TEMA 1.4. CONDICIONES DE EQUILIBRIO, PRIMERA LEY DE NEWTON.

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TEMA 1.4. CONDICIONES DE EQUILIBRIO, PRIMERA LEY
DE NEWTON.

• SUBTEMA 1.4.1. EQUILIBRIO DE LA PARTICULA EN EL
  PLANO.

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Primera condición del equilibrio (traslacional).

• Un cuerpo se encuentra en equilibrio
  traslacional si y solo si la suma vectorial de
  las fuerzas que actúan sobre el es igual a cero.
  Cuyas ecuaciones son las siguientes
• SFx 0 y SFy 0.

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Segunda condición del equilibrio (rotacional).

• Para que un cuerpo esté en equilibrio de
  rotación, la suma de los momentos o torcas de las
  fuerzas que actúan sobre él respecto a cualquier
  punto debe ser igual a cero. Matemáticamente
  esta ley se expresa con la ecuación
• SM0. SM M1 M2 M3 Mn 0.
• St 0. St t1 t2 t3 tn 0.

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PRIMERA LEY DE NEWTON Ley de la inercia

• Todos los cuerpos tienden a permanecer en el
  estado de movimiento que tienen a menos que una
  causa externa (fuerza) altere dicha condición En
  forma general si un cuerpo está en reposo o en
  movimiento rectilíneo uniforme, querrá seguir
  en ese estado a menos que una fuerza externa se
  aplique a ese cuerpo y le haga cambiar esta
  condición de reposo o movimiento.

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TERCERA LEY DE NEWTON. Ley de acción y reacción

• Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre un segundo
  cuerpo, éste ejercerá a su vez una fuerza sobre
  el primero de igual magnitud pero de sentido
  contrario

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CONCEPTO DE DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE

• a) Hacer un dibujo que represente claramente el
  problema que se desea resolver (solo si no se
  proporciona la figura, si aparece, siga con el
  paso B).
• b)  Construye un diagrama de cuerpo libre
  sustituyendo por medio de fuerzas todo aquel
  efecto que recibe el cuerpo, provocado por su
  contacto con otros cuerpos o por la fuerza
  gravitacional y que originan que se encuentren en
  equilibrio. Indique la magnitud, dirección y
  sentido de las fuerzas conocidas. Use símbolos
  para señalar las cantidades que se desconocen.

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• c) Haga un sistema de referencia utilizando ejes
  rectangulares y coloque al cuerpo en equilibrio
  en el origen del sistema de coordenadas.
• d) Aplique las ecuaciones de equilibrio que
  necesite para encontrar las respuestas a las
  incógnitas buscadas.

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PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA PRIMERA CONDICION
DEL EQUILIBRIO.

• La resolución de problemas en las cuales se
  utiliza la primera condición del equilibrio
  (traslacional), es el procedimiento inverso al
  cálculo del vector resultante, por el método
  analítico (Teorema de Pitágoras), ya que en este
  tipo de problemas, se asume de antemano que la
  resultante es igual a cero, es decir, ahora de lo
  que se trata es hallar la magnitud de las fuerzas
  o vectores que mantienen a un cuerpo en
  equilibrio.

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• En estos problemas, se hace uso de igual forma de
  las funciones trigonométricas coseno, para las
  componentes X de las fuerzas o vectores y el
  seno, para las componentes, en ocasiones también
  se usa la función tangente si se desconoce el
  ángulo o ángulos con los cuales se aplican las
  fuerzas. Mediante una serie de despejes y
  sustitución de valores en las ecuaciones que se
  obtengan, se hallan los valores de las fuerzas o
  vectores. Los signos de las X y las Y en los
  cuadrantes, de igual forma se deben de tener en
  cuenta, para obtener los resultados correctos
  como se observan en los siguientes ejercicios.

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• 1.- Una pelota de 100 N suspendida de un cordel
  es tirada hacia un lado por otro cordel B y
  mantenida de tal forma que el cordel A forme un
  ángulo de 30 con la pared vertical. Dibuje el
  diagrama de cuerpo libre y encuéntrese las
  tensiones en los cordeles A y B de acuerdo a la
  siguiente figura.

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A
T 30
B
100 N
12
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE.
Y
A
B
T 60
X
W 100 N
13

• En el diagrama de cuerpo libre que la cuerda A,
  forma un ángulo de 60 con el eje X, en el
  segundo cuadrante, esto se sustenta en el teorema
  sobre triángulos que dice que En un triángulo,
  la suma de los ángulos internos es igual a 180,
  si la cuerda A, forma con la pared vertical, un
  ángulo de 30, la pared forma con el eje X, un
  ángulo de 90, entonces, la cuerda A, forma un
  ángulo de 60 con el eje X.

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Cuadro de fuerzas.

• F ? comp. X comp. Y
• A 60 - A cos 60 A sen 60
• B 0 B 0
• W 0 0 -100 N
• SFx - A cos60 B 0 SFy A sen 60-100 N
  0
• Pasando - A cos60 del otro lado de la igualdad
  con diferente signo
• SFx B A cos60 SFx B A (0.5). Como
  desconocemos A y B, esta última expresión queda
  como la ecuación 1.
• Pasamos del otro lado de la igualdad el peso de
  100 N, con diferente signo
• SFy A sen 60 100 N. SFy A (0.8660) 100
  N.
• De esta última expresión podemos despejar A,
  pasando el valor de 0.8660, dividiendo al peso de
  100 N
• A 100 N 115.47 Newtons.
• 0.8660
• Ahora regresamos a la ecuación 1 B A (0.5). Y
  sustituimos el valor de A para hallar B tenemos
  B 115.47 N x 0.5 57.73 Newtons.
• Entonces los valores de A 115.47 Newtons. Y B
  57.73 Newtons.

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• 2.- Dos cuerdas T1 y T2, sostienen un objeto cuyo
  peso es de 500 N, como se ve en la figura
  siguiente, elaborar el diagrama de cuerpo libre y
  hallar las tensiones de las cuerdas T1 y T2.

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40
T1
T2
500 N
17
Diagrama de cuerpo libre.
Y
T1
40
T2
X
W 500 N
18

• Como observamos en el diagrama de cuerpo libre,
  la cuerda T1, forma un ángulo de 40, respecto al
  eje X en el primer cuadrante, esto es debido a
  que es un ángulo alterno interno, respecto al
  ángulo que forma T1, respecto al techo, la cuerda
  T2, está en forma horizontal sobre el eje X,
  entre el segundo y tercer cuadrantes, y el peso
  W, se encuentra sobre el eje Y, hacia abajo entre
  el tercer y cuarto cuadrantes.

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Cuadro de fuerzas.

• F ? Comp. X Comp. Y
• T1 40 T1 cos 40 T1 sen 40
• T2 0 - T2 0
• W 0 -500 N
• SFx T1 cos 40- T2 0 SFy T1 sen
  40-500 N 0.
• Pasamos T2 del otro lado de la igualdad con signo
  positivo SFx T1 cos40 T2. SFx T1 (0.7660)
  T2. Como desconocemos T1 y T2, esta última
  expresión queda provisionalmente como la ecuación
  1. De la SFy, pasamos el peso del otro lado de
  la igualdad, con signo positivo SFy T1 sen 40
  500 N. Ahora sacamos el seno de 40 SFy T1
  (0.6427) 500 N. Despejando el valor de T1,
  tenemos T1 500 N 778 Newtons.
• 0.6427
• Ahora regresamos a la ecuación a la ecuación 1,
  T1 (0.7660) T2.
• y sustituimos el valor de T1, para hallar T2,
  tenemos
• T2 778 N x 0.7660 596 Newtons.
• Las tensiones son entonces T1 778 Newtons. Y
  T2 596 Newtons.

20

• 3.- Un cuerpo cuyo peso es de 500 N está
  suspendido de una armadura como se ve en la
  figura. Determinar el valor de la tensión de la
  cuerda y el empuje de la barra.

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Esquema y diagrama de cuerpo libre.
22
Cuadro de fuerzas.

• F ? comp. X comp. Y
• T 35 -T cos 35 T sen 35
• E 0 E 0
• W 0 0 -500 N
• SFx -T cos 35 E 0 SFy T sen 35- 500
  N 0.
• De la SFx, pasamos -T cos 35, del otro lado de
  la igualdad con signo positivo
• SFx E T cos 35. Ahora sacamos el coseno de
  35. E T (0.8191). Como desconocemos E y T,
  esta última expresión queda provisionalmente como
  la ecuación 1. Ahora de la SFy, pasamos el peso
  del otro lado de la igualdad con signo positivo
• SFy T sen 35 500 N. Ahora sacamos el seno de
  35.
• T (0.5735) 500 N. Despejando T, tenemos
• T 500 N 871. 68 Newtons.
• 0.5735
• Ahora regresamos a la ecuación 1 para hallar el
  valor del Empuje E, y sustituyendo el valor de T,
  tenemos
• E 871.68 N x 0.8191 714.08 Newtons .Entonces
  los resultados son
• T 871. 68 Newtons. Y E 714.08 Newtons.

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• Como el cuerpo está en equilibrio
• SFx 0 E (-Tx)
• SFy 0 Ty (-P)
• Sustitución
• SFx E T cos 35 0
• E T cos 35.
• SFy T sen 35- P 0
• T sen 35 P
• T P_____ 500 N 871.68 N
• sen 35 0.5736
• Sustituyendo el valor de la tensión para
  encontrar el del empuje tenemos
• E T cos 35 871.68 N x 0.8192 714.08 N.

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4.- Calcular el ángulo, la tensión y el empuje de
la siguiente armadura
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• Solución Primero debemos hallar el ángulo que
  forma la tensión T con el eje x Vemos que la
  componente Y, del triángulo rectángulo es de 3
  metros y la componente X, es de 5 metros, por lo
  cual vienen siendo los catetos opuesto y
  adyacente del ángulo en cuestión por lo cual se
  puede utilizar la función trigonométrica
  tangente (cateto opuesto entre adyacente)
• tan ? 3 m 0.6 . ? tan-1 0.6 31.
• 5 m
• Una vez hallado el ángulo ya podemos hallar la
  tensión y el empuje.

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Cuadro de fuerzas.

• F ? comp. X comp. Y
• T 31 -T cos 31 T sen 31
• E 0 E 0
• W 0 0 -900 N
• Fx -T cos 31 E 0 SFy T sen 31-
  900 N 0
• De la SFx, pasamos -T cos 31 del otro lado de la
  igualdad con signo positivo.
• SFx E T cos 31 , ahora sacamos el coseno de
  31 . E T (0.8571). Como desconocemos E y T,
  ésta última expresión queda como la ecuación 1.
  Ahora de la SFy, pasamos el peso del otro lado de
  la igualdad con signo positivo SFy T sen 31
  900 N. Ahora se saca el seno de 31. SFy T
  (0.5150) 900 N. De esta expresión despejamos la
  tensión T.
• T 900 N 1747.57 Newtons.
• 0.5150
• Ahora regresamos a la ecuación 1, para hallar el
  valor del empuje E
• E 1747.57 N x 0.8571 1498.02 Newtons.
• Entonces los resultados son ? 31, T 1747.57
  N, E 1498.02 N.

27
5.- Encontrar las tensiones de las cuerdas T1 y
T2 de la figura siguiente que soportan un peso de
300 N.
28
Diagrama de cuerpo libre.
Y
T1
56
34
X
W 300 N
29
Cuadro de fuerzas.

• F ? comp. X comp. Y
• T1 56 T1cos 56 T1 sen 56
• T2 34 -T2 cos 34 T2 sen 34
• W 0 0 -300 N
• SFx T1cos 56-T2 cos 34 0. SFy T1 sen
  56 T2 sen 34-300 N 0.
• De la SFx, pasamos T2 cos 34, del otro lado de
  la igualdad con signo positivo
• SFx T1cos 56 T2 cos 34. Ahora sacamos los
  cosenos de los ángulos
• SFx T1 x 0.5591 T2 x 0.8290. Ahora despejamos
  T1, para expresarlo en relación a T2 en una sola
  cantidad
• T1 0.8290 T2
• 0.5591
• T1 1.4827 T2. Ecuación 1. Como desconocemos T1
  y T2, esta última expresión queda
  provisionalmente como la ecuación 1. Seguimos con
  la sumatoria de fuerzas Y. Primero pasamos el
  peso del otro lado de la igualdad con signo
  positivo SFy T1 sen 56 T2 sen 34 300 N.
  Ahora sacamos los senos de los ángulos SFy T1
  (0.8290) T2 (0.5591) 300 N. Ahora,
  sustituimos el valor de T1, obtenida en la
  ecuación 1 SFy 1.4827 T2 (0.8290) T2
  (0.5591) 300 N. Se realizan las
  multiplicaciones SFy T2 (1.2291) T2
  (0.5591) 300 N.
• Dado que las dos cantidades tienen como factor
  común a T2, entonces se pueden sumar
• SFy T2 (1.7882) 300 N. Ahora despejamos a T2
  T2 300 N 167.76 newtons.
• 
  1.7882
• Ahora regresamos a la ecuación 1, para hallar el
  valor de T1 T1 1.4827 x 167.76 N 248.73
  newtons.
• Entonces los valores de T1 167.76 N y T2
  248.73 N.

30

• 6.- Un tanque de acero debe colocarse en la fosa
  mostrada en la figura de abajo. Sabiendo que a
  20, determínese la magnitud de la fuerza P
  requerida si la resultante R de las dos fuerzas
  aplicadas en A debe de ser vertical.

31
(No Transcript)
32
Diagrama de cuerpo libre.
Y
425 lb
P ?
a 20
30
X
R
33
Cuadro de fuerzas.

• F ? comp X comp. Y
• P 20 P cos 20 P sen 20
• 425 lb 30 - 425 cos 30 425 sen 30
• SFx P cos 20 - 425 cos 30 0.
• SFy P sen 20 425 sen 30 0.
• SFx P cos 20 425 cos 30.
• SFx P (0.9396) 425 (0.8660).
• SFx P (0.9396) 368 lb. Despejando P tenemos
  P 368 lb 391.7 lb.
• 0.9396

34
7.- Dos cables se amarran juntos en C y se cargan
como se muestra en la figura. Determínese la
tensión en el cable AC.
35
Diagrama de cuerpo libre.
Y
TAC
TBC
50
30
X
500 N
36
Cuadro de fuerzas.

• F ? comp. X comp. Y
• TAC 50 TAC cos 50 TAC sen 50
• TBC 30 - TBC cos 30 TBC sen 30
• W 0 0 - 500 N
• SFx TAC cos 50 - TBC cos 30 0.
• SFx TAC cos 50 TBC cos 30.
• SFx TAC (0.6427) TBC (0.8660). Despejando TAC
  tenemos
• TAC TBC 0.8660. TAC TBC 1.3474 ec. 1.
• 0.6427

37

• SFy TAC sen 50 TBC sen 30 - 500 N 0.
• Pasando el peso del otro lado de la igualdad con
  signo positivo
• SFy TAC sen 50 TBC sen 30 500 N.
• Sacando los senos de los ángulos
• SFy TAC (0.7660) TBC (0.5) 500 N
• Sustituyendo el valor de TAC de la ecuación 1,
  tenemos
• SFy TAC (0.7660) TBC (0.5) 500 N
• SFy TBC (1.3474) (0.7660) TBC (0.5) 500 N.
• Efectuando la multiplicación
• SFy TBC (1.0321) TBC (0.5) 500 N. Como
  TBC es un factor común a ambas cantidades, estas
  se pueden sumar
• SFy TBC ( 1.5321) 500 N. Despejando el valor
  de TBC tenemos TBC 500 N 326.34 Newtons.
• 1.5321
• Para encontrar el valor de TAC regresamos a la
  ecuación 1
• TAC TBC 1.3474 TAC 326.34 N x 1.3474
  439.7 Newtons.

38

• 8.- La vista desde el helicóptero en la figura de
  abajo muestra a dos personas que jalan a una
  obstinada mula. Encuentre la fuerza que una
  tercera persona tendría que ejercer sobre la mula
  para hacer la fuerza resultante igual a cero. Las
  fuerzas se miden en Newtons.

39
(No Transcript)
40
Diagrama de cuerpo libre.
F2 80 N
Y
F1 120 N
60
75
X
R
41
Cuadro de fuerzas.

• F ? comp X comp. Y
• F1 60 120 N cos 60 120 N sen 60
• F2 75 - 80 N cos 75 80 N sen 75
• R 0 0 0.
• SFx 120 N cos 60- 80 N cos 75.
• SFx 120 x 0.5 - 80 N x 0.2588
• SFx 60 N 20.70 N 39.3 N i componente en x.
• SFy 120 N sen 60 80 N sen 75.
• SFy 120 N (0.8660) 80 N (0.9659)
• SFy 103.92 N 77.27 181.19 N j componente en
  y. Este problema se resolvió en una forma
  diferente a los 7 primeros, lo que se hizo, fue
  hallar las componentes de la resultante de las
  dos fuerzas que ejercen las dos personas, en este
  caso 39.3 N y
• 181.19 N, pero como lo que se pide en el problema
  es la fuerza que ejercería una tercera persona
  para que la fuerza resultante sea cero, entonces
  la respuesta del ejercicio es
• R - 39. 3 N i (componente en X) y 181.19 N j
  (componente en Y). Expresado en las componentes
  rectangulares de la fuerza. Recordando que el
  vector equilibrante es de la misma magnitud, y
  dirección que la fuerza resultante, pero de
  sentido contrario.