Serie 4 Dinmica de Procesos

1
Serie 4 Dinámica de Procesos
2
Función de Transferencia

• Se define como G(s) Y(s) / X(s)
• Representa un modelo normalizado de un proceso,
  donde Y(s) es la variable de salida y X(s) es una
  de las entradas.
• Y(s) and X(s) están expresadas como variables
  desviación.
• La forma de la función de transferencia
  representa el comportamiento dinámico del proceso.

X(s)
PROCESO G(s) Y(s) / X(s)
Y(s)
3
Pasos para hallar la G(s)

• Plantear el balance correspondiente

Ecuación diferencial (ED)
4
Ecuación diferencial (ED)
Lineal?
Sí
No
Linealizar
Ecuación diferencial lineal
5
Linealizar con expansión en serie de Taylor
Si la ecuación diferencial no es lineal, hay que
linealizar los términos no lineales de la misma
(por ejemplo, exp(a), a2, ab, b1/2).

• Esta expresión provee una aproximación lineal de
  la función y(x) alrededor de xx0.
• Cuanto más cercano sea x a x0, más exacta será la
  aproximación.
• Cuanto menos lineal sea la ecuación original,
  menos exacta será la aproximación.

6
Ecuación diferencial lineal
Restar balance en estado estacionario
Sí
Ecuación diferencial lineal en variables
desviación
No
Aplicar Transformada de Laplace
Ecuación algebraica en s (Y f (X, Z, W, )
7
Ecuación algebraica en s (Y f (X, Z, W, )
Aplicar principio de superposición
Sí
Ecuación algebraica Y(s) f (X(s))
No
Reordenar
Función de transferencia G(s) Y(s) / X(s)
8
Función de transferencia G(s) Y(s) / X(s)
Aplicar cambio en X y antitransformar
Sí
Respuesta temporal y(t)
No
Aplicar TVI
Aplicar TVF
y(?)
y(0)
9
Teorema del Valor Final

• Permite usar la transformada de Laplace de una
  función para determinar el valor final de estado
  estacionario de esa función.

10
Teorema del Valor Inicial

• Permite usar la transformada de Laplace de una
  función para determinar el valor inicial de esa
  función.

11
Respuesta Dinámica

• Siendo a, b, c y d, constantes positivas, la
  función de transferencia muestra respuestas de
  caída exponencial, oscilatoria y crecimiento
  exponencial, respectivamente.

12
Polos en el plano complejo
ai y bi son constantes positivas. Ki son
constantes arbitrarias y pueden determinarse por
expansión en fracciones simples.
13
Caídaexponencial
Raíces y respuestas
Real negativa
Complejas conjugadas con parte real negativa
SinusoideAmortiguada
Complejas conjugadas con parte real positiva
Sinusoidecreciente(inestable)
14
Comportamiento Inestable

• Si la salida de un proceso crece ilimitadamente
  para una entrada acotada, el proceso es
  inestable.
• Si la parte real de cualquier polo de una función
  de transferencia es positiva, el proceso es
  inestable.
• Si algún polo está localizado en el plano
  derecho, el proceso es inestable.

15
Ejemplo
Mezcla de dos corrientes con cp 1. Nivel
constante. ? vs. ?1?

• Balance (Ec. dif.)
• Linealización

Variables desviación Restar BEE. ED
linealizada en variables desviación.
16

• Aplicar transformada de Laplace para obtener una
  ecuación algebraica (Tf(T1, F1).
• Usar principio de superposición y reordenar para
  hallar la función de transferencia. Determinar el
  orden del sistema.

17
Concepto de resistencia

Resistencia
Diferencia de potencial
h
-
R
R dV / di
R dh / dF

• Altura h Diferencia de potencial Fuerza
  impulsora
• R resistencia
• Caudal F intensidad de corriente

18
Sistema de primer orden
Reescribiendo el balance
Restando el balance en e.e. y transformando
19
Sistema capacitivo puro
h
A
Aplicando el principio de superposición, queda
20
Retardo puro
21
Sistemas de primer orden en serie
a) Sistemas no interactuantes
Balance TK1
Balance TK2
22
Linealizando, queda
23
-
Balance linealizado, expresado en variables
desviación TK1
Transformada de Laplace
Función de Transferencia TK1
24
Balance linealizado, expresado en Variables desvia
ción TK2
-
Transformada de Laplace
Función de Transferencia TK2
25
Función de Transferencia del sistema de segundo
orden
26
b) Sistema interactuante
Balance TK1
Balance TK2
27
Linealizar (F2 es idem caso a)
28
-
Balance linealizado, expresado en variables
desviación TK1
Transformada de Laplace
()
29
Balance linealizado, expresado en Variables desvia
ción TK2
-
Transformada de Laplace
()
30
Eliminando h1(s) de () y (), queda
31
Los sistemas de segundo orden se escriben
genéricamente en función de la frecuencia
natural y el factor de amortiguamiento
?gt1 ?1 ?lt1
Raíces reales y distintas Raíces reales e
iguales Raíces complejas conjugadas
32
Como la media aritmética es siempre mayor que la
media geométrica, el factor de amortiguamiento en
sistemas de segundo orden formados por dos
sistemas de primer orden en serie será siempre
mayor que 1.
33
Sistemas de segundo orden
Ejemplo Manómetro en U
D Diámetro de la columna P1 Presión mayor P2
Presión menor L Longitud de la columna de
líquido H Nivel por encima de la línea de
equilibrio
Balance macroscópico de fuerzas Inerciales
Exteriores Viscosas - Hidrostáticas
F1 F2 F3 F4
(para flujo laminar)
34
Sistemas de segundo orden
Transformando, queda
35
Sobrevalor y otros parámetros
h(t) / K
SV1 Sobrevalor máximo (overshot) tME Tiempo de
máxima elevación tE Tiempo de elevación (1 vez
que llega al valor final) ? Relación de
decaimiento
SV1
1
TP
t
tE
tME
36
Respuesta de sistemas
37
Identificación de sistemas
Los sistemas reales se pueden clasificar en tres
grandes grupos 1.- Es resoluble analíticamente
y pueden calcularse los parámetros. Por lo tanto,
se conoce el comportamiento dinámico. 2.- Es
resoluble analíticamente, pero no pueden
calcularse los parámetros. Hay que recurrir a la
experiencia para hallarlos. 3.- No es resoluble
analíticamente ó es resoluble con solución
compleja. Se toma el sistema como caja negra y se
supone un modelo. Vamos a analizar sistemas como
los del grupo 2.
38
Sistemas de primer orden
Escalón
Si tT, y(t)
39
Sistemas de primer orden
Escalón
Derivada en el origen
40
Sistemas de primer orden
Escalón
Eliminar exponencial
41
Sistemas de primer orden
Impulso
Si tT, y(t)
1
0.368
0
T
42
Sistemas de primer orden
Rampa
El error dinámico es la diferencia entre
las respuestas, cuando se extinguió la
parte exponencial.
x(t) y(t)
x0(t)
Error dinámico
y0(t)
t
t0
43
Sistemas de primer orden con retardo puro
y(t)
y632
t
T
L
0
44
Sistemas de segundo orden
Segundo orden sobreamortiguado. Raíces reales y
distintas.
Segundo orden cíticamente amortiguado. Raíces
reales e iguales
En ambos casos, la función de transferencia del
sistema puede escribirse como dos sistemas de
primer orden en serie, interactuantes ó no
interactuantes.
Segundo orden subamortiguado. Raíces complejas
conjugadas
45
Respuesta de sistemas de segundo orden
subamortiguados
Ante salto escalón
46
Obtención de parámetros
y(t)
u0 Valor inicial de entrada uf Valor final de
entrada y0 Valor inicial de salida yf Valor
final de salida KA A1 Amplitud de pico 1 An
Amplitud de pico n T? Tiempo entre dos picos
sucesivos ?P Frecuencia propia Frecuencia con
que oscila el sistema.
KA
t
47
Obtención de parámetros
y(t)
SV1 Sobrevalor 1 SV2 Sobrevalor 2 TP Tiempo
entre dos picos sucesivos ? Relación de
decaimiento
KA
SV3
TP
t
48
Respuesta de sistemas de segundo orden
sobreamortiguados
Ante salto escalón
49
Método de la curva complementaria
Aplicable a sistemas de segundo orden
sobreamortiguados, donde se conoce la respuesta
del sistema total ante un salto escalón. La
expresión de la misma es
Pretendemos hallar los valores de ambas
constantes de tiempo. Establecemos la condición
de que T1 es apreciablemente mayor que T2. A
medida que el tiempo va aumentando, el segundo
exponencial decrece más rápido. Habrá un tiempo
t desde el cual se tenga
50
Método de la curva complementaria
Representando gráficamente, se obtendrá una recta
que será asintótica a la curva de la función
total para tiempos grandes. El punto donde la
recta corta al eje de ordenadas será (0, Y0). En
el caso particular de t T1, el valor de la
ordenada será 0.368Y0. Esto permitirá obtener
T1.
51
Método de la curva complementaria
La diferencia entre la recta y la curva de la
función total, será
Representando en el mismo gráfico d vs. t, se
obtendrá una recta. Las coordenadas del punto
para t 0, serán (0,Y1). En el caso particular
de t T2 el valor de la ordenada será 0.368Y1.
Esto permitirá obtener T2. Este método se puede
utilizar para sistemas de orden superior.
52
Método de la curva complementaria
t
53
Método de Harriott
Aplica a sistemas sobreamortiguados o
críticamente amortiguados.
Aplicando un escalón de magnitud A y graficando
y(t)/KA vs. t / (T1T2), se observó que en todas
las curvas se alcanzaba el 73 del cambio en la
salida para t 1.3 (T1T2). O sea, que todas
las curvas se cortaban en un punto que tenía
coordenadas (1.3 , 0.73).
Luego, se determinó que las curvas estaban más
separadas entre sí (esto es, permitían mejor
apreciación) cuando t / (T1T2) 0.5. Harriott
realizó un gráfico normalizado de y(t)/KA vs.
T1/(T1T2) para un valor de t / (T1T2) 0.5.
54
Método de Harriott
y(t)
u0 Valor inicial de entrada uf Valor final de
entrada y0 Valor inicial de salida yf Valor
final de salida y Valor de salida a tiempo
t t0 Tiempo en que aparece el escalón t73
Tiempo en que la salida alcanza el 73
t0
t
t
t73
55
Método de Harriott
0.73
y
t
tiempo
0
t73
56
Método de Harriott
57
Método de Harriott
El procedimiento consiste en lo siguiente De la
respuesta temporal del sistema, se obtiene
(gráfica o analíticamente), el tiempo para el
cual la respuesta es el 73 del cambio en la
salida. De ahí se obtienen t73 y (T1T2).
58
Método de Harriott
Se calcula el tiempo t 0.5 (T1T2). De la
respuesta temporal se lee el valor de salida
y(0.5) y se calcula y(0.5) / KA.
59
Método de Harriott
Con el valor de y(0.5) / KA se entra al gráfico
normalizado de Harriott y se obtiene T1 /
(T1T2). Como ya se conoce (T1T2), pueden
obtenerse los valores de T1 y T2. Si la ordenada
del gráfico normalizado de Harriott, y(0.5) /
KA, resulta mayor a 0.39 ó menor a 0.26,
significa que la respuesta no corresponde a un
sistema de segundo orden sobreamortiguado,
pudiendo ser probablemente de segundo orden
subamortiguado, ó de orden superior.