuhn-Tucker en programas bajo
    restricciones no lineales en forma de
    desigualdades
  • Dualidad en Programación Convexa

10
Dualidad en Programación Lineal
  • Programa Primal (P)
  • Programa Dual (D)

11
Observaciones Básicas
  • Geometría cónica subyacente al problema
  • Gap de Dualidad

12
Resultado Auxiliar (Lema de Farkas)
13
Resultado 1 para Dualidad en Programación Lineal
14
Resultado 2 Relaciones de Complementariedad
15
Elementos de Programación Cónica
  • Equivalencia entre conos convexos y relaciones de
    orden en espacios lineales con producto interior
  • Relación de orden lineal compatible con la
    topología y las operaciones del espacio lineal
    subyacente

16
Propiedades del Orden
  • Reflexiva
  • Anti-simétrica
  • Transitiva
  • Homogénea
  • Aditiva
  • Continuidad

17
Relación entre Conos y Ordenes
18
Ejemplos de Conos
  • Octantes Positivos en Espacios Euclideanos
  • Conos de Lorentz
  • Conos de Matrices Semidefinidas Positivas

19
Resultados sobre Conos
  • Producto cartesiano de conos cerrados convexos
    pointed produce un nuevo cono cerrado convexo
    pointed en el correspondiente espacio.
  • Los conos descritos son auto-duales
  • El dual de un cono convexo cerrado pointed con
    interior no vacío, es un cono convexo cerrado
    pointed con interior no vacío.
  • El doble dual de un cono convexo cerrado coincide
    con el cono original

20
Programación Cónica General
  • Programa Primal (P)
  • Programa Dual (D)

21
Propiedades Básicas
  • Estructura Cónica Subyacente
  • Cotas para soluciones factibles

22
Forma Explícita de un Programa Cónico
  • Programa Primal (P)
  • Programa Dual (D)

23
observaciones
24
Resultados de Dualidad en Programación Cónica
25
Ejemplos de Programas Cónicos
  • Problema Min-Max de Steiner
  • Problema de Steiner Ponderado

26
Forma General de la Dualidad en Programación
Cónica
  • Programa Primal (P)
  • Programa Dual (D)

27
Optimización Global de Polinomios Bidimensionales
28
Teoría de Momentos
29
Relajación Semidefinida
30
comentarios
  • El término constante en el polinomio es
    descartado desde un comienzo, este parámetro no
    afecta el problema de optimización global
  • Supondremos que el polinomio no negativo
  • puede expresarse como una suma finita de
    cuadrados de polinomios de grado hasta n

31
Dualidad en Programación Semi-definida
  • Programa Primal (P)
  • Programa Dual (D)

32
solución
  • Tomamos los coeficientes en la expresión
  • como una solución factible para el problema (D)
    cuyo valor bajo la función admisible de (D)
    coincide con m

33
solución
  • Puesto que cada solución factible para (D)
    proporciona una cota inferior para (P) tenemos
    que m es una cota inferios para la Relajación
    Semidefinida del problema de Optimización Global

34
Envolturas Convexas
35
requisitos
36
Trabajo a seguir
  • Métodos de Punto Interior
  • Explotar la dualidad de la programación
    semidefinida en problemas variacionales no
    convexos
  • envolturas convexas modelos discretos
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