EL PROCESO PARA CALCULAR EL INCREMENTO DE UNA MAGNITUD.

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• EL PROCESO PARA CALCULAR EL INCREMENTO DE UNA
  MAGNITUD.

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RECAPITULACIÓN

• En el concepto problemático de determinar valores
  de una magnitud de interés que depende de otra
  magnitud de referencia, resultará productiva la
  idea que enseguida describiremos.
• Se conoce uno de los valores de cierta magnitud
  M, digamos el valor de M(a), y se busca calcular,
  o predecir, otro valor de la magnitud, digamos el
  valor de M(b), donde b es un número mayor que a.
  Es natural considerar que

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• Nuestro interés entonces, es idear un modo de
  calcular el cambio acumulado el cual, como
  podrías notar, representa la diferencia M (b)-M
  (a) entre 2 valores de la magnitud.

Realmente, hasta el momento contamos con 2 modos
de abordar este problema en el caso de que la
razón de cambio r (x) de la magnitud está dada de
antemano, o se reconoce por el contexto del
problema. El primero de esos modos lo hemos
hecho como el Método de Euler. Mediante éste,
podemos conseguir aproximaciones para la
diferencia
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• El segundo modo es por medio de la antiderivada,
  siempre y cuando podamos obtener una antiderivada
  de la función r (x).
• El tercer modo de abordar el problema es el que
  conocemos en esta sesión, y lo dejaremos
  establecido explicitamente a través del análisis
  de la siguiente situación problema.

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SITUACION PROBLEMA 1

• Supongamos que un automóvil viaja por una
  carretera recta y que a partir de cierto momento
  (t0) se empieza a medir la distancia recorrida.
• Sea s (t) la distancia recorrida al transcurrir t
  
• unidades de tiempo.
• La velocidad del automóvil en cualquier tiempo t
  está dada por la función
• v (t) 43t2t²
• Nos interesa calcular la distancia recorrida
  entre
• t 5 y t10.

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• ANÁLISIS 1
• Podemos encontrar la distancia recorrida entre
• t5 y t10 de la siguiente manera calculamos la
• Distancia que ha recorrido el automóvil hasta
  t10
• (o sea s(10)), y calculamos la distancia que ha
• recorrido hasta t5 ( o sea s(5)). Finalmente
  restamos el segundo valor al primero, es decir,
  Calculamos el valor de la diferencia
• s(10)-s(5)
• Los valores de s (10) y s (5) los podemos obtener
  su deducimos la fórmula para la función distancia
  s (t). Para lograrlo, partimos de que conocemos
  la fórmula la velocidad

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Esta función de la velocidad, es a su vez, la
derivada de s (t). Por lo tanto, si antiderivamos
v (t) , obtendremos a s (t). La familia de
antiderivadas de v (t) es

Además, conocemos la condición inicial de s
(0)0, así podemos precisar que
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Usemos esta fórmula para calcular
y por lo tanto, la distancia recorrida desde t 5
hasta t10 es s(10)-s(5)715.82
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• ANALISIS 2
• Después de este análisis que nos condujo a dar la
  respuesta a la situación planteada, estamos en
  posibilidad de identificar el segundo modo de
  abordar el problema que nos ocupa. Arribaremos a
  su enunciado analizando la situación problema
  desde una perspectiva más general.
• En la situación problema conocíamos la fórmula de
  la velocidad, es decir, de la razón de cambio de
  la distancia recorrida con respecto al tiempo.
  Para efectos de generalizar, nombremos como M (x)
  a la magnitud distancia en función del tiempo, y
  nombremos r (x) a su razón de cambio.
• Dentro del análisis de la situación, la
  estrategia que seguimos fue encontrar la fórmula
  de la distancia interpretando a ésta como una
  antiderivada de la velocidad.

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• En el contexto general, eso nos condiciona a
  tener la capacidad de
• encontrar la familia de antiderivadas de r (x),
  la razón de cambio.
• Por último, en la situación particular, habiendo
  encontrado una
• antiderivada de v (t) , evaluamos la
  antiderivada s (t) en los 2 valores
• del tiempo dados t5 y t10, de tal manera que la
  diferencia numérica
• entre ellos es la distancia recorrida, o, en
  términos generales el cambio
• acumulado de la distancia.
• En analogía con la solución a la situación
  problema planteada, podemos
• Inducir, ahora en forma general, que cuando se
  conoce la razón de
• cambio r (x) de la magnitud M( x) y además se
  puede encontrar una
• antiderivada R (x) para esa r (x) (esto es, ) es
  tal que R (x)r(x)),
• entonces, el cambio acumulado de la magnitud M se
  obtiene con la
• diferencia entre los valores calculados con la
  antiderivada R(x). Es decir

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• Observa que en la expresión anterior, el valor de
  la derecha se puede calcular por que contamos con
  la fórmula de la antiderivada de r (x) sin
  embargo, el hecho de que éstas difieran entre sí
  por una constante aditiva, provoca que la
  diferencia
• R(b)-R(a) tenga siempre el mismo valor,
  independientemente de la antiderivada que hayamos
  elegido para calcularla. Lo comprobaremos
  enseguida.
• Denotemos esta diferencia como

Calculemos este valor al abordar nuestra
situación problema
La razón de cambio La antiderivada de ella
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• Aún si dejamos la constante C sin determinar,
  podemos calcular

Este cálculo puede hacerse sin importar el valor
de C ya que, como pudistes observar, al restar
los valores de la expresión en 10 y en 5, la
constante C se cancela en el proceso algebraico.
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Análisis 3

• Daremos ahora un argumento geométrico que también
  apoya el
• hecho de que el cambio acumulado calculado con R
  (b)-R (a) es
• igual para cualquier antiderivada que sea
  considerada.
• El argumento consiste en lo siguiente todas las
  antiderivadas de
• una función r (x) poseen la misma derivada,
  puesto que esa
• derivada es precisamente la función r (x). Eso
  nos asegura que, para
• cada una de las curvas de las antiderivadas, en
  los puntos de ellas
• correspondientes a la misma coordenada x, las
  pendientes toman el
• mismo valor numérico. En otras palabras, estas
  antiderivadas
• manifiestan inclinaciones en cada uno de sus
  puntos
• correspondientes (mismo valor de x).

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• Esto obliga a que si tomamos la gráfica de una de
  las antiderivadas, las demás gráficas pueden
  verse como traslaciones verticales de aquélla.
• La situación problema que hemos resuelto da
  cabida a un análisis adicional que nos permitirá
  presentar un tercer modo de abordar la
  problemática general de obtener el cambio
  acumulado
• M (b)-M (a) cuando se conoce la razón de
  cambio r (x) de la magnitud M (x). Obtendremos
  por este tercer modo por via del uso de los
  diferenciales en el siguiente apartado.

ANALISIS 4
Consideremos una porción infinitesimal de la
gráfica de la magnitud M (x). De acuerdo con el
triángulo característico, podemos decir que el
incremento infinitesimal de la magnitud M es un
diferencial d M tal que d M r (x) dx
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• donde r (x) es la razón de cambio de la magnitud
  M (x).
• Fijemos un intervalo a, b y ubiquemos los
  valores de M (a) y
• M (b) sobre la gráfica. Con algo de imaginación,
  concebimos en la
• gráfica triángulos característicos consecutivos y
  con cada uno de
• Ellos ubicamos los incrementos diferenciales d M
• correspondientes.
• Podemos asumir que, al sumar estos incrementos
• infinitesimalmente d M se obtendrá M (b) - M (a)
  , como se
• observa en la siguiente figura

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• La suma de los diferenciales se representa
  mediante el simbolo

O
El primer simbolo se lee como La integral del
diferencial dM y la segunda expresión se lee
como La integral desde a hasta b de
r(x)dx. Con esta representación podemos escribir
el cambio acumulado
HACIA LA GENERALIZACION
Observa el siguiente resumen que contiene los
tres modos diferentes que hemos analizado para
calcular el cambio acumulado de la magnitud M, de
la cual conocemos su razón de cambio r (x).
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Resumen M (x) la magnitud r (x) su razón de cambio
Primer modo
Segundo modo Donde R (x) antiderivada de r (x), esto es,
Tercer modo
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TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO
Donde R (x) es la antiderivada de r (x), esto es,
Este teorema nos plantea que la integral puede
calcularse conociendo una antiderivada R (x) de
r (x) sólo habra que evaluar esta función como
lo indica la notación dada
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• Al principio de esta sesión nos planteamos la
  siguiente idea si se conoce un valor de una
  magnitud M, M (a) se puede calcular o predecir el
  valor de M (b), siendo b mayor que a. Para ello ,
  habíamos considerado que
• M (b) M (a) el cambio acumulado de la
  magnitud M en el intervalo a a b
• Con el conocimiento que hemos construido durante
  esta sesión, podemos ahora escribir

Y en forma general, considerando en vez de b el
valor fijo pero arbitrario x
Esta última expresión matemática manifiesta la
manera de predecir el valor de la magnitud M en
términos de un valor conocido de ella y del
comportamiento de su razón de cambio.