Mtodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales

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Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones
lineales
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Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones
lineales

• Introducción
• Ecuación del Calor
• Método de Jacobi
• Método de Gauss-Seidel
• Método de Sobrerrelajación
• Problema del Condensador

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Métodos directos frente a métodos iterativos

• DIRECTOS
• Ax b
• x A\ b
• Tamaño moderado
• Modifican la estructura
• Error de redondeo

• ITERATIVOS
• x Cx d
• x(k1) Cx(k) d
• Tamaño grande
• Conservan los ceros
• Error de truncamiento

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Convergencia y número de operaciones

• Coste (para matrices densas)
• Directos n3 Iterativos k.n2
• Convergencia
• Criterio de parada

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Ecuación del Calor

• Sistema de ec. lin.

• Matriz asociada

T0 T1 T2 . . . Tn Tn1
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Matriz de la Ecuación del Calor con MATLAB

• function A mcalor1(n)
• v ones(1,n-1)
• A 2eye(n) - diag(v,1) - diag(v,-1)

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El método de Jacobi

• Sistema de ecuaciones lineales

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Ecuación de punto fijo
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Iteración de Jacobi
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Expresión matricialResolución con MATLAB

• U triu(A,1) L tril(A,-1)
• d diag(A)
• x (b-(LU)x)./d

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Condición suficiente de convergencia

• Matriz estrictamente diagonalmente dominante
  para i1,2,...,n
• Si A es estrictamente diagonalmente dominante,
  los iterados de Jacobi convergen a la solución
  del sistema partiendo de cualquier estimación
  inicial.

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Iteración de Gauss-Seidel
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Expresión matricialResolución con MATLAB

• d diag(A) D diag(d)
• U triu(A,1) L tril(A,-1)
• x (L D)\(b - Ux)

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Método de sobrerrelajación
xik
zi
xik1
15
Paso de sobrerrelajación
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Expresión matricialResolución con MATLAB

• D diag(diag(A))
• c wb C (1-w)D - wU
• x (wL D)\(c Cx)

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Condición suficiente de convergencia

• Matriz simétrica definida positiva
• AT A, xTAx gt 0
• Si A es simétrica definida positiva y 0ltwlt2, los
  iterados de SR convergen a la única solución del
  sistema, partiendo de cualquier estimación
  inicial.

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Ecuación del Calor en un rectángulo
N
C
E
W
S

• VC (VN VS VE VW)/4

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Generación de la matriz con MATLAB

• function A mcalor2(m,n)
• p mn
• v ones(1,p-1)
• for knnp-1, v(k) 0 end
• w ones(1,p-n)
• A 4eye(p) ...
• - diag(v,1) - diag(v,-1) ... - diag(w,n) -
  diag(w,-n)

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Resumen

• Los métodos iterativos se aplican a matrices
  grandes y dispersas.
• El coste por iteración es O(n2) o menor si se
  aprovecha la dispersidad
• Se espera que converjan en menos de n pasos.
• La matriz ha de cumplir ciertas condiciones para
  que el método converja.