Lopta

1
LOPTA
,,Ne dirajte moje krugove! - ,, Noli turbare
circulus meos ! ARHIMED
2
Gimnazija Pirot
Lopta
Maturski rad iz matematike

Maj 2006
3
O kvadraturi kruga
Stereometrija
Broj p
Lopta i delovi lopte
Izracunajte V i P
Lopta i poliedri
Primena lopte u arhitekturi
Lopta i obrtna tela
Zadaci
4
KVADRATURA KRUGA
Pocetak

• Jedan od tri nerešiva problema Antike je
  kvadratura kruga
• KONSTRUISATI KVADRAT ISTE POVRŠINE
  KAO KRUG!
• Hiljadama godina problem zaokuplja pažnju
  matematicara.
• Tek u XX veku dokazana je nerešivost
  problema geometrijskim sredstvima.
• Danas je izraz kvadratura kruga metafora za
  besmisleno!
• Ova oblast matematike nazvana je
  pseudomatematika,
• a lekarska dijagnoza za obuzete problemom
  glasi morbus ciclometricus!
• Analogon krugu i kvadratu u prostoru su kocka i
  lopta.
• Njihova kombinacija cesta je u arhitekturi
  KOCKA I KUPOLA.
• KRUG I KVADRAT, TO SU ELEMENTARNA SLOVA
  ARHITEKTURE!
• Ledu, arhitekt

5
LUDOLFOV BROJ p
Pocetak

• p je ne samo IRACIONALAN, vec i
  TRANSCEDENTAN broj!
• (nije rešenje nijedne algebarske jednacine).
• Zato je geometrijska konstrukcija broja p
  nemoguca! (Lindeman, 1882)
• TRANSCEDENTNOST BROJA p JE ODGOVORNO ZA
• NEREŠIVOST KVADRATURE KRUGA!
• Vavilon i Biblija nalaze p 3
• U Egiptu 2000 g.p.n.e. Ahmes (Rindov papirus)
  daje p (16/9)² 3,16
• Arhimed 280 (god. p.n.e.) odreduje granice broja
  p metodom dvostranog iscrpljivanja tj.
  upisivanjem i opisivanjem mnogouglova u krug.
  Došavši do 96-ugla Arhimed daje granice broja p
• 223/71 lt p lt 22/7 tj.
  p3,14
• Ludolf van Kalen (XIIv.) nalazi 35 decimala broja
  p ( Ludolfov broj p)
• U Muzeju otkrica u Parizu, može se ocitati sedam
  stotina sedam decimala broja p ispisanih po
  zidovima elipsaste palate!

Rindov papirus
6
STEREOMETRIJA
Pocetak
Arhimed

• Do Arhimeda (III vek p.n.e.) stare civilizacije
  površinu kruga odreduju samo približno.
• Arhimed (287-212 god. p.n.e.) iz Sirakuze najveci
  ?? univerzalni um starog veka, jedan od tri
  mudraca Antike po Plutarhu. Studirao je u
  Aleksandriji, tadašnjem kulturnom centru sveta.
• Formule vezane za krug, loptu (l), valjak (v),
  kupu (k) odredio je Arhimed
• Vl2/3Vv Vk1/3Vv Vl(VvVk)/2
• Na Arhimedovom skromnom grobu u Sirakuzi nalaze
  se valjak i upisana lopta po njegovoj želji.
• Metod je jedino sacuvano Arhimedovo delo, koje
  je inspirisalo najvece matematicke umove tokom
  stoleca.

7
Pocetak
Lopta i delovi lopte
Lopta (sfera) je geometrijsko telo koje je
potpuno oblo i ciji je poprecni presek kružnog
oblika. Sve tacke na površini lopte nalaze se na
jednakoj udaljenosti od centra lopte i ta
udaljenost se naziva poluprecnik lopte i oznacava
se slovom r. Grcki matematicar Arhimedes
ustanovio je da je nepromenljiva velicina "pi"
(B) cija je vrednost približno 3,14 posebno
znacajna za izracunavanje površine i zapremine
lopte.
8
Pocetak
Obrasci za loptu i delove lopte
9
Pocetak
Lopta i poliedri
? Za poliedar ija sva temena pripadaju lopti
kae se da je upisan u loptu,a za loptu da je
opisana oko poliedra. Poliedar ije sve strane
dodiruju loptu je opisan oko lopte,a lopta je u
njega upisana. ? Ako se u poliedar moe upisati
lopta,njen centar se nalazi u taki preseka
simetralnih ravnisvih uglova diedra datog
poliedra. ? Da bi se u prizmu mogla upisati lopta
potrebno je i dovoljno da se u njen normalni
presek moe upisati krug iji je prenik jednak
visini prizme. ? Da bi se u piramidu mogla
upisati lopta dovoljno je danagibni uglovi bonih
strana prema osnovi piramide budu jednaki. ? Ako
se oko poliedra moe opisati lopta,tada njen
centar lei u taki preseka simetralnih ravni
svih ivica poliedra. ? Da bi se oko piramide
mogla opisati lopta potrebno je i dovoljno da se
oko njene osnove moe opisati krug.
10
Pocetak
Lopta i obrtna tela

• Lopta je upisana u prav valjak ako osnove i sve
  izvodnice valjka dodiruju loptu. To je mogue ako
  je prenik osnove valjka jednak visini valjka.
• Lopta je upisana u pravu kupu ako osnova i sve
  izvodnice kupe dodiruju loptu.To je uvek mogue.
• Lopta je opisana oko valjka ako su osnove valjka
  preseci lopte. Oko svakog pravog valjka moe se
  opisati lopta.
• Lopta je opisana oko kupe ako je osnova kupe
  presek lopte i ako vrh kupe pripada odgovarajuoj
  sferi. Oko svake kupe moe se opisati lopta.

11
ZADACI SA PRIJEMNIH ISPITA VEZANI ZA
STEREOMETRIJU
Pocetak

• 1) U loptu je upisana kupa. Ako je precnik osnove
  kupe jednak njenoj izvodnici, naci odnos
  zapremina lopte i kupe.
• 2) U pravoj kupi ciji je precnik jednak
  izvodnici, upisana je lopta.Naci odnos njihovih
  zapremina.
• 3) Neka je ABCD tetraedar ivice a. Ako je K(O,R)
  opisana, a k(O,r) upisana sfera datog tetraedra,
  naci odnos Rr.
• 4) Na horizontalni sto postavljene su cetiri
  lopte poluprecnika r3v2, tako da svaka dodiruje
  dve susedne, a dodirne tacke sa stolom obrazuju
  kvadrat. Na ove cetiri lopte postavljena je peta
  lopta istog poluprecnika, koja dodiruje cetiri
  prethodne. Naci rastojanje centra pete lopte od
  stola i izracunati V piramide cija su temena
  centri ovih pet lopti.

12
PRIMENA LOPTE U ARHITEKTURI
Pocetak

• Na šta se sve arhitektura oslanja
• na matematiku, sa njenim brojevima
• i njihovim zakonima (proporcije,
• razmere, tela, prodori), na prirodu i
• njene principe i oblike, na svet
• tehnika i mašina, na druge
• umetnosti, na cinjenice kulture
• (mitovi, religije, jezik), sve do onog
• cuvenog Korbizjeovog paradoksa da
• je covek geometrijska životinja!
• 
  

Njutnov nadgrobni spomenik
13

Rene Dekart
Isak Njutn
Ptolomej
Saturn
Pjer Ferma
Lajbnic