Sistemas de ecuaciones lineales

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(No Transcript)
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La tercera parte de los ahorros de Juan es 115.
Si x representa los ahorros de Juan, entonces
el enunciado anterior se expresa como sigue
Esta igualdad es una ecuación lineal. Las
ecuaciones se usan para expresar algebraicamente
fenómenos físicos, químicos, biológicos,
astronómicos, sociales, económicos etc. Por
ejemplo
expresa la relación entre la velocidad (v) y el
tiempo (t) de un automóvil con velocidad inicial
de 2 m por segundo, y con una aceleración de
m por segundo cuadrado.
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Una ecuación lineal es una ecuación de la
forma en donde son variables son constantes
llamadas los coeficiente de las variables y b es
una constante llamada el término constante de la
ecuación.
Ejemplo 1
Juan tiene 2 canicas más que pedro. Si el doble
de las canicas de Juan se junta con las de Pedro,
se obtienen 103 canicas. Cuántas tiene cada uno?
Solución
Si Pedro tiene x canicas, entonces Juan tiene x
2 canicas. Por tanto
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Ejemplo 2
Con la corriente a su favor una lancha navega a
100 km/h, y con la corriente en contra navega a
70 km/h. Cuál es la velocidad de la corriente, y
la de la lancha cuando el río está en calma?
Solución
Sea x la velocidad de la lancha cuando el río
está en calma, y sea y la velocidad del río o de
la corriente. Entonces
es la velocidad de la lancha con la corriente a
su favor.
es la velocidad de la lancha con la corriente en
contra.
Por lo que
()
Se obtuvieron dos ecuaciones lineales con las
mismas dos variables cada una, tales ecuaciones
forman un sistema 2x2 de ecuaciones lineales.
Un sistema de ecuaciones lineales es una
colección de dos o más ecuaciones lineales
Resolviendo el sistema () se obtiene
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Cómo se resuelve un sistema 2x2 de
ecuaciones lineales?
Hay diversos métodos de solución de un sistema
con dos ecuaciones lineales de dos variables
(2x2). Se describirán algunos de ellos
resol-viendo el sistema de ecuaciones del ejemplo
anterior.
Método por sustitución
Este método se resume así
1.
Se despeja una de las variables de cualquiera de
las ecuaciones.
La variable despejada en el paso 1, se sustituye
en la otra ecuación por su correspondiente
expresión, y se resuelve la ecuación que resulta.
2.
3.
El valor de la variable obtenido en el paso 2, se
sustituye en la ecuación obtenida en el paso 1.
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.()
Ejemplo 3
Resolver por sustitución el sistema
.()
Solución
1. Despejando a la variable y de la ecuación ()
se tiene
2. Sustituyendo a la variable y por 100 x en
la ecuación () se tiene
3. Sustituyendo a la variable x por 85 en la
ecuación del paso 1 se obtiene el valor de y
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Método por igualación
Este método se resume así
1.
De cada ecuación se despeja la misma variable.
Se igualan las expresiones obtenidas en el paso
1, y se resuelve la ecuación que resulta.
2.
3.
El valor de la variable obtenido en el paso 2, se
sustituye en una de las ecuaciones obtenida en
el paso 1.
Ejemplo 4
Juan y Jaime salieron del D.F. en sus respectivos
autos a Acapulco. Juan condujo a una velocidad
constante de 60 km/h. Si Jaime salió 1 hora
después que Juan conduciendo a 90 km/h, a qué
distancia del D.F. y en cuánto tiempo alcanzó
Jaime a Juan?
Solución
Sea d la distancia del D.F. en que Jaime alcanza
a Juan, y sea t el tiempo transcurrido para Juan
cuando es alcanzado. Entonces
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t 1 es el tiempo que transcurrió para Jaime
hasta alcanzar a Juan.
Dado que la velocidad se relaciona con el tiempo
y la distancia así v d/t se tiene que
O sea
Resolviendo por igualación el sistema anterior se
tiene
Sustituyendo el valor t 3 en la
ecuación se obtiene que d 180.
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Método por determinantes
Si los coeficientes de las variables t y d del
sistema se arreglan así
se obtiene una matriz.
El determinante de una matriz se denota así y
se define como sigue
Y la resolución por determinantes de un sistema
se obtiene así
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Ejemplo 5
Resolver por determinantes el sistema
Solución
Ejemplo 6
Resolver por determinantes el sistema
Solución
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Método gráfico
La gráfica de cada ecuación de un sistema 2x2 de
ecuaciones lineales, es una recta . Por lo que el
método gráfico
Consiste en representar gráficamente las
ecuaciones del sistema para determinar (si la
hay) la intersección de las rectas que las
representan.
Ejemplo 7
Resolver gráficamente el sistema
Solución
Se tabulan las ecuaciones despejando a y en cada
una de ellas. Observe
x
0
2
x
0
1
y
1
3
1
y
0
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Representando gráficamente las parejas ordenadas
(x, y) de cada tabla en el plano cartesiano, se
trazan las correspondientes rectas para
determinar la solución. Observe
y
3
(2, 3)
1
1
0
2
x
1
El punto de coordenadas (2, 3) es la
intersección de las rectas que son gráficas de
las ecuaciones del sistema, entonces la solución
es
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Un sistema que tiene solución única, se llama
sistema determinado, compatible, consistente o
independiente y se caracteriza en que las rectas
que son gráficas de las ecuaciones que lo forman,
se intersecan exactamente en un punto cuyas
coordenadas corresponden a la solución del
sistema.
Ejemplo 8
El sistema tiene solución única. Observe
y
2
(4, 1)
1
0
x
1
2
4
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Un sistema de ecuaciones lineales que tiene un
número infinito de soluciones se llama sistema
indeterminado o dependiente, y se caracteriza en
que las gráficas de las ecuaciones que lo forman
son la misma recta.
Ejemplo 10
El sistema tiene infinidad de soluciones.
Observe
y
x
1
0
- 2
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Un sistema que no tiene solución alguna se llama
sistema inconsistente o incompatible, y se
caracteriza en que las gráficas de las ecuaciones
que lo forman son rectas paralelas y distintas
entre sí.
El sistema no tiene solución. Observe
Ejemplo 11
y
1
x
0
- 2
- 3
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Fin