Estad

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EstadísticaMaestría en FinanzasMercado de
Capitales

• Alberto Landro
• Pablo M. Federico

Pablo M. Federico 21 de Marzo de 2007
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Clase 1
1. Las Definiciones de Probabilidad
2. La Axiomática Clásica
3. La Relación de Independencia Estocástica
4. El Teorema de la Probabilidad Total
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1. Las Definiciones de Probabilidad

• Sea Y(t) el valor a asumir por un fenómeno
  (dinámico) en caulquier momento t futuro
• Nuestro objetivo es contar con las herramientas
  suficientes para poder explicar su comportamiento
• Para ello debemos contar con un conjunto de
  causas que afectan su comportamiento y un
  mecanismo que las relacione al fenómeno

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1. Las Definiciones de Probabilidad

• Asociado a cualquier Y(t) quedará definido un
  conjunto infinito de causas que afectan dicho
  fenómeno.
• O(Y) Y(t), x1(t), x2(t), ....
• Sin embargo Y(t) es un fenómeno fáctico por lo
  que también necesitamos de observaciones
  empíricas.
• Asimismo, por mas que la estructura causal de
  Y(t) sea un conjunto formado por infinitos
  elementos, tenemos la sensación de que algo
  conocemos respecto al fenómeno. Definimos
• ?(Y) Y(t), x1(t), x2(t),....,xk(t)

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1. Las Definiciones de Probabilidad

• El cual es un subconjunto finito de O(Y) formado
  por todas las causas que afectan Y(t) y que el
  obervador conoce
• Nuestra explición del fenómeno Y(t) entonces será
  función de ?(Y)
• Dado que estamos interesados en los aspectos
  cuantitativos del fenómeno, nuesto modelo queda
  expresado como
• Y(t) Y(t) e(t)

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1. Las Definiciones de Probabilidad

• Nuestro objetivo entonces es atender los
  aspectos prácticos de ambas partes del modelo
• e(t) , donde estudiaremos el azar ó la
  ignorancia del observador
• Y(t), en donde veremos un menú de formas óptimas
  de modelos
• Para entender e(t) debemos contar con una Teoría
  de la Probabilidad o una teoría que nos permita
  medir el azar. Recordemos las 3 definiciones de
  probabilidad.

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1. Las Definiciones de Probabilidad

• Definición Clásica Si existe un fenómeno de
  resultado eventual, asociado a dicho fenómeno se
  podrá definir el conjunto (finito) de sus
  posibles resultados
• O(Y) w1, w2, w3....., wn
• De dicho conjunto queremos estudiar la
  ocurrencia de uno de sus posibles resultados, al
  que definiremos como evento (E)
• La probabilidad de ocurrencia de un evento se
  mide entonces como la relación entre los
  resultados favorables (m) y los resultados
  posibles (n)

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1. Las Definiciones de Probabilidad

• Definición Frecuencista Absolutamente
  fundamentada en la experimentación, se trata de
  obtener una probabilidad de ocurrencia de E a
  partir de n observaciones del fenómeno Y
• Definición Subjetivista El observador, apartir
  de cierta información que posee del fenómeno bajo
  estudio, asigna una probabiildad de ocurrencia
  del mismo, de la forma
• P(E / ?)

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2. La Axiomática Clásica

• Dado un fenómeno dinámico Y(t), cuyo valor no
  puede ser predicho en forma determinística, se
  define como evento (E) a todo suceso cuya
  ocurrencia este supeditada a la realización de
  Y(t)
• Asociado a Y(t) se define un conjunto de
  resultados posibles que constituyen el espacio
  muestral
• O w1, w2, w3....., wn
• Todo evento se identifica con una proposición S
  que, con relación a los resultados wi ,resulta
  verdadera o falsa

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2. La Axiomática Clásica

• Ejemplo Suponga el experimento que implica
  arrojar 3 veces una moneda.
• El espacio muestral (O) esta definido como
• O CCC,CCS,CSC,SCC,CSS,SCS,SSC,SSS
• Podemos definir varios eventos, dentro de ellos
  E1 obtener dos veces cara, y E2 obtener dos
  veces seca. Los subconjuntos del dominio de O
  para cada evento son
• E1 CCS,CSC,SCC E2 CSS,SCS,SSC

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2. La Axiomática Clásica

• Es posible aplicar las siguientes operaciones
  lógicas a los eventos
• La negación de E, E, define el evento que se
  verifica siempre que E no se verifique
• Dados dos eventos E y E, (E ? E) define un
  evento que se verificará cuando se den ambos
  eventos
• Dados dos eventos E y E, (E V E) define un
  evento que se verificará cuando al menos uno de
  los dos eventos se verifique
• Dados dos eventos E y E, (E C E) implica que
  cada vez que se verifica E se verifica E

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2. La Axiomática Clásica

• Entonces apliquemos estas operaciones lógicas a
  el ejemplo de la moneda...
• Cual es el dominio de E1?
• Cual es el dominio de E2 ? E1?
• Cual es el dominio de E2 V E1?
• Que evento E sería tal que E2 C E?
• Que evento E sería tal que (E2 V E1) C E?

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2. La Axiomática Clásica

• Axiomas sobre eventos
• Axioma I siempre existe un número real no
  negativo, p(E), al que se denominará probabilidad
  de ocurrencia
• Axioma II la probabilidad de que ocurra al menos
  uno de los eventos incluídos en el espacio
  muestral es igual a 1 p(O)1
• Axioma III Si E y E son dos eventos
  incompatibles o mutuamente excluyentes, entonces
• E ? E Ø p(E V E) p(E) p(E)

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2. La Axiomática Clásica

• De los axiomas anteriores se desprende
• E ? E Ø y E V E O
• p(E V E) p(E) p(E) p(O) 1
• y
• p(E) 1 - p(E)

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2. La Axiomática Clásica

• Sigamos con nuestro experimento que implica
  arrojar 3 veces una moneda. Recordar el espacio
  muestral
• O CCC,CCS,CSC,SCC,CSS,SCS,SSC,SSS
• Asignamos una probabilidad de ½ de obtener cara.
  Luego queremos calcular la probabilidad de 3
  eventos (CSS, SCS, SSC)
• Aplicando la definición clasica tenemos
• p(CSS) 1/8 p(SCS) 1/8 p(SSC) 1/8

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2. La Axiomática Clásica

• La probabilidad de verificar el evento una vez
  cara entonces se puede obtener de sumar las
  probabilidades anteriores, ya que dichos eventos
  son incompatibles entre sí. Entonces,
• p(una vez cara) p(CSS V SCS V
  SSC)
• p(CSS) p(SCS) p(SSC) 1/8 1/8 1/8 3/8
  
• El evento E obtener al menos una vez cara se
  verifica con una probabilidad de
• p(E) 1 - p(E) 1 - p(de no obtener nunca cara)
  1 1/8 7/8

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2. La Axiomática Clásica

• Axioma IV Probabilidad Conjunta
• Se dice que el evento E esta estocásticamente
  condicionado por el evento B cuando la
  probabilidad de verificar E depende de que B se
  verifique o no
• De lo que se desprenden

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2. La Axiomática Clásica

• Ejemplo Cantidad de espadas que se pueden
  obtener en dos extracciones, sucesivas y sin
  reponer, de un mazo de 40 cartas.
• El evento E es extraer una espada en la primer
  extracción. El evento B es extraer una espada
  en la segunda extracción. Y por lo tanto (B/E)
  es obtener una espada en la segunda extracción
  dado que la primera fue espada. Entonces

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2. La Axiomática Clásica

• Ejemplo 4 de Acerca de la Probabilidad (pag
  47)
• Suponga 6 lanzamientos de un dado clásico. Sean
  E1 , E2 , E3 , E4 , E5 y E6 los eventos que
  incluyan que el resultado obtenido en cada
  lanzamiento sea distinto a todos los precedentes.
  
• Hallar la probabilidad de que en los 6
  lanzamientos se produzcan resultados distintos.

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2. La Axiomática Clásica

• Ejemplo 5 de Acerca de la Probabilidad (pag
  47)
• Se denomina confiabilidad de un vuelo espacial a
  la probabilidad de éxito en el primer intento de
  lanzamiento, siendo p1 0.81. Suponga que si el
  lanzamiento falla, la probabilidad de que se
  produzca una explosión es de p2 0.05. Por otro
  lado, existe un sistema que detiene la operación
  si falla el intento de lanzamiento y antes de la
  explosión, al cual se le asigna una confiabilidad
  de p3 0.90.
• Hallar la probabilidad de los siguiente eventos
  E1-que el lanzamiento falle. E2-que el
  lanzamiento falle pero no exista explosión.
  E3-que el lanzamiento falle y que el sistema de
  detención funcione. E4-que la tripulación
  sobreviva.

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3. La Relación de Independencia Estocástica

• Dos eventos, E y B, son estocásticamente
  independientes si
• ó
• Tres eventos, E, B y D son estocásticamente
  independientes si

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3. La Relación de Independencia Estocástica

• Ejemplo 8 de Acerca de la Probabilidad (pag
  51)
• Suponga dos urnas. La primera con 3 bolillas,
  una blanca, una roja y una negra. La otra con 4
  bolillas, las mismas tres y una amarilla. Se
  extrae una bolilla al azar de cada una.
• 1-Determinar si los eventos E1B1 R1 y H1
  B1 N1 son estocásticamente independientes.
• 2-Determinar si los eventos E2B2 R2 y H2
  B2 N2 son estocásticamente independientes.
• 3-Sumar a 2 el evento G2B2 A2 y determinar
  si los 3 son estocásticamente independientes.

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4. El Teorema de la Probabilidad Total

• Cuando tratamos de eventos que son no
  excluyentes entre sí
• Teorema para dos eventos, A y B
• Teorema para tres eventos, A, B y C
• Ejercicio Determinar la probabilidad de que, al
  extraer una carta de un mazo de 40 cartas
  españolas, se obtenga el evento oro ó basto ó
  as.

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• Fin

Me pueden contactar en pablofeder_at_gmail.com Las
presentaciones estan colgadas en www.cema.edu.ar/
u/pmf03
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