Unidad 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

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Unidad 2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN
SUPERIOR

• ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES
  CONSTANTES

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Introducción

• La ecuación diferencial ayby0 se resuelve ya
  sea mediante separación de variables o mediante
  la ayuda de un factor de integración.
• También al despejar y de la ecuación diferencial
  ayby0 se obtiene yky donde k es una
  constante. Lo anterior revela la naturaleza de
  la solución (desconocida) la única función
  elemental no trivial cuya derivada es una
  múltiplo de si misma es la función exponencial.
  Entonces podemos considerar que yemx. Lo que
  resta será determinar el valor de m.

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Ecuación auxiliar

• Considérese el caso especial de la ecuación de
  segundo orden aybycy0 donde a b y c son
  constantes.
• Si se intenta encontrar una solución de la forma
  yemx entonces después de sustituir ymemx y
  ym2emx la ecuación se convierte en am2emx
  bmemx cemx 0 ó bien
  emxam2bmc0
• Debido a que emx debe ser diferente de cero es
  evidente que la única forma en la que yemx
  satisface la ecuación diferencial es cuando se
  elige a m como raíz de la ecuación cuadrática
  am2bmc0. Esta última ecuación
  se denomina ecuación auxiliar de la ecuación
  diferencial aybycy0

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Solución de la ecuación auxiliar

• Las dos raíces de la ecuación auxiliar son
• Habrá tres formas de solución general de la
  ecuación aybycy0 que corresponden a los
  siguientes tres casos
• m1 y m2 reales y diferentes (b2-4acgt0).
• m1 y m2 reales e iguales (b2-4ac0).
• m1 y m2 números conjugados complejos
  (b2-4aclt0).

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CASO 1 Raíces reales distintas

• Bajo la suposición de que la ecuación am2bmc0
  tiene dos raíces reales desiguales m1 y m2 se
  definen dos solucionesEstas soluciones son
  linealmente independientes en (-InfInf) y
  forman un conjunto fundamental. Se deduce que la
  solución general en este intervalo es

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CASO 2 Raíces reales repetidas

• Cuando m1m2 necesariamente se obtiene sólo una
  solución exponencial .De la fórmula
  cuadrática se encuentra que m1-b/2a puesto que
  la única forma en que se tiene que m1m2 es tener
  b2-4ac0. Con ello la segunda solución de la
  ecuación es
• Entonces la solución general es

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CASO 3 Raíces complejas conjugadas

• Si m1 y m2 son complejas se puede escribirson
  reales i2 -1. De manera formal no hay
  diferencia con el caso 1 por consiguienteen
  la práctica se prefiere trabajar con funciones
  reales en lugar de exponenciales complejas. Para
  este fin se utiliza la fórmula de Eulerdonde
  es cualquier número real.

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CASO 3 Raíces complejas conjugadas

• Se deduce de esta fórmula quedonde se utilizó
• Si se suman y luego se restantenemos Como
  es una solución de
  aybycy0 para alguna elección de las
  constantes c1 y c2.

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CASO 3 Raíces complejas conjugadas

• Las eleccionesc1c21 y c1 1 c2-1 dan a su
  vez dos solucionesPero
• Estos dos últimos resultados conducen a que
  
  son soluciones reales de aybycy0.
  Además estas soluciones son un conjunto
  fundamental en (-InfInf). Por consiguiente la
  solución general es

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Problema

• Resuelva las siguientes ecuaciones
  diferenciales