Sin ttulo de diapositiva

1
CIRCUNFERENCIA
TEORÍA PROPIEDADES PROBLEMAS RESUELTOS
ABRAHAM GARCÍA ROCA
agarciar_at_correo.ulima.edu.pe
2
CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico de un
conjunto de infinitos puntos que equidistan de un
punto situado en el centro.
3
ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
?
4
PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
01.-Radio trazado al punto de tangencia es
perpendicular a la recta tangente.
5
02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda
la biseca (divide en dos segmentos
congruentes).
6
03.-Cuerdas paralelas determinan arcos
congruentes entre las paralelas.
7
04.- A cuerdas congruentes en una misma
circunferencia les corresponden arcos
congruentes.
8
POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS
01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el
mismo centro.
d Cero d distancia

9
02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen
punto en común.
d gt R r
10
03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.-
Tienen Un punto común que es la de tangencia.
d R r
11
04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.-
Tienen un punto en común que es la de tangencia.
d R - r
d Distancia entre los centros
12
05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos
comunes que son las intersecciones.
( R r ) lt d lt ( R r )
13
06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son
perpendiculares en el punto de intersección.
d2 R2 r2
14
06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen
puntos comunes.
d lt R - r
d Distancia entre los centros
15
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
1.- Desde un punto exterior a una circunferencia
se puede trazar dos rayos tangentes que
determinan dos segmentos congruentes.
AP PB
16
2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son
congruentes
AB CD
17
3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son
congruentes.
AB CD
18
TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo
rectángulo, la suma de longitudes de catetos es
igual a la longitud de la hipotenusa mas el doble
del inradio.
a b c 2r
a b 2 ( R r )
19
TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero
circunscrito a una circunferencia, se cumple que
la suma de longitudes de los lados opuestos son
iguales.
a c b d
20
(No Transcript)
21
1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la
medida del arco que se opone.
22
2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la
semisuma de las medidas de los arcos opuestos
23
3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de
la medida del arco opuesto.
24
4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al
medida del arco opuesto.
25
(No Transcript)
26
6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos
a.- Medida del ángulo formado por dos rectas
tangentes.- Es igual a la semidiferencia de las
medidas de los arcos opuestos.
27
b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es
igual a la semidiferencia de la medida de los
arcos opuestos.
28
c.- Medida del ángulo formado por una recta
tangente y otra secante.- Es igual a la
semidiferencia de las medidas de los arcos
opuestos.
29
PROBLEMAS RESUELTOS
30
Problema Nº 01
RESOLUCIÓN
Por ángulo semi-inscrito PQS
PSQ x
Reemplazando
2X
En el triángulo PQS
X (X70) 50 180
Resolviendo la ecuación
140
X 30
31
Problema Nº 02
RESOLUCIÓN
En el triángulo rectángulo RHS
PSQ x
m ? S 70º
Por ángulo inscrito
140
Es propiedad, que
140 X 180
X 40
Resolviendo
32
Problema Nº 03
RESOLUCIÓN
APD x
130
50
Resolviendo
X 40
33
Problema Nº 04
RESOLUCIÓN
Se traza el radio OM
APN x
Dato OM(radio) PM
Luego triángulo PMO es isósceles
54
Ángulo central igual al arco
x
Medida del ángulo exterior
Resolviendo
X 18
34
Problema Nº 05
RESOLUCIÓN
Por la propiedad del ángulo exterior formado por
dos tangentes
PRQ x
110
Medida del ángulo inscrito
X 55
Resolviendo
35
Problema Nº 06
Calcule la medida del ángulo X.
36
RESOLUCIÓN
140º
Medida del ángulo inscrito
Por la propiedad del ángulo exterior formado por
dos tangentes
X 40º
140º x 180º
Resolviendo
37
Problema Nº 07
Calcular la medida del ángulo x
38
RESOLUCIÓN
260º
Medida del ángulo inscrito
En la circunferencia
Por la propiedad del ángulo exterior formado por
dos tangentes
X 80º
39
Problema Nº 08
Calcule el perímetro del triángulo ABC.
40
RESOLUCIÓN
Teorema de Poncelet a b 10 2(2)
a b 14
Luego el perímetro (2p) a b 10 14 10

(2p) 24
Reemplazando (1) en (2)
(2p) 14 10
41
Problema Nº 09
PLANTEAMIENTO
80º
42
RESOLUCIÓN
En la circunferencia
2a 80º 360º a 140º
Medida del ángulo exterior
X 30º
43
Problema Nº 10
PLANTEAMIENTO
44
RESOLUCIÓN
Dato a b c d 22cm
Teorema de Poncelet
?PQR ? a b PR2(3)
?PSR ? c d PR2(2)
a b c d 2PR 10
PR 6cm