Introduction aux produits drivs deuxime partie

1
Introduction aux produits dérivés(deuxième
partie)

• Évaluation des options

2
Notation

• c prix dun call européen
• p prix dun put européen
• C prix dun call américain
• P prix dun put américain
• S0 prix de laction
• X prix d exercice
• T maturité de loption
• s volatilité du prix de loption

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Hypothèses

• Pas de frais de transactions
• Tous les profits de transaction sont sujet au
  même taux dimposition
• Le taux sans risque est le même pour les emprunts
  que pour les placements

4
Facteurs affectant le prix des options
5
(suite)
6
Options américaines vs options européennes

• La valeur dune option américaine est au moins
  égale à celle dune option européenne
  correspondante.
• C c
• P p

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Bornes supérieures en labsence de dividende

• Call
• c S0
• C S0
• Put
• P X
• p X e-rT

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Bornes inférieures en labsence de dividende

• Call
• c Max 0, S0 X e-rT
• C Max 0, S0 X, S0 X e-rT
• Put
• p Max 0, X e-rT S0
• P Max 0, X S0, X e-rT S0

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Résumé des bornes en labsence de dividende

• S0 c Max 0, S0 X e-rT
• S0 C Max 0, S0 X, S0 X e-rT
• X e-rT p Max 0, X e-rT S0
• X P Max 0, X S0, X e-rT S0

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La valeur dune option dachat
c f(X,S0 , r, T, s )
c
Valeur maximale
c
temps
Valeur minimale (intrinsèque)
b
8 m
6 m
X
a
S
hors jeu (out of the money)
à parité (at the market)
en jeu (in the money)
11
La valeur dune option de vente
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Options américaines exercice avant léchéance

• Exercice dun call?
• Le prix actuel de laction est de 50.
• Le prix dexercice de loption est de 40.
• Léchéance de loption est dun mois.
• Si lobjectif est de détenir laction pour plus
  dun mois, alors il est préférable dattendre
  pour deux raisons 1) on peut payer plus tard 2)
  le prix de laction peut baisser sous 40 dici
  un mois.
• Si laction est surévaluée, alors il est
  préférable de vendre loption plutôt que
  dexercer et de vendre laction.
• Donc, il nest jamais optimal dexercer un call
  américain avant léchéance.

13
(suite)
14
(suite)

• Exercice dun put?
• Gain dintérêt car on obtient X plus tôt.
• À un certain point, la probabilité que S diminue
  davantage devient plus faible, de sorte quil est
  préférable dexercer.
• Donc, il est parfois optimal dexercer un put
  américain avant léchéance.

15
Parité put-calloptions européennes sans
dividende

• Parité put-call
• c X e-rT p S0

16
Preuve graphique
17
(suite)
18
Exemple dopportunité darbitrage

• Supposons
• c 3 S0 31
• T 3 mois r 10
• X 30 D 0
• Quelles sont les possibilités darbitrage quand
  
• p 2.25 ?
• p 1 ?

19
Solution si p2.25

• Portefeuille A c X erT 3 30 e-.1x.25
  32.26
• Portefeuille B p S0 2.25 31 33.25
• Le portefeuille B est surévalué par rapport à A,
  donc il y une opportunité darbitrage.
• Pour en profiter, il faut acheter le portefeuille
  A (car il vaut moins) et vendre le portefeuille B
  (car il vaut plus).

20
(suite)

• À t0 achat call (-c) vente put (p) vente
  action (S0)
• -3 2.25 31 30.25
• À t0 placer le 30.25 à 10 pour trois mois
• À t0.25 recevoir 30.25 e.10x.25 31.02
• À t0.25, besoin de racheter laction pour la
  retourner
• À t0.25, si ST gt 30 ? exerce call ? profit
  31.02 30 1.02
• À t0.25, si ST lt 30 ? achat action et put
  exercé
• ? profit 31.02 ST (30-ST) 1.02

21
Solution si p1
22
Le modèle binomialdévaluation des options

• Technique très populaire dévaluation doptions
• Développée par Cox, Ross et Rubinstein (1979)
• Cest une méthode numérique VS une méthode
  analytique (ex. Black et Scholes (1973)).
• Larbre représente différents chemins quun actif
  quelconque pourrait suivre au cours dune période
  donnée (la durée de vie de loption).

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Exemple darbre binomial

• Laction du Groupe CGI est actuellement de 30.
• Dans 3 mois, le prix de laction sera soit à 28
  ou à 32.
• On veut calculer le prix dune option dachat
  européenne dont léchéance est de 3 mois et le
  prix dexercice est de 31.

24
(suite)
Arbre du prix de laction
S32
S30
S28
Arbre du prix de loption
c1
c?
c0
25
(suite)

• Si on fait lhypothèse quil ny a pas
  dopportunité darbitrage, il est possible de
  construire un portefeuille sans risque constitué
  dactions et doptions.
• Considérons le portefeuille suivant
• Position longue dans une quantité ? dactions
• Position courte dans une option dachat

26
(suite)

• Valeur du portefeuille à léchéance
• Le portefeuille est sans risque si
• 32? 1 28? gt ? 0.25

32? - 1
30? - c
28? - 0
27
(suite)

• Le portefeuille sans risque est donc
• Position longue dans 0.25 actions
• Position courte dans une option dachat
• Dans 3 mois, la valeur du portefeuille est soit
  de
• (32x0.25) 1 7 ou 28x0.25 7.
• Comme la valeur du portefeuille est la même peu
  importe le prix de laction à léchéance, il
  sagit donc dun portefeuille sans risque et son
  rendement doit être égal au taux sans risque.

28
(suite)

• Si le taux sans risque est de 10 en taux
  continu, alors la valeur présente du portefeuille
  est 7 e-0.1x.25 6.83.
• On peut donc trouver la valeur de loption comme
  suit
• (30x0.25) c 6.83 gt c 0.67
• Quarrive-t-il si c ? 0.67?

29
Arbre binomial généralisation

• À léchéance, le sous-jacent peut augmenter au
  prix Su ou diminuer au prix Sd. De même, le flux
  de loption sera de cu ou cd.

Su cu
30
(suite)

• Construction dun portefeuille sans risque
• Position longue dans ? actions
• Position courte dans une option
• Trouver le ? rendant le portefeuille sans risque
• Su ? cu Sd ? cd

Su? - cu
S? - c
Sd? - cd
31
(suite)

• La valeur présente du portefeuille sans risque
  est (Su ? cu) erT
• Cette valeur doit être égale au coût initial, S?
  c
• Donc, S? c (Su ? cu) erT
• En substituant ? par et
  en simplifiant,
• on obtient, c erT p x cu (1-p) x cd
• où

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Exemple 1

• Le prix de laction est 60
• Le prix dexercice (X) de loption est 62
• u 1.1
• d 0.9
• r 9
• T 0.25
• Quel est le prix dun call européen?

33
Solution
34
Probabilités réelles

• Dans larbre du prix dune action, laction a une
  probabilité réelle q de monter à Su et une
  probabilité réelle (1-q) de diminuer à Sd.
• Donc, EST qSu (1-q)Sd
• La probabilité réelle varie dun investisseur à
  lautre selon ses anticipations et elle est
  utilisée pour évaluer le prix dune action.

35
Probabilités neutres au risque

• La probabilité neutre au risque est celle
  utilisée pour déterminer le prix de loption.
• Cest un artifice de calcul permettant
  dactualiser les flux monétaires dune option au
  taux sans risque (r).
• Il ny a aucun lien entre la probabilité réelle q
  et la probabilité neutre au risque p.
• Les probabilités réelles de hausse et de baisse
  sont en fait déjà incluses dans le prix de
  laction (par le biais de loffre et la demande).
• Donc, peu importe la probabilité réelle (15 ou
  90), le prix de loption sera le même

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Monde risque-neutre

• Pour fins de démonstration, supposons que la
  probabilité rsique-neutre (p) est égale à la
  probabilité réelle (q).
• EST pSu (1-p)Sd
• En substituant p par
• on obtient, EST S erT
• Cela implique, quen moyenne, le prix de
  laction augmente au taux sans risque.

37
(suite)

• Donc, attribuer la probabilité neutre au risque p
  équivaut à assumer que le rendement dune action
  est le même que le taux sans risque (r).
• Dans un monde neutre au risque, tous les
  investisseurs sont indifférents face au risque,
  cest-à-dire quils nexigent pas de compensation
  pour le risque.

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Monde risque-neutre exemple 2

• Reprenons lexemple précédent
• Le prix de laction est de 60
• La probabilité risque-neutre est p .6138
• Dans 3 mois, le prix de laction sera de Su66
  ou Sd54
• La valeur espérée du prix de laction dans 3 mois
  si pq est
• ES3 .6138x66 (1-.6138)x54 61.37
• Le prix de laction capitalisé au taux sans
  risque est
• S erT 60 e.09x.25 61.37

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Arbre binomial à deux périodes
Suu cuu
Su cu
S c
Sud cud
Sd cd
Sdd cdd
40
Exemple 3

• Le prix de laction est 60
• Le prix dexercice (X) de loption est 62
• u 1.1
• d 0.9
• r 9
• T 0.5, deux périodes de 0.25
• Quel est le prix de loption dachat européenne?

41
Solution
Suu 72.6 cuu
Su 66 cu
S 60 c
Sud 59.4 cud
Sd 54 cd
Sdd 48.6 cdd
42
(suite)
43
Arbre binomial à deux périodesgénéralisation
pour une option dachat

• Calculer la probabilité p
• Construire le 3ième niveau de larbre
• cuu max 0 Suu X
• cud max 0 Sud X
• cdd max 0 Sdd X
• Construire le 2ième niveau de larbre
• cu e-r?T pxcuu (1-p)xcud
• cd e-r?T pxcud (1-p)xcdd
• Construire le 1er niveau de larbre
• c e-r?T pxcu (1-p)xcd
• Remarque ?T correspond à lintervalle de temps
  entre deux nuds.

44
Exemple 4 avec une option de vente

• Le prix de laction est de 50
• Le prix dexercice de loption de vente est de
  52
• r 5
• u 1.2
• d .8
• T 2 ans, deux périodes de 1 an
• Quel est le prix de loption de vente européenne?

45
Solution
Suu 72 cuu
Su 60 cu
S 50 c
Sud 48 cud
Sd 40 cd
Sdd 32 cdd
46
(suite)
47
Évaluation doptions américaines exemple 5

• Reprenons les données de lexemple 4
• Quel est le prix de loption de vente américaine?

48
Solution
49
Le modèle de Black Scholes

• Le modèle de Black-Scholes correspond au modèle
  binomial avec un nombre infini dintervalles. Le
  principe de base est donc le même, i.e. quon
  construit un portefeuille sans risque chaque
  période.
• Hypothèses
• Le  ln  du changement de valeur de laction est
  distribué normalement.
• Le modèle nest valide que pour les options
  européennes.
• Le modèle de base ne considère pas les versements
  de dividende.

50
La formule de Black-Scholes
51
La fonction N(x)

• N(x) est la fonction de distribution cumulative
  de la loi normale de moyenne 0 et de variance 1.
• Donc, N(x) est la probabilité quune variable
  normalement distribuée avec une moyenne de 0 et
  une variance de 1 soit inférieure à x.
• Comme la loi normal est symmétrique, N(-x) 1
  N(x).

52
Comment utiliser une table N(x)
Exemples N(1.02) 0.8461 N(-1.02) 1 - 0.8461
0.1539 N(1.31) 0.9049 N(-1.31) 1 0.9049
0.0951
53
Exemple

• Le prix de laction S est 100
• Le prix dexercice X est 95
• La volatilité annuelle s est de 20
• Le taux continu sans risque est 10
• Léchéance de loption T est 3 mois
• Quel est le prix dune option dachat européenne?
• Quel est le prix dune option de vente
  européenne?

54
Solution
N(d1) N(0.81) 0.7910 N(d2) N(0.71)
0.7611 N(-d1) N(-0.81) 0.2090 N(-d2)
N(-0.71) 0.2389
c 100 x 0.7910 95 e-.10x.25 x 0.7611
8.581 p 95 e-.10x.25 x 0.2389 - 100 x 0.2090
1.235
55
Exemple

• Vérifiez que la parité put-call tient lorsque le
  prix de loption de vente et de loption dachat
  est calculé à laide de la formule de
  Black-Scholes.
• p S0 c X erT
• 1.235 100 101.235 8.581 95 e-.10x.25

56
Limites du modèle de Black-Scholes

• Le modèle fait lhypothèse que le taux dintérêt
  est constant.
• Le modèle fait lhypothèse que la volatilité est
  constante.
• La formule nest valide que pour les options
  européennes sur des actions ne versant pas de
  dividendes, alors que dans la pratique, les
  options sont très souvent américaines.

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Autres applications

• Les méthodes dévaluation précédentes
  fonctionnent pour nimporte quel sous-jacent avec
  quelques ajustements
• Indice boursier
• Devises (ou taux de change)
• Obligations (ou taux dintérêt)
• Futures
• Etc.
• Certains titres financiers sont munis doptions
  qui affectent leur valeur
• Obligations convertibles
• Obligations assorties de bons de souscription
• Obligations rachetables
• Ces méthodes peuvent même être adaptées à
  dautres situations comme les options réelles,
  i.e. les options associées à des actifs non
  financiers.