Matem

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Matemáticas para Ciencias de la Computación
MCC3182

• Profesor Claudio Gutiérrez Soto
• Página Web http//www.dcc.uchile.cl/clgutier
• e-mail cjoelg_at_ona.fi.umag.cl
• Fono 207 122

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•   General
•      Esencialmente la asignatura está orientada
  al análisis de algoritmos.
•       Se le dará énfasis en el desarrollo de
  ejercicios y tareas por parte del alumno, esto en
  la resolución de análisis de algoritmos clásicos
  y avanzados.
•   Teoría
•       Clases expositivas orales y escritas.
•       Desarrollo de ejercicios durante y al final
  de cada unidad, por parte del profesor y alumnos.

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• Contenido
• Inducción matemática.
• Relaciones y Funciones
• Digrafos
• Teorema de Dilworth
• Relaciones y Grafos
• Árboles
• Sumatorias
• Series especiales (harmónicas, stirling)
• Notación Asintótica
• Repaso análisis algoritmos
• Ecuaciones de recurrencia
• Permutaciones y factoriales
• Probabilidad Discreta
• Algoritmos sobre grafos
• Algoritmos probabilísticos

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• Cuál es la diferencia entre las matemáticas
  discretas y las matemáticas continuas?
• En realidad no existe diferencia, las
  matemáticas discretas se utilizan para el
  análisis de colecciones finitas de objetos, en
  contraste con las matemáticas continuas, que
  estudian procesos continuos. En las ciencias de
  la computación los elementos con los cuales se
  trabajan son elementos finitos, tale como
  memoria, los programas, las sentencias que se
  ejecutan en dichos programas etc.

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• Valores y Datos
• Problemas (Pre-condición /Post-Condición)
• Definición de Algoritmo
• Definición Intuitiva ( Finitud,
  definibilidad, generalidad,efectividad)
• Observaciones (procesador, problemas)
• Métodos de Calculo (MT)
• Tesis de Charch
• Análisis de Algoritmo (tiempo y espacio)
• Estrategias de Análisis (Empírica, teórica e
  híbrida)
• Principio de Invarianza (Mejor,Peor y Medio)

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Propiedades 1.1.-     f ( n ) ? O ( f ( n )
) 2.   2.-   a ) O ( f ( n ) ) ? O ( g ( n ) ) ?
f ( n ) ? g ( n ) b ) O ( f ( n ) ) O (
g ( n ) ) ? f ( n ) ? g ( n ) y g ( n ) ? f ( n
) 3.-     Si t ( n ) ? O ( f ( n ) ) y t (
n ) ? O ( g ( n ) ) a ) c t ( n ) ? O ( f
( n ) ) b ) t ( n ) t ( n ) ? O ( f ( n
) g ( n ) ) O max ( f ( n ) , g ( n ) )
si f ( n ) es comparable
asintóticamente con g ( n ) c ) t ( n )
t ( n ) ? O ( f ( n ) g (n ) ) Ej. t ( n )
3n² 6n ? ( 3n² 6n ) 1º prioridad
O max ( 3n² , 6n ) 3º O
( 3n² ) 3n² ? O ( n² )
3º a Ej. t ( n ) 4 log n 6n O (
log n n ) O max ( log n , n ) O ( n )
4 log n ? O ( log n ) 6n ? O (
n )
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Operaciones Conjuntísticas   1.      O ( f ( n
) ) O ( g ( n ) ) O ( f ( n ) g ( n ) ) 0
max ( f ( n ) , g ( n ) ) si f y g
son comparables El conjunto suma esta formada por
funciones se la forma t ( n ) t ( n ) que
pertenece respectivamente al 1º y 2º
sumando. 2.      O ( f ( n ) ) O ( g ( n ) )
O ( f ( n ) g ( n ) ) Producto conjustístico esta
formado por funciones del tipo t ( n ) t ( n )
que pertenecen respectivamente al primer factor y
al segundo factor. Ej. t ( n ) ( n² n )
log n ? (1ª) O ( n² n ) log n O ( n²
n ) O ( log n )

max ( n² , n ) O ( n² ) O ( log n
) O ( n² log n )
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1.1.   Análisis de Algoritmos Iterativos     1 
La complejidad de toda asignación , lectura o
escritura de variables simples es constante es
decir O ( 1 ).   2  El tiempo de ejecución de una
secuencia de proposiciones se determina por la
regla de la suma.   3. El tiempo de ejecución de
una proposición if, es el costo de las
proposiciones que se ejecutan condicionalmente,
Proposiciones verdaderas proposiciones falsas,
más el tiempo para evaluar la condición   4. El
tiempo para ejecutar un ciclo, corresponde a la
suma de las proposiciones que contiene dicho
ciclo.  5. Si existen ciclos anidados, el tiempo
de ejecución del ciclo mas externo corresponde a
la multiplicación de todos los ciclos.
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Análisis de Algoritmos Recursivos
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Function Factorial Begin if nlt 1
then fact1 else factn
fact(n-1) End T(n) cT(n-1) si
ngt1 d si nlt1
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Ordenación por Mezcla MezclaOrd ( L 1 .. n
) array 1.. n Inicio Si n 1
entonces devolver ( L )
Sino DividirEnDos ( L , L1 , L2 ) Devolver (
mezcla ( MezclaOrd ( L1 1 .. n/2 ) ,
MezclaOrd ( L2 1 .. n/2 )
Finsi Fin T(n) c si n1
2T(n/2)c2n si ngt1
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Ordenación por Mezcla MezclaOrd ( L 1 .. n
) array 1.. n Inicio Si n 1
entonces devolver ( L )
Sino DividirEnDos ( L , L1 , L2 ) Devolver (
mezcla ( MezclaOrd ( L1 1 .. n/2 ) ,
MezclaOrd ( L2 1 .. n/2 )
Finsi Fin T(n) c si n1
2T(n/2)c2n si ngt1
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Ecuaciones de Recurrencia
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Método de Sustitución Método de Iteración Teorema
Maestro Método de la Ecuación Característica
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Método de Sustitución Método de Iteración Teorema
Maestro Método de la Ecuación Característica
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Árboles de Recursión, visualizando la Iteración
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