Las Matemticas:

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Las Matemáticas

• Herramienta fundamental en el Análisis Económico

Profesor Max Garza Valle Alumno Manuel Vélez
Gallardo
ITESM Noviembre 2005
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Antecedentes

• Economía como ciencia siglo XVIII
• Aplicación matemática fines de siglo XIX
• Apéndices matemáticos Libros de Microeconomía.
  Textos de Economía Ambiental. Comercio
  Internacional. Economía Administrativa. Política
  Pública Economía del Bienestar, etc.

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Usos específicos

• Funciones Lineales y No Lineales
• Cálculo Diferencial e Integral
• Interpretación de Gráficas. Diagramas de
  Dispersión.
• Elasticidades
• Relaciones de productividad, rendimientos y
  costos.
• Utilidad, Producción y Mercados.
• Multiplicador de Lagrange
• Matrices

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Funciones

• Desde antes del siglo XX y en el XXI, se ha
  graficado la demanda y la oferta con la variable
  independiente en el eje Y.

P
En Economía, la variable independiente es el
precio. Aún cuando con este diseño no se
distorsiona la información.
Q
5
Pendiente de una Recta
P
P
12
6
Q
12
Q
12
6
Pendiente en una Curva

• En este caso, para encontrar la pendiente en un
  punto, trazamos la tangente en ese punto y
  calculamos la pendiente de la recta.

P
La pendiente de la curva en el punto b es igual a
-1/5, que se obtiene de la pendiente de la recta.
10
b
Q
50
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Posibilidades de Producción

• De acuerdo con la Ley de Rendimientos
  Decrecientes o Costos Crecientes de David Ricardo

A
Costo de Oportunidad
200
La gráfica ilustra que, al pasar del punto A al
B, las variaciones de A son cada vez mayores, lo
cual se interpreta como costos crecientes del
producto B en términos de A.
B
1 2 3 4 5
8
Elasticidades

• Usando el término de pendiente podemos comprender
  los conceptos de elasticidad de la demanda.

Elasticidad Precio-Demanda Mide la
sensibilidad de la cantidad demandada ante
variaciones del precio.
P
12
Q
60
9
Elasticidades

• Para P 12 la Ed 8Por qué?
• Para P 6 la Ed -1 Por qué?
• Para P 0 la Ed 0 Por qué?

P
Si volvemos a la grafica anterior y consideramos
el término P/Q (que es un elemento de la fórmula
de Ed) observamos que para el punto A, P 12, la
Q 0 y al dividir P/Q, el cociente es 8, y
88 Similarmente para el punto B, ahora P 0
y el cociente de P/Q 0, y 00
12A
Q
60B
10
Elasticidades

• De igual manera la economía se interesa en la
  elasticidad cruzada y la elasticidad ingreso,
  donde la variable precio del bien X se sustituye
  por el precio de otro bien Y (elasticidad
  cruzada) y el Ingreso (elasticidad ingreso).

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Producción

• En economía se analiza el tema de producción con
  funciones de tercer grado que nos muestran
  diferentes rendimientos de un factor variable
  (Trabajo L).
• Crecientes
• Constantes
• Decrecientes

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Producción

• Q 80L 240L2 4L3
• Q unidades producidas
• L cantidad de trabajo
• En todo proceso productivo de corto plazo, al
  mantener un factor fijo (K), e ir agregando
  unidades del factor variable (L) para cierto
  nivel de Q, aparecen los rendimientos marginales
  y absolutos decrecientes.

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Producción

• Todo proceso productivo se caracteriza por
  revelar tres etapas de rendimientos
• Rendimientos Crecientes La producción aumenta en
  mayor proporción que el trabajo. El ?Q gt ?L
• Rendimientos Constantes El ?Q ?L
• Rendimientos Decrecientes El ?Q lt ?L
• Entonces se utiliza el cálculo diferencial y las
  segundas derivadas, para encontrar los puntos
  máximos

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Producción

• PMg ?Q/?L dQ / dL
• PMe Q/L
• Usando estos dos conceptos que gráficamente se
  representan con funciones que en un principio
  crecen y después disminuyen son importantes para
  determinar los límites de las etapas, en su
  puntos máximos.

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Producción

• Q 20L 60L2 L3
• PMe 20 60L L2
• PMg 20 120L 3L2
• El PMg es máximo cuando su derivada 0 120 6L
  0 L 20.
• El PMe es máximo cuando su derivada es 0 60 2L
  0 L 30. (fin de etapa 1)
• Q es máxima cuando L 40. PMg0, (que es el fin
  de la segunda etapa).
• Para L gt 40 los rendimientos de la producción
  son absolutamente decrecientes. Es ineficiente o
  irracional.

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Teoría de la Demanda

• Utilidad Total U f(x,y) 20
• Utilidad Marginal de X, UMgX ?U/?Qx
• Utilidad Marginal de Y, UMgY ?U/?Qy
• Principio de Utilidad Marginal Decreciente Al
  consumir un bien a medida que es mayor la
  cantidad consumida, es menor la utilidad que
  brinda una unidad adicional.

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Curvas de Indiferencia
El consumidor es indiferente ante cualquier
combinación de bienes representados en una curva
(hipérbola rectangular). A medida que la curva
se aleja del origen, aumenta la satisfacción.
X
U 80
U 60
U 40
U 20
Y
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Optimización

• El consumidor maximiza su utilidad cuando la
  pendiente de una curva es igual a su recta de
  presupuesto.
• Ingreso XPx YPy
• Ejemplo I 240 Px 40 Py 20
• X I/Px Y I/Py

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Recta de Presupuesto

• El consumidor puede maximizar el nivel de
  utilidad, en cualquier punto de su recta de
  presupuesto.

Y
Y
I/py
I/px
X
20
Optimización

• El consumidor maximiza su utilidad cuando la
  pendiente de la recta de presupuesto es igual a
  la pendiente de una curva de indiferencia.
• La TMSxy UMgX / UMgY
• La pendiente de la recta es Px/Py
• Optimización UMgX / UMgY Px/Py

(pendiente de las curvas)
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Optimización de la Utilidad
X
U 80
U 60
U 40
U 20
Y
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Optimización de la Utilidad

• El consumidor siempre desea ubicarse en la curva
  de indiferencia de mayor nivel. Pero su ingreso y
  los precios de los bienes que adquiere, le
  restringen su nivel d utilidad.
• TMSxy UMx/UMy Px/py

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Multiplicadores Lagrange

• Los multiplicadores Lagrange son muy utilizados
  para maximizar funciones de utilidad y de
  producción.

Se resuelven las primeras dos ecuaciones y se
sustituye en la tercera, para encontrar las
cantidades óptimas de K y de L.
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Optimización de Utilidad

• De manera similar podemos maximizar una función
  de utilidad usando Lagrange

Se resuelven las primeras dos ecuaciones y se
sustituye en la tercera, para encontrar las
cantidades óptimas de X y de Y.
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Matrices y Álgebra Lineal

• Es muy utilizado el sistema de matrices, y los
  sistemas Hegelianos y Hesianos, para comprobar la
  existencia de convexidad o concavidad en las
  funciones de utilidad y producción. Ello permite
  comprobar si se cumplen las condiciones
  necesarias y de suficiencia en la optimización.

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Conclusiones

• Las Matemáticas son fundamentales para
  desarrollar el razonamiento del estudiante y
  resolver problemas de economía con rapidez y
  exactitud.
• La competitividad y habilidad de todo
  profesionista se incrementa con un mayor
  conocimiento de métodos cuantitativos.

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Conclusiones

• Se necesita de habilidad y cierta imaginación
  para trasladar los conocimientos matemáticos, a
  la solución de problemas económicos.
• Se facilita la comprensión de un modelo económico
  al utilizar las herramientas matemáticas, la
  lógica y representaciones gráficas.
• Sólo es cuestión de usarlas de manera adecuada,
  lógica y eficiente.
• Por lo tanto es necesario aprenderlas,
  recordarlas y usarlas siempre que sea necesario.