Lexprimentation en physique : le point de vue dun thoricien

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Lexpérimentation en physique le point de vue
dun théoricien

• Jacques Treiner
• Université Pierre et Marie Curie, Paris
• treiner_at_ccr.jussieu.fr

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V. Arnold
Les mathématiques sont cette branche de la
physique où les expériences ne coûtent pas cher.
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Tous les exemples qui vont suivre cherchent à
montrer comment des concepts mathématiques
émergent de situations physiquesexpérimentales
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Avant-propos apéritif
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Naissance de la notion détat quantique
1885 Johan Jacob Balmer remarque que les quatre
longueurs donde du spectre de latome
dhydrogène à 656.3 nm, 486.1 nm, 434.0 nm et
410.2 nm se mettent sous la forme
Ry109677.6 cm-1
1908 Ritz généralise
Cest le début de lidée dassocier à chaque
terme de la différence un état dénergie de
latome, et de considérer que lémission de
lumière se fait lors de transitions dun état à
un autre Bohr 1913 Les amplitudes de transition
seront donc des nombres à deux indices ils
apparaitront peu après comme des éléments de
matrice (Heisenberg, Born, Jordan, 1925).
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La conjecture de Riemann et la chaos quantique
Soit un système classiquement chaotique. On le
traite par la mécanique quantique. Comment se
manifeste dans le spectre quantique le caractère
chaotique du système classique ? Il existe des
similitudes extraordinaires entre les propriétés
de fluctuation des valeurs propres quantiques et
celles de la distribution des zéros de la
fonction zeta sur laxe ½.
Cf Andrew Granville, SMF-Gazette juillet 2003
 Nombres premiers et chaos quantique 
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(No Transcript)
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Plan

• 1. Comprendre
• 2. Quest-ce quune expérience ?
• 3. Modèle mathématique et modèle
• physique une question
• démergence

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Einstein ce qui est incompréhensible, cest que
le monde soit compréhensible

• Perrin expliquer du visible compliqué
• par de linvisible simple, voilà la forme
• dintelligence intuitive à laquelle
• nous devons latomistique.

Invariants, symétries, lois
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Comprendre (et le plaisir qui accompagne)

• cest être capable de recréer le
• monde par la pensée,
• cest imaginer ce quon voit

Est-ce pareil en mathématiques ?
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Galaxie des souris
Consulter les simulations numériques sur le
site http//hubblesite.org/newscenter/archive/rele
ases/video_category/galaxy/interacting/
Josh Barnes
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Pour jouer
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Quest-ce quune expérience ?
En voici deux
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Le bleu du ciel
Les molécules dair diffusent mieux la partie
bleue du spectre solaire que le rouge, car les
modes propres électroniques sont dans
lultraviolet (proche du bleu). Cela reste vfrai
tant que les centres diffuseurs sont plus petits
que la longueur donde de la lumière incidente.
Doù lidée dune expérience
Expérience diffusion de la lumière par un
mélange eauun peu de lait
A 180 degrés, la lumière est rouge, cest le
coucher de soleil A 90 degrés, la lumière est
bleutée, cest le bleu du ciel.
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De lhuile dans un mélange eaualccol
Dans un mélange iso-densité, lhuile se ramasse
en une gouttelette sphérique Sphère volume
maximum pour une surface donnée, surface minimale
pour un volume donné Conclusion (et
généralisation) de lexpérience un liquide
adopte la configuration la plus compacte
compatible avec les contraintes. Dans une
géométrie quasi-2D (films), configuration la plus
compacte signifie surface minimale. Doù
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Films, bulles, mousses, ailes dinsectes, réseaux
routiers optimaux, réseaux de fractures
3 surfaces minimales sappuyant sur deux cercles
Surfaces minimales avec bords libres
Réseau de bulles entre deux lames parallèles
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Sélection des angles
les bulles se raccordent à 120 entre elles, et à
90 sur une paroi
Une structure similaire se voit sur des ailes
dinsecte
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Optimisation dun réseau routier
B
C
A
Toutes les illustrations sont extraites de
 Mathématiques et formes optimales , Belin
D
E
Le réseau optimal entre les villes A, B, C, D et
E est donné par le film de savon qui sappuie sur
les 5 tiges placées entre deux plans parallèles
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Craquelures sur un mur (Fès)
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Moralité
Une expérience est une question posée à la
nature, cest plus quune observation. La nature
répond dans le silence de la parole humaine,
autrement dit Une question est scientifique
(pour les sciences expérimentales) si, pour y
répondre, il faut passer par un stade non-verbal
cest la nature qui sexprime.  Combien
danges tiennent sur une tête dépingle ? nest
pas une question scientifique, car il est
impossible de concevoir une expérience pour y
répondre.
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• Modèle mathématique et modèle
• physique

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Le mouvement brownien
A brief account of microscopical observations on
the particles contained in the pollen of
plants  and on the general existence of active
molecules in organic and inorganic bodies 
(1828)
Robert Brown 1773-1858
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Vidéo un peu de lait dans de leau lait.mov
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Louis-Georges Gouy (1888)
Trajectoires continues sans tangente Particules
indépendantes Mouvement dautant plus vif que les
particules sont petites Mouvement indépendant de
la nature des particules Mouvement plus vif dans
les fluides moins visqueux Mouvement plus vif à
haute température Ne sarrête jamais
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Einstein et la naissance desatomes (1905)
Diffusion dN/S dt - D dn/dx
Sédimentation v mg/(6??r)

• dissipation sous leffet dune force extérieure
• D fluctuation en labsence de force

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Jean Perrin 1913

• Si les fonctions à dérivée sont les plus simples,
  les plus faciles à traiter, elles sont pourtant
  lexception les courbes qui nont pas de
  tangente sont la règle.
• Observons un de ces flocules blancsA chaque fois
  quon augmente le grossissement, on voit
  apparaître des anfractuosités nouvelles Cest
  un caractère essentiel de notre flocon que, à
  toute échelle, on soupçonne, sans les voir tout à
  fait bien, des détails qui empêchent absolument
  de fixer une tangente.
• Bref, le résultat suggéré par latomistique est
  le suivant la densité est partout nulle, sauf
  pour un nombre infini de points isolés où elle
  prend une valeur infinie.

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Marian Smoluchowski
Marche au hasard et mouvement brownien
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Marche au hasard

• Processus sans mémoire le futur ne dépend du
• passé que par lintermédiaire du présent
• (Markov)

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Digression déplacement des animaux en milieu
neutre
30
Marche au hasard
Dimension fractale 2
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Simulations temps1_5_10_30.xls
Moyennes temporelle Moyenne densemble
32
Langevin 1908
Début du calcul stochastique Puis les
mathématiques semparent du problème Wiener,
Lévy etc.
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En économie un exemple
Modèle Prix somme des fluctuations les
variations du prix sont h ou h, avec égales
probabilités, les variations ont lieu à des pas
de temps réguliers, les variations sont
indépendantes
mais en fait, les acteurs ne sont pas
indépendants !
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Mouvement brownien et théorie du potentiel
M
P
P
35
Mouvement brownien et théorie du potentiel
?V0
V
V
V0
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• Passer à la limite Delta t 0

Retour sur la radioactivité
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Le radon en France
IRSN Institut de radioprotection et de sûreté
nucléaire
38
Pompe à main, système de transfert, cellule
scintillante (ZnS)
Photomultiplicateur
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Isotopes

• Le radon-222 a une demi-vie ? 3.8 jours
• mesurable, mais un peu long.
• Le radon-220 a une demi-vie de 56 s plus facile
• à faire

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Les mesures et leur analyse

• On  constate  que ? N(t)/ ?t est indépendant
  de ?t, et
• Proportionnel à la quantité de gaz introduit ?
  N(t)/ ?t - ?N(t).
• On note A(t) N(t) N(t ?t)/ ?t ?N(t) ,
  avec t nh n(?t2)
• Alors A(th) A(t) ?N(th)-N(t) -?A(t)h
• On se donne une valeur de ?? et on calcule donc
  la suite des nombres
• A(n1)h A(nh)1 - ?h
• On cherche sil existe une valeur de ? qui
  permette de reproduire les
• données. radioactivité.xls

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Passage à la limite

• Pour le moment, on na pas parlé déquation
  différentielle,
• mais dun algorithme dévolution.
• Mais le résultat incite à revenir au début, et à
  se demander
• sil ne serait pas intéressant de considérer
  léquation
• obtenue en passant à la limite N(t)- ?N(t)
• En faisant cette démarche, on quitte le domaine
  de la
• physique pour entrer dans celui des
  mathématiques, car le
• passage à la limite na aucun sens expérimental.

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La méthode dEuler
43
Généralisation aux équations de la dynamique
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Tout corps persévère dans létat de repos ou de
mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il
se trouve, à moins que quelque force sapplique
sur lui, et ne le contraigne à changer détat
Les changements qui arrivent dans le mouvement
sont proportionnels à la force motrice, et se
font dans la ligne droite dans laquelle cette
force a été imprimée
autrement dit m?v F?t , et non F ma !
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Lalgorithme caché dans létablissement de la loi
des aires
Lois de Kepler Les trajectoires des planètes sont
des ellipses ayant le Soleil pour foyer Les aires
balayées pendant des intervalles de temps égaux
sont égales Le rapport du cube du demi-grand axe
au carré de la période est le même pour toutes
les planètes
V(n1)
hF(n1)/m
V(n)
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Méthodes de discrétisation
Euler
Newton-Hooke
newton_hooke.xls
47
Newton-Hooke
48

• Comment enseigner la mécanique ?
• du discret au continu ?
• du continu au discret ?

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La population mondiale
50
Prévoir lévolution de la population ?
milliards
anticipation
Peut-on vraiment espérer une saturation ?
année
51
taux de naissancetaux de mortalitétaux de
croissance
La transition démographique
Société traditionnelle
Société développée
évolution de la population totale
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Extrapolations
Taux de fécondité moyen par âge (pour 1000 femmes)
Total 1660 1880
1993
2003
âge
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France 2000
France 2050
pyramide_10classes_mieux.xls
54
Inde 2000
Inde 2050
55
Une expérience interroge la natureUne expérience
numérique interroge le modèle
Conclusion

• Une science expérimentale ne
• commence pas avec lobservation,
• mais avec linterrogation sur
• lobservation