Dimensi Tiga

1
Dimensi Tiga (Proyeksi Sudut)
2
Setelah menyaksikan tayangan ini anda
dapat Menentukan proyeksi dan besar sudut
dalam ruang dimensi tiga
3

• Proyeksi Pada Bangun Ruang
• proyeksi titik pada garis
• proyeksi titik pada bidang
• proyeksi garis pada bidang

4

• Proyeksi titik pada garis
• Dari titik P
• ditarik garis m? garis k
• garis m memotong k di Q,
• titik Q adalah
• hasil proyeksi
• titik P pada k

P
m
k
Q
5

• Contoh
• Diketahui
• kubus ABCD.EFGH
• Tentukan proyeksi
• titik A pada garis
• a. BC b.BD
• c. ET
• (T perpotongan
• AC dan BD).

T
6

• Pembahasan
• Proyeksi titik A pada
• a. BC adalah titik
• b. BD adalah titik
• c. ET adalah titik

B
(AB ? BC)
A
T
(AC ? BD)
A
(AC ? ET)
7

• Proyeksi Titik pada Bidang

Dari titik P di luar bidang H ditarik garis g ?
H. Garis g menembus bidang H di titik P. Titik
P adalah proyeksi titik P di bidang H
P
g
P
8

• Contoh
• Diketahui kubus
• ABCD.EFGH
• a. Proyeksi titik E
• pada bidang ABCD
• adalah.
• b. Proyeksi titik C
• pada bidang BDG
• adalah.

9

• Pembahasan
• a. Proyeksi titik E
• pada bidang ABCD
• adalah
• b. Proyeksi titik C
• pada bidang BDG
• adalah
• CE ? BDG

A
P
(EA ? ABCD)
P
10

• Proyeksi garis pada bidang

Proyeksi sebuah garis ke sebuah bidang dapat
diperoleh dengan memproyek- sikan titik-titik
yang terletak pada garis itu ke bidang.
A
B
g
A
g
B
Jadi proyeksi garis g pada bidang H adalah g
11

• Fakta-fakta
• 1. Proyeksi garis pada bidang
• umumnya berupa garis
• 2. Jika garis h ? ? maka
• proyeksi garis h pada bidang ?
• berupa titik.
• 3. Jika garis g // bidang ? maka
• g yaitu proyeksi garis g pada?
• dan sejajar garis g

12

• Contoh 1
• Diketahui kubus
• ABCD.EFGH
• a. Proyeksi garis EF
• pada bidang ABCD
• adalah.

b. Jika panjang rusuk kubus 6 cm, Panjang
proyeksi garis CG pada bidang BDG adalah.
13

• Pembahasan
• a. Proyeksi garis EF
• pada bidang ABCD
• berarti menentukan
• proyeksi titik E dan F
• pada bidang ABCD,
• yaitu titik A dan B

Jadi proyeksi EF pada ABCD adalah garis AB
14

• Pembahasan
• b. Proyeksi garis CG
• pada bidang BDG
• berarti menentukan
• proyeksi titik C
• dan titik G
• pada bidang BDG,
• yaitu titik P dan G

P
6 cm
Jadi proyeksi CG pada BDG adalah garis PG dan
panjangnya?
15
Panjang proyeksi CG pada BDG adalah panjang
garis PG. PG ?.GR ?.½av6
?av6 ?.6v6
P
R
6 cm
Jadi panjang proyeksi garis CG pada bidang BDG
adalah 2v6 cm
16

• Contoh 2
• Diketahui limas
• beraturanT.ABCD
• dengan panjang AB
• 16 cm, TA 18 cm
• Panjang proyeksi TA
• pada bidang ABCD
• adalah.

18 cm
16 cm
17

• Pembahasan
• Proyeksi TA
• pada bidang ABCD
• adalah AT.
• Panjang AT ½AC
• ½.16v2
• 8v2

18 cm
T
16 cm
Jadi panjang proyeksi TA pada bidang ABCD adalah
8v2 cm
18

• Sudut Pada Bangun Ruang
• Sudut antara dua garis
• Sudut antara garis dan bidang
• Sudut antara bidang dan bidang

19

• Sudut antara Dua Garis
• Yang dimaksud dengan
• besar sudut antara
• dua garis adalah
• besar sudut terkecil
• yang dibentuk
• oleh kedua
• garis tersebut

m
k
20

• Contoh
• Diketahui
• kubus ABCD.EFGH
• Besar sudut antara
• garis-garis
• a. AB dengan BG
• b. AH dengan AF
• c. BE dengan DF

21

• Pembahasan
• Besar sudut antara
• garis-garis
• a. AB dengan BG
• 900
• b. AH dengan AF
• 600 (? AFH smss)
• c. BE dengan DF
• 900 (BE ? DF)

22

• Sudut antara
• Garis dan Bidang
• Sudut antara
• garis a dan bidang ?
• dilambangkan (a,?)
• adalah sudut antara
• garis a dan
• proyeksinya pada ?.
• Sudut antara garis PQ dengan V
• sudut antara PQ dengan PQ
• ? PQP

P
23

• Contoh 1
• Diketahui
• kubus ABCD.EFGH
• panjang rusuk 6 cm.
• Gambarlah sudut
• antara garis BG
• dengan ACGE,

6 cm
Kemudian hitunglah besar sudutnya!
24

• Pembahasan
• Proyeksi garis BG
• pada bidang ACGE
• adalah garis KG
• (K titik potong
• AC dan BD)

K
6 cm
Jadi ?(BG,ACGE) ?(BG,KG)
?BGK
25

• Pembahasan
• BG 6v2 cm
• BK ½BD
• ½.6v2
• 3v2 cm
• ?BKG siku-siku di K

K
6 cm
sin?BGK Jadi, besar ?BGK 300
26

• Contoh 2
• Diketahui
• kubus ABCD.EFGH
• panjang rusuk 8 cm.

8 cm
Nilai tangens sudut antara garis CG dan bidang
AFH adalah.
27

• Pembahasan
• tan?(CG,AFH)
• tan ?(PQ,AP)
• tan ?APQ

P
Q
8 cm
Nilai tangens sudut antara garis CG dan bidang
AFH adalah ½v2
28

• Contoh 3
• Pada limas
• segiempat beraturan
• T.ABCD yang semua
• rusuknya sama panjang,

sudut antara TA dan bidang ABCD adalah.
29

• Pembahasan
• TA TB a cm
• AC av2 (diagonal
• persegi)
• ?TAC ? siku-siku
• samakaki

sudut antara TA dan bidang ABCD adalah sudut
antara TA dan AC yang besarnya 450
30

• Sudut antara
• Bidang dan Bidang
• Sudut antara
• bidang ? dan bidang ?
• adalah sudut antara
• garis g dan h, dimana
• g ? (?,?) dan h ? (?,?).
• (?,?) garis potong bidang ? dan ?

?
h
(?,?)
?
g
31

• Contoh 1
• Diketahui kubus
• ABCD.EFGH
• a. Gambarlah sudut
• antara bidang BDG
• dengan ABCD
• b. Tentukan nilai sinus
• sudut antara BDG
• dan ABCD!

32

• Pembahasan
• a. ?(BDG,ABCD)
• garis potong BDG
• dan ABCD ? BD
• garis pada ABCD
• yang ? BD ? AC
• garis pada BDG
• yang ? BD ? GP

P
Jadi ?(BDG,ABCD) ?(GP,PC)
?GPC
33

• Pembahasan
• b. sin?(BDG,ABCD)
• sin ?GPC
• ?v6

P
Jadi, sin?(BDG,ABCD) ?v6
34

• Contoh 2
• Limas beraturan
• T.ABC, panjang
• rusuk alas 6 cm dan
• panjang rusuk tegak
• 9 cm. Nilai sinus sudut
• antara bidang TAB
• dengan bidang ABC
• adalah.

35

• Pembahasan
• sin?(TAB,ABC)
• sin?(TP,PC)
• sin?TPC
• TC 9 cm, BP 3 cm
• PC
• PT

P
3
36
Lihat ? TPC PT 6v2, PC 3v3 Aturan
cosinus TC2 TP2 PC2 2TP.TC.cos?TPC 81 72
27 2.6v2.3v3.cos?TPC 36v6.cos?TPC 99
81 36v6.cos?TPC 18 cos?TPC

T
9 cm
6v2
A
C
2
3v3
1
P
B
37
Lihat ? TPC cos?P Maka
diperoleh Sin ?P Jadi sinus ?(TAB,ABC)

12
P
v6
38

• Contoh 3
• Diketahui kubus
• ABCD.EFGH, pan-
• jang rusuk 4 cm
• Titik P dan Q
• berturut-turut
• di tengah-tengah
• AB dan AD.

4 cm
Q
P
Sudut antara bidang FHQP dan bi- dang AFH adalah
?. Nilai cos?
39

• Pembahasan
• ?(FHQP,AFH)
• ?(KL,KA)
• ?AKL ?
• AK ½av6 2v6
• AL LM ¼ AC
• ¼av2 v2
• KL
• 3v2

4 cm
K
?
Q
L
M
P
40

• Pembahasan
• AK 2v6 , AL v2
• KL 3v2
• Aturan Cosinus
• AL2 AK2 KL2 2AK.KLcos?
• 2 24 18 2.2v6.3v2.cos?
• 24v3.cos? 42 2
• 24v3.cos? 40
• cos?

K
?
M
L
A
Jadi nilai cos?
41

• SELAMAT BELAJAR