XIII Verano de Investigacin Cientfica

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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN Facultad de
Ingeniería Mecánica y Eléctrica División de
Estudios de Posgrado en Ingeniería de Sistemas

• XIII Verano de Investigación Científica

Agregación en Programación Lineal
San Nicolás de Los Garza, Nuevo León a 25 de
Agosto de 2003.
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Equipo de Trabajo

• Dr. Igor Litvinchev
• Sergio David Madrigal Espinoza
• Amelia Espinosa Martínez
• Angelica Arguijo Donoso

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Índice

• Objetivo
• Conceptos básicos
• Diagrama de optimización
• Problema original y el agregado
• Las cotas
• El experimento y sus resultados
• Conclusiones

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Objetivo

• Uso de las técnicas de agregación y determinación
  de las características cualitativas de las cotas.

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Conceptos Básicos

• Agregación
• Cotas a priori
• Cotas a posteriori
• Error de agregación

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Resolver el modelo reducido
Análisis de desagregación
Análisis de agregación
Modelo original
Modelo reducido
Vector solución del modelo reducido
Vector solución del modelo original
Valor optimo de la función objetivo del problema
original
Error a posteriori
Error a priori
Proceso de agregación/desagregación para modelos
de optimización
Estimación del valor de la función objetivo
para el modelo original
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El problema original

• Suponga que el problema original es el siguiente

Se asume que z tiene una solución óptima finita.
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Definición de variables
Dados x xj es un vector n de variables de
decisión, c cj es un vector n, b bi es
un vector m, A aij es un mxn matriz con
columnas aj.
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Obtención del problema agregado
_ z función objetivo del problema agregado
Problema agregado
_ c gc
_ A Ag
Donde g es una matriz de pesos fijos de agregación
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Ejemplo
Problema original
zLP max 19x1 20x2 21x3 39x4 40x5
41x6 s.a. 5x1 6x2 9x3 14x4
15x5 16x6 lt 19 5x1
5x2 7x3 11x4 12x5 13x6 lt 13 xj gt 0
Su solución óptima es xlp (0, 13/5, 0, 0, 0,
0) zlp 52
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Ejemplo
Haciendo K 2 S11, 2, 3
S24, 5, 6 g 1 1 1 1
0 0 0 T
3 0 0 0 1 1 1
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Problema agregado
zLP max 19X1 20X2 s.a.
5X1 6X2 lt 19 5X1
5X2 lt 13 X1 gt 0 X2 gt 0
_
_ Su solución óptima es X1 2.294, X20,
_ _
_ zlp 45.88, u1 0, u2 3.529
_ xlp 1 (13, 13, 13, 0, 0, 0)
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Cota a posteriori
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Cotas a posteriori
UB2 (u,W1) 53.33 UB2 (u,W2) 52.00
Donde W1 y W2 estan definidas por las
restricciones del problema origial respectivamente
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Cota a priori
El error relativo verdadero es 0.13 La cota
calculada fue de 0.26
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El experimento
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Laboratorio

• Software de modelación GAMS 2.5
• Sistema operativo Solaris 7
• Versión 6.6
• Plataforma Estación de trabajo de Sun Ray
• Optimizador BDMLP

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Muestra

• Se generaron 29 problemas aleatorios
• Con variables de 100 hasta 1000
• Sujetas restricciones de 5 hasta 25
• En total se obtuvieron 149 problemas agregados

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Resultados obtenidos para

• 100 variables
• 5 restricciones

• 1000 variables
• 25 restricciones

y
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Para cotas a priori 5x100
Correlación entre error relativo verdadero y cota
a priori 0.433 Con z 26.825
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Para cotas a posteriori 25x1000

• C. Correlación entre Error verdadero absoluto y
  cota a posteriori absoluta verdadera 0.694
• C. de correlación entre Error relativo verdadero
  y cota a posteriori relativa 0.769

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Para cotas a priori
23
Para cotas a posteriori absolutas
24
Para cotas a posteriori relativas
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Indicadores preliminares

• Las cotas a posteriori tienen una mayor
  correlación lineal con el error de agregación.
• Existe correlación sufiente entre el error de
  agregación y las cotas a priori y a posteriori.
• Es factible emplear métodos de agregación en
  modelos a gran escala.
• Es posible tener mejor referencia para ubicar el
  problema agregado.

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Agradecimiento

• Al Dr. Igor Litvinchev por habernos instruido y
  brindado su amistad.
• Los Doctores y alumnos del PISIS
• Universidad Autónoma de Nuevo León
• Universidad Autónoma de Ciudad Juárez
• Instituto Tecnológico de Culiacán
• Delfín y Academia Mexicana de Ciencias
• Compañeros del verano