DISTRIBUCION NORMAL

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DISTRIBUCION NORMAL

• Mario Briones L.
• MV MSc
• 2005

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Características de la distribución normal

• Es simétrica en torno a la media m
• La media (promedio) mediana y moda son iguales.
• El área total bajo la curva y sobre el eje X es
  una UNIDAD DE AREA

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Características de la distribución normal

• La distribución normal es una función que tiene
  sólo dos parámetros la media poblacional (m) y
  la varianza (s2).
• La densidad normal alcanza un máximo cuando la
  variable tiene un valor igual a m y disminuye
  continua y simétricamente en ambas direcciones en
  la medida que la variable se desvía de m.
• Una variable con distribución normal m y varianza
  s2 se denota por z N(m s2) donde significa
  se distribuye.

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Algunas propiedades

• La distribución de muchas variables biológicas es
  aproximadamente normal. Toda variable cuya
  expresión sea el resultado de contribuciones
  aditivas de pequeño efecto tenderán a
  distribuirse normalmente.

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NORMALIDAD
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(No Transcript)
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Algunas propiedades

• Mediciones que no son normales pueden volverse
  aproximadamente normales con una simple
  transformación de escala. Ej. raíz cuadrada
  logaritmo.
• El recuento de unidades formadoras de colonias o
  el recuento de células somáticas deben ser
  transformados a logaritmo para ser analizados
  estadísticamente.

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Algunas propiedades

• La distribución normal es relativamente fácil de
  trabajar matemáticamente. Muchos resultados
  útiles en estadística pueden ser derivados si la
  distribución es normal. Incluso cuando las
  muestras provienen de distribuciones no normales.

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Algunas propiedades

• Incluso si la distribución original de la
  población no es normal la distribución de las
  medias de repetidos muestreos tenderán a ser
  normales con muestreo aleatorio y en la medida
  que el tamaño de la muestra aumenta

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Algunas propiedades

• Si al observar los estimadores de una muestra
  obtenida al azar desde una población y la MEDIA
  la MEDIANA y la MODA tienen valores parecidos y
  si observamos un histograma y vemos que la mayor
  frecuencia de observaciones se agrupa en torno a
  la media con colas hacia los extremos de la
  distribución podemos asumir que

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Algunas propiedades

• LOS DATOS PROVIENEN DE UNA POBLACIÓN CON
  DISTRIBUCIÓN NORMAL
• Si esto sucede podemos aplicar las propiedades
  de la distribución normal a las inferencias que
  hagamos a partir de los datos de la muestra por
  ejemplo podemos decir que por encima del
  promedio obtenido en la muestra se debería
  ubicar el 50 de la población.

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Algunas propiedades

• Cuando la distribución normal tiene media igual a
  cero y desviación estándar igual a 1 se trata de
  una distribución normal estandarizada.
• Existen tablas de área bajo la curva y altura de
  la ordenada para la distribución normal
  estandarizada en todos los libros de estadística

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Deformaciones o desviaciones de la
distribución normal.

• CURTOSIS

g2 0
g2gt 0
g2lt 0
14
Coeficiente de curtosis
s desviación estándar
15
Deformaciones o desviaciones de la
distribución normal.

• Error estándar de la curtosis
• Si entonces la distribución no
  es normal.

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Deformaciones o desviaciones de la
distribución normal.

• COEFICIENTE DE ASIMETRIA

g1 0
g1gt 0
g1lt 0
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Coeficiente de asimetría
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Deformaciones o desviaciones de la
distribución normal.

• Coeficiente de asimetría
• Error estándar del coeficiente de asimetría
• Si la distribución no
  es normal.

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DISTRIBUCION NORMAL ACUMULATIVA
(fragmento obtenido con la función DISTRIBUCION
NORMAL ESTANDARIZADA de Excel)
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A 0.68 68
m 0 s 1
-1s m 1s
m 0 s 1
A 0.95 95
-2s -1s m 1s 2s
21
A 0.99 99
m 0 s 1
-3s -2s -1s m 1s 2s 3s
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ejemplo Cuál es la probabilidad de que una
desviación normal caiga entre -1.62 y 0.28
-3 -2 -1 0 1 2 3
Se divide el intervalo en dos partes 1. de
-1.62 a 0 A1 0.4474 2. de 0 a 0.28
A2 0.1103 Probabilidad total 0.5577
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TABLA DE DISTRIBUCION ACUMULADA
Esta tabla se utiliza con mayor frecuencia.
Entrega el área bajo la curva desde cero hasta Z.
Probabilidad de un valor Fórmula 1.
Entre 0 y Z
A 2. Entre -Z y Z
2A 3. Fuera del intervalo -Z Z 1
- 2A 4. Menor que Z (Z positivo)
0.5 A 5. Menor que Z (Z negativo)
0.5 - A 6. Mayor que Z (Z positivo)
0.5 - A 7. Mayor que Z (Z negativo)
0.5 A
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Estandarización de una distribución normal

• CUALQUIER VALOR xi EN UNA DISTRIBUCIÓN PUEDE SER
  ESTANDARIZADO SOBRE LA BASE DE SU DISTANCIA DESDE
  LA MEDIA MEDIDA EN UNIDADES DE DESVIACIÓN
  ESTANDAR.
• AL HACER ESTO LA MEDIA DE LA DISTRIBUCION SE
  HACE CERO Y LA DESVIACIÓN ESTANDAR ES LA UNIDAD
  DE LA ESCALA.

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TABLAS DE DISTRIBUCION NORMAL
TODAS LAS TABLAS ESTANDARES DE DISTRIBUCION
NORMAL TIENEN MEDIA CERO Y DESVIACION ESTANDAR 1
Existe una medición X con mediay desviación
estándar y se desea utilizar la curva
normal. Se debe transformar la escala de X de tal
manera que la media se hace cero y la desviación
estándar 1. Este re escalamiento está dado por
la relación
desviación estándar normal
obtención del
valor X a partir de Z
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VARIABLE X Peso de nacimiento de terneros de
carne machos y hembras de las razas Hereford
Angus e Híbridos
Cuál es el valor estandarizado (media cero y
desviación estándar igual a 1) para un peso de
nacimiento de 50 kilos
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Con los mismos datos anteriores
Cuál es la probabilidad de un peso de ternero al
nacimiento entre 50 y 55 kilos ambos
incluidos Cuál es la probabilidad de que un
ternero pese 30 kilos o menos
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Respuestas
Límite inferior 50 kilos Z (50 39.4)/6.15
1.72 Límite superior 55 kilosZ (55
39.4)/6.15 2.53
Area 0.4943-0.4573 0.037
Escala normalizada
0 1.72 2.53
z Escala real
39.40 50 55
kilos
Area 0.4943
Area 0.4573
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La pregunta en sentido inverso

• Entre que pesos por sobre y bajo el promedio se
  ubica el 50 de los datos de peso de nacimiento
  en la población de terneros a la cual pertenece
  la muestra

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A partir de un área bajo la curva determinar el
valor z
0.25 0.25
z m z
En este caso se busca en el cuerpo de la tabla
un valor de área lo más parecido a 0.25 y en
los márgenes se determina a que valor de z
corresponde en este caso es 0.675 y -0.675
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A partir del valor z determinar el valor en
kilos o la variable correspondiente

• Entre 0.675 y -0.675 unidades estandarizadas de
  la curva normal (desviaciones estándares) se
  ubica el 50 de probabilidades de valores de
  peso.
• Si en el caso de la variable peso la desviación
  estándar es de 6.15 kilos entonces la distancia
  en el eje medida en kilos es de 6.15 x 0.675
  4.15 kilos
• Respuesta m 4.15 kilos