Matemticas para Ciencias de la Computacin MCC3182

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• Principio de Inducción Matemática

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• Supóngase que tenemos la sucesión de números
  naturales con la propiedad de que dichos números
  son de color rojo.
• 1,2,3,4,5,6,7...
• Supongamos que
• El primer natural es de color rojo (1).
• Si todos los naturales que preceden al
  (n1)-ésimo son de color rojo, entonces el
  (n1)-ésimo número es de color rojo (2).
• Para demostrar que el número 8 es de color rojo,
  se observa que todos los que preceden al 7 y, por
  (2) el número 7 también es de color rojo.
• Este ejemplo ilustra el Principio de Inducción
  Matemática

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• Inducción Matemática
• Ejemplo
• Denótese por Sn1234...n (1)
• Consideremos que se afirma que
• Snn(n1)/2 para n1,2,... (2)
• Se ha elaborado una sucesión de proposiciones, a
  saber
• S11(2)/21
• S22(3)/23
• S33(4)/26

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• Supóngase que cada ecuación verdadera está
  marcada con una X. Dado que la primera ecuación
  es verdadera,
• S11(2)/2 X
• S22(3)/2 X
• S33(4)/2 X
• Sn-1(n-1)n/2 X
• Snn(n1)/2 X
• Sn1(n1)(n2)/2 ?

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• Supóngase ahora que puede demostrarse que si
  todas las ecuaciones que preceden a la
  (n1)-ésima ecuación están señaladas, entonces la
  (n1)-ésima ecuación también lo está.
• Debe probarse que si todas las ecuaciones que
  preceden a la (n1)-ésima son verdaderas,
  entonces la (n1)-ésima ecuación también es
  verdadera.
• Sn1123...n(n1)
• Sn(n1)
• n(n1)/2(n1)
• (n1)(n2)/2

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• Principio de Inducción Matemática Supóngase que
  se tiene una proposición S(n) para cada entero
  positivo n, la cual es verdadera o falsa.
  Consideremos que
• Paso Básico
• S(1) es verdadera
• Paso Inductivo
• si S(i) es verdadera para todo iltn1, entonces
  S(n1) es verdadera.

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• Ejemplo Use inducción para demostrar que si a es
  distinto de 1, (Suma Geométrica).
• 1a1a2...an(an1-1)/(a-1)
  (1)
• Paso Básico Se obtiene cuando n0,
• 1(a1-1)/(a-1), lo cual es verdadero.
• Paso InductivoSupongamos que la proposición es
  verdadera para n. Ahora
• 1a1a2...anan1 (an1-1)/(a-1)an1
• (an1-1)/(a-1)(an1(a-1))/(a-1)
• (an2-1)/(a-1)
• Como el paso básico y el paso inductivo ya han
  sido verificados, el principio de inducción
  matemática establece que (1) es verdadera para
  n0,1,2,...

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• Grafo Normal

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• Grafo Ciencias de la Computación

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• Definición
• Un grafo es una conjunto de vértices V y un
  conjunto de arcos E,tal que
• Así E, es simplemente una relación binaria en el
  conjunto V.

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• Relaciones y Grafos

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• Propiedades de Relación

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• Representación de Matriz Booleana

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• Operaciones sobre la Matriz Booleana

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• Composición Usando Matrices

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• Definición
• Un grafo simple es una conjunto de vértices V y
  un conjunto de arcos E, donde cada arco es una
  par no ordenado de distintos vértices a y b.
• El grado de un vértice es el número de arcos que
  se conectan a el.
• Ejercicio Dibuje un grafo con 3 vértices de
  grado 2,2 y 1.

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• Un grafo Imposible

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• ProblemaLocalización de galpones para aeronaves.
• Horario de Aerolíneas
• Dado un conjunto de vuelos que llegan a
  distintos horarios, Cuántos galpones necesitamos
  para poder acomodar dichos aviones?

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• Solución Coloreo de Grafo
• Se colorea cada vértice de manera que no queden
  dos vértices adyacentes con el mismo color.

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• Asignación de Galpones (o colores)

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• Fuente de Problemas
• Cómo podemos programar los exámenes finales con
  el objetivo de que no se tomen dos al mismo
  tiempo?.
• cuántos habitad diferente necesito para que
  algunas especies animales puedan coexitir con
  otras especies?.

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• Número Cromático
• Pregunta Cuál es la cantidad mínima de colores
  que necesito para resolver el problema?
• Cómo se yo que esa cantidad es la mínima?

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• Principio de Inducción Matemática Supóngase que
  se tiene una proposición S(n) para cada entero
  positivo n, la cual es verdadera o falsa.
  Consideremos que
• Paso Básico
• S(1) es verdadera
• Paso Inductivo
• si S(i) es verdadera para todo iltn1, entonces
  S(n1) es verdadera.